Дуальность Мироздания и мира чисел

Постижение данного феномена в физике (описывающей фундамент Мироздания) началось с того, что в 1970 г. появилась формула Бекенштейна-Хокинга:
S = 0,25*A/lр^2,                (1)
говорящая о том, что у чёрной дыры энтропия равна 1/4 площади горизонта событий и разделённой на площадь планковской ячейки. Энтропия (S) чёрной дыры включает в себя всю информацию о веществе, породившем чёрную дыру. Площадь (A) горизонта событий (чёрной дыры) выражена в планковских единицах. Планковская площадь – это квадрат планковской длины (lр = 1,6*10^–35 м), которая считается наименьшим расстоянием между двумя точками в пространстве.
В начале 1990-х годов Хофт и Сасскинд предположили, что в теории, объединяющей квантовую механику и гравитацию, число элементарных компонентов (необходимых для исчерпывающего описания системы), пропорционально площади окружающей поверхности, в которую она заключена. А это означает, что структура пространства-времени в корне отличается от структуры твёрдого тела, в котором число таких элементарных компонентов (материальных точек или атомов) возрастает пропорционально её объему (кубу радиуса), а отнюдь не площади (квадрату радиуса). То есть оказывается возможным описать замкнутую пространственно-временную область исключительно по поведению компонентов, расположенных на её внешней границе.
В 1997 г. физик;теоретик Хуан Малдасена математически доказал, что его теория дуальна другой теории (речь об архисложных теориях физики). Дуальность (двойственность) означает, что две теории описывают одно и то же, но каждая – своим языком. И речь идёт не только о чёрных дырах, но и о любом произвольно взятом объёме пространства, от размеров атома до наблюдаемой Вселенной. То есть нас самих, и все окружающие предметы и явления можно соотнести с какими;то двумерными узорами на условной границе нашего мира. Тем не менее, эти реальности полностью эквивалентны, и всё, что происходит здесь, мгновенно отображается там.
Сложность указанных феноменов отчасти освещена, например, в статье по такой ссылке: https://habr.com/ru/articles/861512/. Но что стоит за формулой (1), какова микроскопическая природа энтропии? Долгое время ответ оставался неуловимым физиков. Но есть сдвиги, так в своей работе (2024 г.?) группа ученых из США и Бельгии предлагает элегантное решение этой проблемы. В основе их подхода лежит идея о том, что достаточно лишь оценить, сколько взаимно ортогональных, то есть независимых, состояний может существовать в пределах заданного энергетического диапазона. И независимо от того, сколько потенциальных микросостояний мы пытаемся «упаковать» в черную дыру, лишь ограниченное их число может быть независимым, а это число и определяет энтропию. (См. статью «Что скрывается внутри чёрной дыры?...» на сайте www.iXBT.com).
Для понимания указанных феноменов физики может оказаться полезным рассмотрение «устройства» … мира натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …). Его изучает теория чисел – красивый (и весьма … сложный, каверзный) раздел высшей математики, а также отчасти изучает и числофизика автора (с 1997 года). Ниже приведены феномены мира чисел, которые отчасти «перекликаются» с указанными феноменами физики. Числофизика, возможно, показывает, некую дуальность самого мира чисел законам фундаментальной физики.
 
Итак, в Пирамиде делителей (см. рис. 1) все делители числа N – это чёрные камни в горизонтальной строке (справа от числа N), внутри которых указан сам делитель, его величина, которую мы назовём массой чёрного камня (и которая дуальна некой реальной массе-энергии?). Но зачем вводить новые термины? Это потому, что все белые камни Пирамиды (и все серые камни Ствола, см. чуть ниже) также имеют массу (она не указано, но равна порядковому номеру столбца Пирамиды), что имеет фундаментальное значение в рамках числофизики.
Внутри Пирамиды серым цветом мы выделим камни Ствола – это (у всякого числа N) область «обитания» всех его малых делителей (чёрных камней Ствола) – каждый из этих делителей не превосходит такой величины: [N^0,5] (функция антье от выражения в квадратных скобках, то есть целая часть корня квадратного из числа N). А вот все прочие – большие делители (Dj) числа N – порождаются его всеми малыми делителями (dj, где j = 1, 2, 3, 4, ... – номер делителя, у нас они всегда идет по возрастанию) по элементарному правилу (эту истину открыли ещё древние математики):
Dj = N/dj.                (2)
Очевидно, что у чисел вида N = i^2 (где i = 1, 2, 3, 4, …), которые стоят в начале каждой (i-й) ступени Ствола (см. рис. 1) старший малый делитель (d = [N^0,5] = i, делитель равен номеру ступени Ствола) «съедает» порожденный им большой делитель D = N/d = i^2/i = i (такого большого делителя просто не существует). Поэтому в Пирамиде высотой N количество (k) всех малых делителей будет чуть превышать количество (K) всех больших делителей. Пусть k* – это количество всех малых делителей (чёрных камней в Стволе высотой N, то есть его старшая ступень имеет порядковый номер i = [N^0,5]), и пусть K* – это суммарное количество всех (малых и больших) делителей в Пирамиде высотой N, тогда разность (K* – k*) – это количество всех больших делителей и нетрудно получить такие формулы:
k* = (K* + i)/2;      (K* – k*) = (K* – i)/2,      (3)   
где звездочка (*) здесь и далее говорит нам о чёрных камнях (делителях), либо это просто знак умножения. При этом очевидно следующее: K* = [N/1] + [N/2] + [N/3] + [N/4] + … + [N/N], а, отказываясь от функции антье и вынося N за скобки, в скобках получаем сумму первых N членов гармонического ряда: K* = N(lnN + гамма). Однако теория чисел (формула Дирихле) уточняет нашу формулу:
K* = N(lnN + 2*гамма – 1 + эпсилон)    (4)
где гамма = 0,577 215 664 901 532… – постоянная Эйлера-Маскерони (математическая константа), а поправка эпсилон быстро устремляется к нулю.
Таким образом, у всякого числа N его малые делители – это своеобразный «паспорт» числа N, его «сермяжная правда» – простая, но глубокая истина мира натуральных чисел. И чаще всего (для большинства задач теории чисел и числофизики) нам достаточно рассмотреть только малые делители. Поэтому и мы начнём свои исследования именно с малых делителей (чёрных камней Ствола). Кстати, хотя в Пирамиде делителей (высотой N) всё предопределяют, решают малые делители (чёрные камни в Стволе), их сумма (m*) составляет ничтожную долю от суммы (М*) всех больших делителей (чёрных камней Пирамиды) и отношение m*/М* устремляется к нулю по такому закону (что следует из формул, полученных ниже): m*/М* = 8/пи^2/N^0,5 ; 0,81/N^0,5. Этот феномен мира чисел наверняка «моделирует» некую фундаментальную истину реального (физического) Мироздания.
Итак, в Стволе высотой N сумма (m*) малых делителей – это сумма масс всех чёрных камней в каждом из первых столбцов Ствола (вплоть до столбца с номером i = [N^0,5], но мы здесь и далее упрощаем задачу – откажемся от функции антье, полагая i = N^0,5), при этом: m* = ([N/1] – 1 + 1)*1 + ([N/2] – 2 + 1)*2 + ([N/3] – 3 + 1)*3 + ([N/4] – 4 + 1)*4 + … + ([N/i] – i + 1)*i = N*i + (1 + 2 + 3 + 4 + … + i) – (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + … + i^2) = N*i + (1 + i)*i/2 – i*(i + 1)(2i +1)/6, откуда окончательно получаем:
m* = 2/3*N^(3/2).       (5)
Модуль относительной погрешности (ОП) формулы (5) довольно быстро убывает согласно такому неравенству: |ОП| < 0,6/N^0,5. При этом формулу (5) можно трактовать как … площадь Ствола [площадь под кривой y = x^0,5 на плоскости в точности равна 2/3*х^(3/2)], хотя это нам далеко не очевидно, когда мы смотрим на Ствол (нарисованный на плоскости, см. рис. 1). То есть параметр m* и площадь Ствола проявляют дуальность.
Площадь Ствола высотой N – это количество (k) всех камней (белых, серых, чёрных) в данном Стволе, то есть в каждом их первых столбцов Ствола (вплоть до столбца с номером i = [N^0,5], но мы опять полагаем i = N^0,5), при этом: k = (N – (1^2 – 1)) + (N – (2^2 – 1)) + (N – (3^2 – 1)) + (N – (4^2 – 1)) + … + (N – (i^2 – 1)) = (N + 1)*i – (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + … + i^2) = (N + 1)*i – i*(i + 1)(2i +1)/6, откуда окончательно получаем:
k = 2/3*N^(3/2).               (6)
Относительная погрешность (ОП) формулы (6) быстро убывает: ОП = 1,5/N. И формула (6) не оставляет у нас сомнений, что сумма (m*) малых делителей действительно устремляется к площади Ствола. И здесь мы приходим к важному (и далеко не очевидному) выводу: отношение m*/k – это, скажем, чёрная плотность Ствола, которая быстро устремляется к 1 и при любой высоте Ствола остаётся таковой: m*/k = 1 = const. <Вспомним из физики: по мере расширения Вселенной плотность тёмной энергии – постоянна.> При этом отношение m*/k* – это, скажем, средняя масса чёрного камня Ствола, которая растет по такому закону: m*/k* = 4/3*N^0,5/lnN [с учётом формул (3), (4)].
В Стволе высотой N масса (m) всех камней (белых, серых, чёрных) – это сумма масс всех камней в каждом их первых столбцов Ствола (вплоть до столбца с номером i = [N^0,5], но мы полагаем i = N^0,5), при этом: m = (N – 1^2 +1)*1 + (N – 2^2 +1)*2 + (N – 3^2 +1)*3 + (N – 4^2 +1)*4 + … + (N – i^2 +1)*i = (N +1)*(1 + 2 + 3 + 4 + … + i) – (1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + … + i^3) = (N + 1)(1 + i)*i/2 – i^2*(i + 1)^2/4, откуда окончательно получаем:
m = N^2/4.               (7)
Эта формула даёт всегда значения m меньше реального, но относительная погрешность (ОП) формулы (7) убывает: ОП = 2/N^0,5. При этом параметр m и площадь шара (Fш = 4*пи*r^2) проявляют дуальность [хотя масса всех камней Ствола, разумеется, не является шаром]. Отношение m/k – это, скажем, общая плотность Ствола, которая растет по такому закону: m/k = 3/8*N^0,5.
В Пирамиде делителей высотой N масса (М*) всех чёрных камней (сумма всех делителей у всех первых N натуральных чисел) – это сумма масс чёрных камней в каждом из N столбцов: М* = [N/1]*1 + [N/2]*2 + [N/3]*3 + … [N/4]*4 + … + [N/N]*N. Откуда, отказываясь от функции антье […], мы получаем: М* = N*N = N^2, то есть параметр M* якобы равен удвоенной площади Пирамиды (Fп = N^2/2), то есть M*/Fп = 2 Однако с помощью ПК легко убедиться, что отношение M*/Fп быстро устремляется к замечательному числу пи^2/6 = 1,64493… . И это число можно получить аналитическим путем, если увидеть некие «лучи» делителей в нашей Пирамиде (см. рис. 1).
Так, 1-й луч чёрных камней (крайних справа) имеет такую суммарную массу (G1, она равна площади Fп): G1 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + N = (1 + N)*N/2 = N^2/2. Ещё ясно виден 2-й луч с массой: G2 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + [N/2] = (1 + [N/2])*[N/2]/2, где квадратные скобки […] – функция антье. Также виден 3-й луч: G3 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + [N/3] = (1 + [N/3])*[N/3]/2. Угадывается и 4-й луч, а вот последующие лучи уже похожи на некий хаос чёрных камней в районе Ствола. При этом, каждый из лучей имеет массу: Gj = 1 + 2 + 3 + 4 + … + [N/j] = (1 + [N/j])*[N/j]/2 (где j = 1, 2, 3, 4, …, N – номера лучей). Как и для 1-го луча, функция антье оказывается лишней для последнего луча: Gj = (1 + N/N])*(N/N)/2 = 1. Реальный (точный) параметр М* – это масса всех указанных лучей: М* = 1/2*[N/j]^2 + 1/2*[N/j], что является результатом «наложения» (суперпозиции) всех чёрных лучей. <То есть Пирамида делителей, возможно, «моделирует» как законы микрофизики, так и законы космофизики. Подобно теоретической физике, где всё Мироздание описывается взаимосвязанными разделами математики (и, увы, архисложными), то есть вся бесконечная математика Мироздания – это нечто единое (созданное самим Творцом?).>
Если мы откажемся от функции антье, то получаем: М* = 1/2*(N/j)^2 + 1/2*(N/j) =  N^2/2*(1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + … + 1/N^2 ) + N/2*(1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/N). Здесь в первых скобках – частичная сумма бесконечного ряда обратных квадратов, сумма которого относительно быстро устремляется к числу пи^2/6 = 1,6449…, а во вторых скобках – N-ое гармоническое число, которое быстро устремляется к lnN + гамма; (где гамма = 0,577 … ). При этом наиболее точной оказывается красивая формула:
М* = (N^2/2)*пи^2/6.                (8)
Формула (8) выдает значения больше реального, но относительная погрешность быстро убывает по такому закону: ОП = 0,7721/N^0,778 (при 3 < N < 1000). При этом параметр М* и площадь Пирамиды делителей [увеличенной в такое число раз: пи^2/6 = 1,64493… (почти золотое сечение)] проявляют дуальность.
Площадь (Fп) Пирамиды высотой N – это количество (K) всех камней (белых, серых, чёрных) в данной Пирамиде, то есть в каждой из её N строк:
K = 1 + 2 + 3 + 4 + … + N = (1 + N)N/2 = N^2/2.          (9)
Отношение М*/K – это, скажем, чёрная плотность Пирамиды, которая быстро устремляется к числу пи^2/6 = 1,6449… и при любой высоте Пирамиды остаётся таковой (const). <И вновь вспомним из физики: по мере расширения Вселенной плотность тёмной энергии – постоянна.> При этом отношение М*/K* – это, скажем, средняя масса чёрного камня Пирамиды, которая растет по такому закону: М*/K* = пи^2/6*N/lnN/2 [с учётом формул (3), (4)], то есть величина М*/K* близка к количеству (N/lnN) простых чисел на отрезке [1; N].
В Пирамиде делителей высотой N масса (М) всех камней (белых, серых, чёрных) – это сумма масс всех камней в первых N строках Пирамиды: M = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + … + (1 + 2 + 3 + 4 + … + N) = (1 + 1)*1/2 + (1 + 2)*2/2 + (1 + 3)*3/2 + (1 + 4)*4/2 + … + (1 + N)*N/2 = 1/2*(1 + 2 + 3 + 4 + … + N) + 1/2*(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + … + N^2), откуда окончательно получаем:
М = N^3/6,               (10)
что будет всегда меньше реального значения М, но относительная погрешность (ОП) формулы (10) быстро убывает: ОП = 3/N. При этом параметр М можно трактовать как … объём шара (Vш = 4/3*пи*N^3, хотя масса всех камней Пирамиды, разумеется, не является шаром). То есть параметр М и объем указанного шара проявляют дуальность. Отношение M/K – это, скажем, общая плотность Пирамиды, которая растет по такому закону: M/K = N/3.
В заключении приведу ещё один (обескураживающий) пример дуальности.
Как нам известно (см. статью «Сверхсоставные числа…» от 30.03.2025) 15-ое простое число Р = 47 порождает такое (также 15-ое) метачисло: W = (2^5)*(3^3)*(5^2)*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47 = 4,43*10^20, у которого всего Т = 294 912 делителей, причем его первые 52 делителя (d = 1, 2, 3, 4, …, 52) – это копия начала натурального ряда (поэтому такие делители назовём – линейными). Причем данное число W – первое (наименьшее) из аналогичных чисел, которых далее в натуральном ряде будет бесконечно много. А теперь представьте, что в нашей Пирамиде делителей (см. рис. 1) вместо числа N = 1 (что на самой вершине Пирамиды) стоит указанное метачисло W [а под ним (во втором столбце) вниз идут такие числа: W + 1; W + 2;  W + 3;  W + 4;  …; W + 50]. А ещё справа от числа W (в верхней строке) мысленно дорисуйте сплошные чёрные камни (массой: 1, 2, 3, 4, …, 24, …) и все белые камни (на таком рис. 1) станут серыми (т.к. они теперь оказываются внутри сильно «потолстевшего» Ствола Пирамиды). Причем наш рис. 1 аналогичным образом подходит для изображения малых делителей (чёрных камней в Стволе) любого метачисла, превосходящего W. В том числе для метачисла, «моделирующего» нашу Вселенную «сегодня» [скажем, это метачисло W* ~ exp(Р), порожденное простым числом Р ~ 10^100]. Данный пример позволяют лучше понять, например, и такие утверждения: 1). Любой отрезок [1; Р] натурального ряда – можно трактовать, как … линейные делители метачисла, порожденного простым числом Р (данный отрезок и линейные делители проявляют дуальность). 2). Бесконечность делится на все натуральные числа.
06.05.2025, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2025