Сверхсоставные числа, типомаксы, метачисла

Сверхсоставное число (N = 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, …) – это натуральное число с максимальным количеством целых делителей среди всех предшествующих чисел (меньших N). В рамках числофизики тип (Т) натурального числа N – это количество всех его целых делителей (включая 1 и N), поэтому сверхсоставные числа удобно называть типомаксами (у них тип максимальный: Т = Тmax). Очевидно, что все простые числа (Р = 2, 3, 5, 7, 11, …), у которых по определению только два делителя (1 и само Р), имеют минимальный тип Т = Тmin = 2 (а вот совершенно особое число N = 1 с типом Т = 1 – мы здесь не рассматриваем). На графике рис. 1 (есть на Дзене)показан диапазон изменения типов (Т) у всех первых натуральных чисел (вплоть до N = 10^20 – это 10 в степени 20), а именно: от нижней (горизонтальной) голубой линии (на которой лежат Т = 2 всех простых чисел) до верхней чёрной линии (на которой лежат Т = Тmax всех типомаксов).
Нормальный тип (Тн) – так автор назвал тип, который оказывается у большинства натуральных чисел на отрезке [1; N]; иначе говоря, у случайно взятого натурального числа N наиболее вероятен именно нормальный тип. Согласно теории чисел Тн = 2^lnlnN = (lnN)^ln2, однако исследования автора на ПК первых 500000 натуральных чисел привели его к такой эмпирической формуле:
Тн = 1,1987(lnN)^ln2/[1 – 0,5/(lnN)^0,5].           (1)
Формула (1) весьма условная (спорная) и требует составления специальной программы для ПК, позволяющей максимально уточнить формулу для вычисления нормального типа. Именно по данной формуле построена красная линия на графике рис.1, и эта линия расположена гораздо ниже, чем черная линия (Т у типомаксов) и даже ниже, чем пунктирная красная линия – это гипотетический средний тип (Тср) всех чисел на отрезке [1; N], который (согласно формуле Дирихле) вычисляется так: Тср = lnN.  Например, при N = 8*10^150 (в наше «сегодня», см. ниже) мы имеем Тmax = 2*10^23 и Тср = 347, а вот Тн = 58 ... 71 (что на 21 порядок меньше, чем Тmax). Следует подчеркнуть, что рассмотрение всех возможных типов (Т) в рамках числофизики приводит нас к фундаментальным выводам, например, см. статью автора «Объяснение % состава наблюдаемой Вселенной…»  (опубликованной на Дзене 22.10.2024).
Помимо простых чисел все прочие натуральные числа – это так называемые составные числа: N = 4, 6, 8, 9, 10, 12, …, которые составляются (конструируются) в каноническом виде из простых чисел (у нас всегда идущих строго по возрастанию, P < N):
N = (2^a)*(3^b)*(5^c)*(7^d)*; …;*(Р^w).       (2)
Поэтому простые числа – это фундамент мира натуральных чисел (которые являются наилучшим воплощением понятия «дискретность»). <В теоретической физике пространство-время (которое, скорее всего, также дискретное) – это фундамент реального, физического Мироздания. При этом «конструкция» формулы (2) весьма напоминает идеологию такой замечательной «теории всего», как теория струн.>
Тип (Т) любого составного числа N вычисляется по красивой (комбинаторной) формуле:
Т = (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1);…;(w + 1),     (3)
где a, b, c, d, …, w – показатели степени (целые числа) в каноническом разложении числа N. Например, для числа N = 2^2*3^0*5^1*7^2 = 980 мы получаем: Т = (2 + 1)(0 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 18, значит, у числа N = 980 всего 18 делителей (D = 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, …, 980), что легко проверить читателю на ПК.
Типомаксы – это довольно редкие числа, например, всего лишь 178-й типомакс будет уже немалым числом: N = 2^8*3^5*5^2*7^2*11*;…;*41 = 2,49*10^20 [где запись 11*;…;*41 означает, что перемножаются все простые числа (в первой степени) от 11 до 41 (c 5-го по 13-ое простое число)]. И у этого типомакса будет такое количество делителей: Т = 248832 (что выходит далеко вверх за пределы графика на рис. 1). Причем находить большие типомаксы (в каноническом виде) – это трудоёмкая комбинаторная задача (даже на мощном ПК).
Метачисло, порожденное старшим простым (Р), – это первое (наименьшее) число, у которого первые целые делители (как минимум: D = 1, 2, 3, 4, …, Р) – копия начала натурального ряда (т.е. без единого пропуска). Каждое простое число порождает своё метачисло по элементарному правилу (алгоритму): пусть K-ое простое число (P) – это старшее простое число в каноническом разложении K-го метачисла (М), тогда указанные простые числа (Pi = 2, 3, 5, …, Р) входят в каноническое разложение метачисла М в такой степени:
Хi = [lnP/lnPi],     (4)
где индекс i = 1, 2, 3, 4, …, K (порядковые номера всех простых чисел Pi в каноническом разложении метачисла М) и для каждого номера (индекса) i берется целая часть (функция антье) вещественного числа, получаемого в скобках […]. При этом, отказываясь от функции антье в формулах (4), нетрудно доказать важную асимптотическую формулу (для достаточно большого метачисла):
М = exp(P) = е^Р или lnM ~ P.    (5)
Метачисла – это крайне редкие числа (M = 2, 6, 60, 420, 27720, 360360, …), поскольку они быстро растут почти по экспоненте (5). При N > 60 (это 8-й типомакс и 3-е метачисло) за каждым типомаксом (с типом Т) недалеко стоит, скажем так, родственное метачисло, имеющее такой же тип Т. Поэтому на нашем графике почти на верхней чёрной линии лежат также и типы (Т) метачисел (правда, до M = 4,43*10^20 их набирается только 20 штук, а вот типомаксов ~ 178 штук). Короче говоря, здесь важно запомнить главное: в части типа (Т = Тmax) метачисла – удобные заменители типомаксов.
С помощью ПК нетрудно убедиться в следующем важном утверждении теории чисел: по мере роста сверхсоставного числа N его тип (Т) устремляется к типу (Т*) праймориала, порожденного (в каноническом виде) теми же простыми числами Р. Для метачисел данное утверждение звучит даже ещё понятней: по мере роста старшего простого (Р) у метачисла М = exp(P) его тип (Т) устремляется к типу (Т*) праймориала (П = 2*3*5*7*;…;*Р), порожденного тем же старшим простым Р (см. формулу 3):
Т* = 2^K,             (6)
где K = P/(lnP – 1) – это порядковый номер Р в ряде всех простых. При этом из формулы М = exp(P) следует, что Р = lnM, поэтому для метачисел можно записать (асимптотический) закон роста их типа (здесь и далее удобно рассматривать логарифм типа T со звёздочкой):
lnТ* = lnM/(lnlnM – 1)*ln2.                (7)
Однако данный закон (теории чисел) практически не работает при малых значениях М. Это показывает, например, такое отношение (параметр Z):
Z = lnТ/lnТ*,                (8)
где Т – реальный тип реального метачисла М (то есть тип, вычисляемый по каноническому виду М). Параметр Z сначала растет от значения Z = – 1,97 у первого метачисла М = 2 до весьма точного значения Z = 1,00702 у 8-го метачисла М = 232 792 560 [старшее простое Р = 19, тип метачисла: Т = 960, и такое значение Z далее повторится только у метачисла, порожденного примерно Р = 1,83*10^6 (по оценке автора, см. формулу 11)]. Затем параметр Z, вообще говоря (совершая небольшие колебания), возрастает до максимально возможного значения Zmax = 1,1058 у 23-го метачисла М = 8*10^36 (старшее простое Р = 83, тип метачисла: Т = 1,65*10^8), после чего параметр Z (крайне медленно) направляется к 1.
В целом поведение параметра Z, вообще говоря (из-за колебаний Z), можно описать, например, эмпирической кубической параболой:
Z = a*(lnlnM)^3 + b*(lnlnM)^2 + c*lnlnM + d,                (9)
где на отрезке 11 < Р < 349 надо брать такие коэффициенты: a = 0,01343; b = – 0,2075; c = 1,0454; d = – 0,6197, а на отрезке 353 < Р < 4817 коэффициенты станут такими: a = – 0,0002034; b = 0,0075; c = – 0,0944; d = 0,418476. То есть примерно при Р = 349 (когда М = 8*10^150) график параметра Z = f(lnlnM) имеет точку перегиба – это когда график из выпуклого становится вогнутым (и, в данном случае, уже – навсегда). Любопытно, что указанная точка перегиба в логарифмической шкале близка к середине отрезка  [10^19 ; 10^316], где по расчетам математиков может находится число Скьюза (весьма интересное, см. в википедии). Согласно числофизике, именно в районе точки перегиба находится некое натуральное число N (его автор точно не знает), отражающее («моделирующее») наше «сегодня» (когда возраст Вселенной около 13,8 млрд лет). Возможно, что N = М = 8*10^150, при котором Kр = 2,3*10^148 – количество всех простых чисел на отрезке [1; N], то есть максимально возможное количество элементарных ячеек времени [равное количеству элементарных ячеек пространства (ЭЯП)] в наше «сегодня». См. статью автора «Элементарные ячейки пространства …» (на Дзене от 06.01.2025).
Далее (при 4831 < Р < 30011) параметр Z убывает по такому эмпирическому закону:
Z = 1 + 21,873/(lnlnM)^3,036.                (10)
Все три выше указанные эмпирические функции Z = f(lnlnM) выбирались таким образом, чтобы выполнялось заданное автором условие: 0,9 < Т/Т* < 1,1.
Поскольку у автора в программе «Excel» есть все первые 120000 простых чисел (от Р = 2 до Р = 1583539), то можно было для любого старшего Р вычислить без проблем реальные значение lnM, lnlnM, lnT, Z. Однако (довольно ленивый) автор взял только 8 значений Р так, чтобы 9,5 < lnlnM < 15 (шагом 0,5) и получил следующие эмпирические формулы:
Z = 1 + A/(lnlnM)^B,           (11)
где коэффициенты А и В устремляются к нулю примерно по таким законам: A = 333,36/exp(0,264*lnlnM) и B = 4,4477/exp(0,037*lnlnM), то есть параметр Z явно устремляется к 1 (как и должно быть согласно теории чисел). Разумеется, что коэффициенты А и В (или даже саму формулу 11) можно существенно уточнить (что доступно сделать самим читателям с помощью ПК).
Что даёт нам параметр Z? Он позволяет нам глубже прочувствовать удивительную «внутреннюю» природу мира чисел, а также оценить наиболее точное значение типа (Т) колоссального метачисла (сверхсоставного числа) не прибегая к помощи ПК (будет достаточно калькулятора). Так, при 22027 < Р < 1583539 использование параметра Z = lnТ/lnТ* (см. формулу 11) обеспечивает рост отношения Т/Т* = exp(lnT – lnT*) [где lnТ* = lnТ/Z] примерно в таких пределах: от 0,90 до 3,13, а вот при отказе от параметра Z [то есть когда мы берем lnТ* = lnM/(lnlnM – 1);ln2] отношение Т/Т* растет от 10^14 от 10^259. Например, при старшем простом Р = 1583539 у метачисла М реальный тип Т = e^83275, а формула (11) нам даёт Т* = e^83275/3,13 = e^(83275 – 1), в случае отказа от параметра Z мы получаем гораздо более грубое значение: Т* = e^83275/e^259 = e^(83275 – 259).
Трудно переоценить роль сверхсоставных чисел (типомаксов, метачисел) в рамках числофизики. Отчасти это угадывается, например (помимо выше указанных статей), в таких недавних статьях автора (есть на Дзене и во ВКонтакте):
«Метачисла – вехи Метавселенной (и ключ к «устройству» ... социума)» (13.05.2024);
«Вселенная – это … внутренность чёрной дыры…» (07.12.2024);
«Как далеко копия нашей Вселенной?...» (11.11.2024);
«Вероятность появления нашей Вселенной» (27.05.2023); и т.д.

30.03.2025, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2025