Разминка

Ребята,… а не размять ли нам мозги? У меня для этого и картинка есть:
----------------------------------------1х8+1=9
.--------------------------------------12х8+2=98
.-------------------------------------123х8+3=987
------------------------------------1234х8+4=9876
.----------------------------------12345х8+5=98765
.---------------------------------123456х8+6=987654
--------------------------------1234567х8+7=9876543
.------------------------------12345678х8+8=98765432
.-----------------------------123456789х8+9=987654321
Вот смотрите: на картинке 9 равенств. В них и в тексте: "х" - символ умножения.
Можно их рассматривать или вместе, или раздельно. Если раздельно, то 1-ое равенство (то, что вверху) ничего особенного не представляет. Ну, подумаешь: 1х8+1=9. Ничего особенного!
А вот 2-ое равенство: 12х8+2=98 интереснее! В левой его части есть число «12», а в правой - «98». Есть интрига! В чём? В том, что цифры упорядочены: «1», «2»; «9», «8».
Но, может быть, это случайность?
Такой вопрос мог бы возникнуть, если бы равенств было два: 1-ое и 2-ое.
Но их больше! И, посмотрев на 3-ье равенство, на 4-ое и… наконец, на 9-ое, видим, что упорядоченность цифр не случайность, а закономерность! В левых частях равенств цифры упорядоченно возрастают: 1, 2, …, 9, а в правых – упорядоченно убывают: 9, 8, …, 1.
Из-за этого картинка (представляющая по форме равнобочную трапецию) интригует и красиво смотрится! Её красота в упорядоченности цифр.
Это ж надо такое придумать!

Но как же это достигнуто? Давайте разберёмся! И… вначале присмотримся.
Так…
Присмотримся.… Ну,… 1-ое равенство самое простое. И в правой его части - «9». И в правых частях остальных равенств на 1-ой позиции тоже «9». И в этом равенства схожи. А в их схожести проявляется, видимо, некая логика перехода от одного равенства к другому. И задача наша состоит, наверное, в том, чтобы эту логику обнаружить!
Обнаружить… Да… Обнаружить…!
Ладно. Попробуем перейти от 1-го равенства ко 2-му. Умножим для этого (см. картинку) 1-ое равенство (обе его части) на 10 и получим: 10х8+10=90.
В правой части этого равенства - «90», а во 2-м равенстве (на картинке) - «98».
Чтобы эту разницу устранить, добавим «8» к обеим частям полученного равенства, т.е. сделаем так: 10х8+18=98.
Теперь правые части равенств совпадают, но в левой появилось «18», вместо «2», как на картинке. Займёмся числом «18» и представим его суммой 18=(16+2).
Слагаемое «2» из этой суммы во 2-м равенстве есть, и мы его оставим на месте «18-ти».
Осталось пристроить число «16». Представим его произведением 16=2х8. Множитель «8» из этого произведения в левой части есть, а число «2» можно добавить к множителю «10». В результате получим не «10», а «12»! Таким образом, мы пришли к тому, что 10х8+18 = 12х8+2, т.е. пришли к левой части 2-го равенства!

Аналогично получим (см. картинку) 3-ье равенство из 2-го.
Вначале умножим 2-ое равенство на 10. Получим: 120х8+20=980. Но нам в правой части нужно не «980», а «987». Добавим поэтому к обеим частям равенства «7» и получим: 120х8+27=987. Займёмся числом «27» и представим его суммой 27=(24+3). Слагаемое «3» из этой суммы оставим на месте «27-ми», а «24» представим произведением 24=8х3 и учтём это произведение, добавив 3 к 120-ти. Получим в результате 3-ье равенство из картинки! Вот так!
Ну а дальше, дальше… всё по аналогии, всё понятно, по-моему. Раскололи!
Отмечу, что упорядоченность цифр в правых частях равенств – следствие её упорядоченности в левых частях. А упорядоченность в левых частях увязывает все равенства в единую систему равенств, подчиняющуюся вышеизложенной логике построения.

Но… раскололи мы картинку для 10-тичной системы счисления. А можно ли построить аналогичные картинки для других систем? Например, для 8-миричной, или 16-тиричной и вообще для системы счисления с основанием N? Оказывается, можно!
Проверил и докладываю: «Можно!»
Вот, например, равенства для 8-миричной системы счисления:
----------------------------------------1х6+1=7
.--------------------------------------12х6+2=76
..------------------------------------123х6+3=765
.-----------------------------------1234х6+4=7654
.----------------------------------12345х6+5=76543
---------------------------------123456х6+6=765432
--------------------------------1234567х6+7=7654321
В этих равенствах множитель «М» в левой части равенств не «8», как в 10-тичной системе счисления, а «6».
В общем случае множитель М=N-2, где N – основание системы счисления. Напомню, что старшая цифра в 8-миричной системе счисления - «7», а для обозначения восьми используется двузначное число «10».

А вот, для экзотики, равенства для 5-тиричной системы счисления:
.----------------------------------------1х3+1=4
.---------------------------------------12х3+2=43
--------------------------------------123х3+3=432
.------------------------------------1234х3+4=4321
Здесь множитель М=3, а старшая цифра - «4». Ну, Вы понимаете!
Такие дела.