Простые числа. Открытые вопросы

     Познавший красоту арифметики
Может познать многое в космосе арифметики!

    Поскольку существуют ФОРМУЛЫ* ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ, то разрешимы могут быть проблемы: Гольдбаха. вторая проблема Ландау, гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау). Гипотеза Гольдбаха, …
______________________________
*ФОРМУЛЫ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
(stihi.ru/2024/12/12/3106):
    Простое число (ПЧ) N, не кратное 3 или 5, –
это число, выраженное формулой   N = 6n±1  и не являющееся составным числом (СЧ) с формулой СЧ:
N=36ав ±  6(а±в) ±1 = 6n ± 1, где А=6а±1, В=6в±1
    То есть составное число СЧ может быть выражено одной из четырёх формул;(не кратно 3 или 5):
N+ + +=АВ= (6а+1) (6в+1) = 36ав + 6(а+в) +1      49, 91, 133…
N+- - = АВ= (6а-1) (6в+1) = 36ав + 6(а-в) – 1        209
N- + + = АВ= (6а-1) (6в-1) = 36ав -  6(а+в)  +1     187, 253
N-  - - = АВ= (6а+1) (6в-1) = 36ав -  6(а-в) -1       221   

// Если знак + принять за 1: а знак _ за ), то
+++ соответствует 111
+- -     соответствует 100
- + +  соответствует  011
-  - -  соответствует  000//

   Тогда ПРОСТОЕ ЧИСЛО ПЧ (не кратное 3 или 5) может быть выражено одной из
четырёх формул (заменой последнего знака  (+ или –) на знак (– или +)):
N+ + - = 36ав + 6(а+в) -1     47, 89, 131
N+- += 36ав + 6(а-в) + 1    211
N- + - = 36ав -  6(а+в)  - 1  (185 – кратно 5 ), 251
N-  - + = 36ав -  6(а-в) +1    223   

//  Если знак + принять за 1: а знак _ за ), то
++- соответствует 110
+- +     соответствует 101
- + -  соответствует  010
-  - +  соответствует  001//

    Таким образом, существует всего 4 варианта формул
для отнесения  любого нечётного числа ( в случае, если оно  не  кратно 3 или 5)
к  ПРОСТОМУ ЧИСЛУ (ПЧ).
     То есть для СЧ= N+ + +=АВ= (6а+1) (6в+1) = 36ав + 6(а+в) +1.    49, 91, 133…
 простое число (не кратное 3 или 5):
ПЧ = N+ + - = 36ав + 6(а+в) -1
или  ПЧ=СЧ-2    47, 89, 131
     Для СЧ= N+- - = АВ= (6а-1) (6в+1) = 36ав + 6(а-в) – 1      =  209 (=11х19)
простое число (не кратное 3 или 5):
ПЧ = N+- += 36ав + 6(а-в) + 1      = 211
или  ПЧ=СЧ+2 = 211

     Для СЧ= N- + + = АВ= (6а-1) (6в-1) = 36ав -  6(а+в)  +1    =   253 (=11х23)   
простое число (не кратное 3 или 5)
ПЧ = N- + - = 36ав -  6(а+в)  - 1   = 251
или  ПЧ=СЧ- 2  = 251;
    Для СЧ= N-  - - = АВ= (6а+1) (6в-1) = 36ав -  6(а-в) -1   =437 (=19х23)   
простое число (не кратное 3 или 5):
ПЧ = N-  - + = 36ав -  6(а-в) +1    =439
или  ПЧ=СЧ+2     = 439
_______;При а=в имеем 4 формулы СЧ и ПЧ:
4 формулы СЧ:
N+ + +=АхА= (6а+1) (6а+1) = 36аа + 12а +1      49 …
N+- - = АхА= (6а-1) (6а+1) = 36 аа– 1        209
N- + + = АхА= (6а-1) (6а-1) = 36 аа  -  12а  +1     253
N-  - - = АхА= (6а+1) (6а-1) = 36аа -1       

4 формулы ПЧ:
N+ + - = 36аа + 12а -1
N+- += 36аа + 1
N- + - = 36аа -  12а  - 1
N-  - + = 36аа +1
__________
Возможно исследовать  проблемы  (открытые вопросы), наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау в 1912 году на Пятом Международном математическом конгрессе   -  с помощью вышеуказанных формул простых чисел, в том числе используя простые числа 3 и 5.
__________
   Интернет-информация (нематематическая версия):
До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау в 1912 году на Пятом Международном математическом конгрессе:

   Проблема Гольдбаха (первая проблема Ландау): верно ли, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел?
//Проблема Гольдбаха (гипотеза Гольдбаха, проблема Эйлера, бинарная проблема Гольдбаха) — утверждение о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Является открытой математической проблемой — по состоянию на 2025 год утверждение не доказано.

В совокупности с гипотезой Римана включена в список проблем Гильберта под номером 8.

   Вторая проблема Ландау: бесконечно ли множество «простых близнецов» — пар простых чисел, разность между которыми равна 2? В 2013 году математик Чжан Итан из университета Нью-Гэмпшира доказал, что существует бесконечно большое количество пар простых чисел, расстояние между которыми не превышает 70 миллионов. Другими словами, всегда будут встречаться простые числа, удалённые друг от друга не более чем на 70 млн.
   Уже 20 июля 2013 года усилиями Polymath Project[англ.] удалось снизить оценку расстояния до 4680. В ноябре того же года Джеймс Мэйнард улучшил результат до 600. Используя идеи Мэйнарда в 2014 году проект Polymath под руководством Теренса Тао несколько улучшили последний метод, гарантируя бесконечное число пар простых чисел с расстоянием не более 246.
   (См. формулы простых чисел (ПЧ) – они бесконечны при бесконечном слагаемом   в формуле ПЧ)

    Гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау): верно ли, что для всякого натурального числа _ между _2 и (_+1)2 всегда найдётся простое число?

   Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида _2+1,
 где _ — натуральное число?

Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Мерсенна, числа Фибоначчи, числа Ферма и др.
    (Серж Емейл 1:  в соответствии с  формулами простых чисел – они бесконечны при бесконечном слагаемом   в формуле ПЧ)

_____
Гипотеза Гольдбаха
Теорема Виноградова доказывает слабую гипотезу Гольдбаха для достаточно большого _. В 2013 году Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу для всех нечётных чисел, больших 5. В отличие от проблемы Гольдбаха, слабая гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, большее 5, может быть выражено в виде суммы трёх простых чисел. Хотя сильная гипотеза Гольдбаха ни доказана, ни опровергнута, из её доказательства вытекало бы доказательство слабой гипотезы.
    Теорема Чэня утверждает, что для всех достаточно больших _
возможно представление 2_=_+_, где _ простое, а _ либо простое, либо полупростое. Монтгомери и Воган показали, что чётные числа, непредставимые в виде суммы двух простых, имеют плотность нуль.
В 2015 году Томохиро Ямада доказал явную версию теоремы Чэня: любое чётное число, большее __36;1,7;101872344071119348, является суммой простого числа и произведения не более чем двух простых.

     Гипотеза о числах-близнецах
Чжан Итан показал, что существует бесконечно много простых пар с промежутком, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до промежутка длиной 246 при объединении с проектом «Polymath»[англ.]. При принятии обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама оценка улучшается до 6 (Мейнард, Голдстон, Пинц и Йылдырым).
Чэнь показал, что имеется бесконечно много простых чисел _ (позднее названных
простыми числами Чэня), таких, что _+2   является простым или полупростым.
...