Бесконечность бесконечности рознь

                «Все животные равны, но некоторые
                животные равнее других».
                /Джордж Оруэлл, «Скотный двор»/

    У каждого времени есть своё представление об очень большом, своё «много».
Было время, когда «много» — это то, что больше двух.

    Конечно, и в те далёкие пещерные времена в среде «специалистов» (быть может, умеющих считать лишь до числа пальцев на руке) некоторые «очень большие» количества уже различались.

    Они понимали, например, что число три — это, конечно, страшно много и в реальной жизни совершенно бесполезно (рук-то всего две), но число четыре ещё больше.

   Когда-то греческий и латинский были языками науки, и учёные, подобно первобытным людям, частенько считали только до двух: «один, два, много»: на латинском — «уни, би, мульти»; на греческом — «моно, ди, поли». Да, впрочем, и сейчас иногда так ведут счёт.

   Например, «поливитамин» — невероятно большое количество витаминов, больше двух, а «мультипроцессор» — это много процессоров.

   Да и математики, бывает, считают тоже только до двух: моном (одночлен); бином (двучлен); полином (многочлен).
   
   В наше время среди гуманитариев считается, что «много» — когда «бесконечно»*.

    И на первый взгляд действительно кажется, что «бесконечно много» не требует никаких уточнений — все бесконечности одинаковы.

    Например, число точек в любых двух отрезках, один из которых может быть равен диаметру атома, а второй — расстоянию между галактиками, совершенно одинаково.

    Более того, число точек в малюсеньком отрезке в точности равно числу точек во всём окружающем бесконечном трёхмерном пространстве.   

    Так, может быть, действительно все бесконечности одинаковы, и вопрос: «Может ли одна бесконечность быть больше другой?» — лишён смысла?

    Но смысла этот вопрос не лишён.

    Например, натуральных чисел бесконечно много, и действительных чисел в интервале [0, 1] — тоже бесконечно много, но чисел в интервале БОЛЬШЕ, чем натуральных**.

    На самом деле, из этого интервала можно взять даже не все числа, а только те, в десятичной записи которых используются лишь нули и единицы, уже таких чисел больше, чем натуральных.

    «Больше» — это значит, что присвоить каждому такому числу в качестве номера натуральное число, невозможно: натуральных чисел не хватит.
   
    Допустим противное, т.е. предположим, что все такие числа указанного вида можно пересчитать:

               x1 = 0, a11 a12 a13 ...,
               x2 = 0, a21 a22 a23 ...,
                ...               

               хn = 0, an1 an2 an3 ...,
                ...               
   
    Теперь наша цель — получить ПРОТИВОРЕЧИЕ.

    Противоречие будет вот какое: в этом списке, вопреки утверждению, содержатся НЕ ВСЕ числа такого вида.

    Укажем построение числа

                x = 0, b1 b2 b3 ... bn ... ,

нашего вида, но не попавшее в список. 

    Выберем в числе x цифры bi так, чтобы число x отличалось от любого числа из списка.

    Для этого положим цифру b1, не равную a11, то есть если a11 = 1, то b1 = 0, а если a11 = 0, то b1 = 1.

    Какие бы дальше цифры в x не поставили, число x заведомо будет отличаться от x1.

    Теперь перейдём ко второй цифре числа x.

    Положим цифру b2, не равную a22. Теперь мы точно знаем, что число x  будет отличаться и от x1, и от x2. Продолжим и далее движение по списку, добавляя очередную цифру в число x.

    Так как наше число отличается, по крайней мере, в одной цифре от числа xn, оно отлично от всех чисел из этого списка.

    Итак, с одной стороны, в нашем списке содержатся все числа между нулём и единицей, а с другой стороны, число x не в этом списке.

    Желанное противоречие получено.

    Действительные числа из интервала [0, 1] занумеровать натуральными числами невозможно.

    Для бесконечных множеств вместо слов «число элементов в множестве» принято говорить «мощность множества».

    Мощность множества действительных чисел называется континуальной (или континуумом)***.

    Множество, элементы которого можно занумеровать натуральными числами («сосчитать»), называется счётным. Множество точек из интервала [0, 1] несчётно, континуально.

    Наш мир (и мы сами) — это пустота, в которой на громадных расстояниях по сравнению с размерами атомов находятся эти атомы. Это значит, что наш мир — дискретный (разрывный) и, следовательно, счётный.

    В крошечном отрезке размером, например, с ядро атома число точек несчётно, и поэтому точек там неизмеримо больше, чем атомов (или даже элементарных частиц) во всей нашей бесконечной Вселенной.

    Есть ещё одно принципиальное отличие счётного и континуального множеств. Философ, снизошедший до понятия счётности и несчётности, назвал бы это «переходом количества в качество».

    Сумма любого конечного или даже счётного числа нулей равна нулю:

                0 + 0 + 0 + ... = 0.

    Точка на прямой — это отрезок длины нуль. При сложении отрезков их длины складываются, и длина отрезка — это сумма нулей. Но число слагаемых в этой сумме континуально, и поэтому эта сумма нулей уже не нуль.

    В гуманитарной среде под словом «бесконечность» обычно понимают только счётность, поэтому гуманитарию непонятно, как получается, что сумма нулей (длин точек отрезка) может оказаться ненулевым числом (длиной отрезка).
 

___________________________________________
               

                Примечания

     * Если между элементами множеств А и В можно установить взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что множества А и В равномощны, т. е. имеют одну и ту же МОЩНОСТЬ.
     Множество М БЕСКОНЕЧНО, если оно равномощно своему собственному (то есть не совпадающим  с самим М) подмножеством.
     Например, множество N={1, 2, 3, ...} бесконечно, так как отображение:

                1 -> 2,
                2 -> 3,
                ...

                n -> n+1,
                ...

взаимно однозначно и {2, 3, ...} — собственное подмножество в N.
    Бесконечно большая величина — это не то же самое, что множество из бесконечного числа элементов.  Бесконечно большая величина — это функция, которая  при изменении может стать больше произвольно взятого действительного числа.

     ** Это утверждение впервые было доказано Георгом Кантором в 1874 году.

     *** От латинского continuum — «непрерывное».

     ____________________________________________________

                Приложение
             
                Дискуссия о бесконечности


    Понятие мощности и теорема Кантора о несчётности континуума есть в программе курса «Математика в начальной школе (теоретические основы начального курса математики)», и с будущими учителями начальных классов никаких сложностей по этому поводу не возникало.

    А вот с гуманитариями из Проза.ру не всё так просто.
   
    Один из читателей этой заметки  Кантору просто не поверил и «легко доказал», что бесконечные множества сравнивать вообще невозможно, так как все бесконечности «без концов».
   
    Давний Собеседник (далее - ДС): «Вы можете делать утверждения о различии бесконечностей у множеств, но тем самым бесконечности их лишать, потому что данное сравнение неизбежно основывается на ограниченности хотя бы одного из сравниваемых множеств ... На числовой же шкале бесконечности, повторю, любое "больше" или "меньше" будет означать прекращение бесконечности. Чтобы сравнить, нужно найти именно концы»,

    Чуть позже он догадался,  что и доказывать ничего не нужно — это же аксиома.

    ДС: «Ну что вы, право! Для чего доказывать аксиомы!»
 
    То, что действительных чисел в отрезке от нуля до единицы больше, чем натуральных чисел, вызвало полное отторжение и воспоминание о, по его мнению, аналогичной школьной задаче:

    ДС: «...Да ну? Тогда детскую загадку Вам: что тяжелее, килограмм пуха или килограмм гвоздей?)))...
Давний Собеседник   31.03.2025 14:38»

   Однако «срезать» Кантора так легко не получится: в реальности действует закон Архимеда, и поэтому килограмм пуха тяжелее килограмма железа, а бесконечности действительно бывают разными.

   С неожиданным и, честно говоря, забавным пониманием слова «бесконечность» выступил другой мой читатель.

   По его мнению, Кантор «тоже не всегда прав», а «бесконечность» — это то же самое, что «недостаток знаний».

    "Оно (утверждение Георга Кантора) означает, в частности, что в отрезке [0,1]  число точек неизмеримо больше, чем атомов в нашей Вселенной". Кантор, конечно, велик по своему вкладу в науку, но тоже не всегда прав.
  ...Бесконечность, бескрайность, вечность - это синонимы понятия "незнание". То есть океан, конечно, состоит из конкретного количества молекул воды и молекул солей, но мы не знаем конкретно, сколько, поэтому говорим про бесконечное их количество...
Борис Владимирович Пустозеров   26.04.2025 10:41» 

   Я пытался пояснить:

    «... зная  размер нашей видимой вселенной и размер элементарной частицы, легко вычислить, сколько потребуется частиц, чтобы плотно без пробелов заполнить всю видимую Вселенную. Оказывается, 10^88 частиц достаточно.
Конечно, сюда входят и молекулы земного океана, и молекулы всей Земли и планет, и Солнца, и всех видимых (даже только в радиотелескопы) звёзд.
Число с 88-ю нулями большое, но вовсе не бесконечное.
С уважением,
Петр Савватеев   26.04.2025 11:45»   

    Ответ оригинала, твёрдо убеждённого, что «бесконечность» — это всё-таки «незнание»:
   
    « Тяжёлый случай... Я Вам объясняю , что понятие "бесконечность" равно понятию "незнание", а Вы мне про то, что бесконечность это множество, то есть что это бесконечное множество. Так ведь "бесконечное" и означает, что Вы не знаете количества объектов этого множества. 
     ...И никто не знает, почему на высоте 100 км и выше возникает невесомость…
 С уважением,
Борис Владимирович Пустозеров   26.04.2025 13:48»

    Правда, для читателя даже сумма членов убывающей геометрической прогрессии представляет тайну.

   «..."а как сумма бесконечного числа слагаемых: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... оказалась равной единице?"
А с чего Вы взяли, что эта сумма равна единице? Бесконечность есть синоним незнания, так что никто не знает результат такой суммы...
С уважением,
Борис Владимирович Пустозеров   26.04.2025 10:22»

    А число точек в отрезке, по мнению  читателя, зависит от его длины. Чем отрезок  длиннее, тем больше в нём точек:

    «Если Вы Считаете ответом подобный математический бред "Точек в отрезке длиной в один микрон (да любой сколь угодно малой, лишь бы бы не нулевой) в точности столько же, сколько в отрезке в 25000000000 световых лет (примерный диаметр нашей видимой вселенной). И в крошечном отрезке точек больше, чем атомов (или даже элементарных частиц) во всей нашей Вселенной. Число частиц всего лишь счётно, а число точек в отрезке несчётно", то я Вам удивляюсь...
Борис Владимирович Пустозеров   27.04.2025 20:26»   

   ____________________________________________

На фото: Различных бесконечностей бесконечно много. 
Георг Кантор (Cantor, 1845—1918) — немецкий математик, создатель теории множеств.