Математическое определение понятия Аналогия

УДК 167.5+167.7+372.853

А.В. Горшков

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ «АНАЛОГИЯ»

Аналогия нередко применяется при формировании и проверке гипотез, при формировании и изучении моделей и при обучении научному методу познания, например, в физике. Дано обобщённое определение эпистемологического понятия «Аналогия» через математическое понятие изоморфизма двух систем.
Ключевые слова: эпистемология, аналогия, гипотезы, модели, обучение, изоморфизм.
 
A.V. Gorshkov

MATHEMATICAL DEFINITION OF THE CONCEPT OF "ANALOGY"

Analogy is often used in the formation and testing of hypotheses, in the formation and study of models and in teaching the scientific method of cognition, for example, in physics. A generalized definition of the epistemological concept of "Analogy" is given through the mathematical concept of isomorphism of two systems.
Keywords: epistemology, analogy, hypotheses, models, learning, isomorphism.

Введение

И на эмпирическом, и на теоретическом уровне научного познания применяют метод моделирования как процесс выделения и перенесения достаточных признаков изучаемого реального объекта на другой (модельный), аналогичный ему, объект, изучения свойств последнего и обратного приближённого перенесения их на реальный объект.

На теоретическом уровне применяют и гипотезу как метод научного познания. Одним из видов гипотез являются гипотезы, основанные на аналогиях – соединение индуктивных обобщений с элементами математической гипотезы [5]. Они представляют собой «перенесение закономерностей с уже изученного класса (или области) явлений на ещё неизученный» [5, С.116] (например, оптико-механическая гипотеза Гюйгенса о волновой природе света, оптико-механическая аналогия Гамильтона, исторически первичный вывод уравнения Шрёдингера, и др.). Аналогия не может быть способом доказательства гипотезы, аналогия – лишь основа для гипотезы [5].

Научные понятия, которые формируются у обучающегося, начинают усваиваться с осознания наиболее значимых признаков понятия путём введения определения как аналогии  элемента учебного знания элементу научного знания и, в свою очередь, элементу реальности.

Но в литературе определения понятия «Аналогия» разнообразны по причине его многоаспектности.

1. Краткий обзор определений понятия «Аналогия»

Дать в краткой статье полный обзор таких определений невозможно, но стремиться к этому следует.

«Аналогия – приём познания, при котором знание, полученное из рассмотрения какого-либо объекта, переносится на другой, менее изученный объект, при их сравнении и обнаружении общих признаков, т.е. логический вывод в процессе мышления от частного к частному» [4, С.1].

«Аналогия – подобие, равенство отношений; сходство предметов, явлений, процессов, величин и т. п. в каких-либо свойствах, а также познание путём сравнения» [1, С.1].

«Аналогия представляет собой вероятностное умозаключение по подобию, устанавливающее сходство предметов в одной группе признаков на основе их сходства в другой группе признаков, которые представлены в обоих сопоставляемых предметах» [6, С.1].

«Сходство между двумя вещами, которые в остальном не похожи» [7, P.1]. То есть тождественность не есть аналогия.

В литературе встречаются разнообразные, причём классифицируемые по разнообразным основаниям, виды аналогии: А. применения, А. обобщения, А. контакта, предельная А., А. преобразования, тривиальная А., А. предметов, А. отношений, А. свойств, строгая (сильная) А., нестрогая (слабая) А., полная А., неполная А., ассоциативная А., логическая А. и др. [4, С.1–2]

С целью индукции выделим общие признаки из этих частных определений:
1) аналогия как метод мышления, познания связана с понятием системы;
2) в аналогии родовые признаки прообраза и образа различны;
3) в аналогии видовые признаки некоторым образом сходны.

Промежуточный результат: аналогия – подобие системы существенных свойств существенно различных объектов (предметов, явлений, свойств, закономерностей, идей, личностей, событий и др.).

Пока понятие сходства, подобия осталось неопределённым. Точное, обобщённое, математизированное, определение сходства и является предметом настоящей статьи.

2. Использование понятия системы

Известно несколько десятков определений многоаспектного понятия «система», в краткой статье перечислить их все невозможно. Некоторым приближением к пересечению множеств их признаков может служить такое: «множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, которое образует определённую целостность, единство» [3, С.616]. К сожалению, в таком определении характеристика «определённую» недостаточно ни обща, ни конкретна.

Наиболее общим определением системы, известным автору, является такое:  «Система – достаточное целое из необходимых частей». (Источник установить за давностью лет уже не представляется возможным.) Оно охватывает собой все известные аспекты понятия «Система».

3. Использование понятия изоморфизма

Согласно [2, С.225], «обозначим x – произвольный элемент системы S, обозначим x' – произвольный элемент системы S'. Пусть в первой системе определены отношения Fk(x1,x2,...), где k=1,2,...,n,  а во второй системе определены отношения F'k(x'1,x'2,...), где k=1,2,...,n ».

«Системы S и S' с указанными на них отношениями называются изоморфными, если между ними существует такое взаимно-однозначное соответствие x'=f(x) , x=g(x') , что из наличия Fk вытекает F'k и наоборот» [2, С.225].

«Отображение f называют изоморфизмом системы S в S', обратное ему отображение g называют изоморфизмом системы S' в S» [2, С.225].

4. Формирование математического определения понятия «Аналогия»

Если подобны сходные по существу объекты (например, равнобедренные треугольники), то такое подобие аналогией не является. То есть одним из необходимых условий аналогии является различие родовых признаков объектов.

Другим необходимым условием аналогии является изоморфность системы существенных видовых признаков этих объектов (т.е. обладающих различными родовыми признаками).
Наиболее сложно определить признак "существенность". Назовём видовой признак объекта существенным, если он необходим для образования системы.

Итак, аналогичность объектов – это изоморфность системы необходимых видовых признаков этих объектов, обладающих различными родовыми признаками.

Аналогия объекта O' объекту O – это изоморфизм системы необходимых видовых признаков объекта O в объект O', обладающих различными родовыми признаками.

Объект O' аналогичен объекту O, если существует такой изоморфизм O в O', что он является аналогией.

Заключение

Дано обобщённое определение понятия «Аналогия» объекта-образа объекту-прообразу в эпистемологии как изоморфизм системы необходимых видовых признаков объекта-прообраза в объект-образ, обладающих различными видовыми признаками.

Литература
1. Аналогия // Философская энциклопедия ; – URL: https://terme.ru/termin/analogija.html (дата обращения 15.03.2025).
2. Битюцков В.И., Колмогоров А.Н. Изоморфизм // Математический энциклопедический словарь / под Гл. ред. А.М. Прохорова. – М.: Большая Рос. энцикл., 1995 – 847 с.
3. Волкова В.Н., Денисов А.А. Теория систем и системный анализ: учебник для академического бакалавриата – 2-е изд. – М.: Юрайт, 2014. – 616 с.
4. Даммер М.Д. Аналогии: задания по ТиМОФ для студентов / XVI Всерос. студ. олимпиада по теории и методике обучения физике им. А.В. Усовой. Теоретический тур – Челябинск: Изд. ЧГГПУ, 2024. – 7 с.
5. Илларионов С.В. Теория познания и философия науки – М.: Росс. полит. энц. (РОССПЭН), 2007. – 535 с. – (Философы России ХХ века)
6. Индукция и аналогия // База знаний: Логика – URL: https://psyera.ru/indukciya-i-analogiya_8798.htm (дата обращения 15.03.2025).
7. Analogy // Public schools Beatrice – URL: (дата обращения 15.03.2025)

References
1. Analogiya [Analogy] // Filosofskaya entsiklopediya ; [Philosophical Encyclopedia ;] – URL: https://terme.ru/termin/analogija.html (In Russ.) (date of access 15.03.2025)
2. Bityutskov V.I., Kolmogorov A.N. Izomorfizm [Isomorphism] // Matematicheskii entsiklopedicheskii slovar [Mathematical Encyclopedic Dictionary]  / under Ch. ed. A.M. Prokhorova. – M.: Bolshaya Ross. entsikl., 1995 – 847 P. (In Russ.)
3. Volkova V.N., Denisov A.A. Teoriya sistem i sistemnyi analiz: uchebnik dlya akademicheskogo bakalavriata [Systems Theory and Systems Analysis: A Textbook for Academic Bachelor's Degree] – 2-th ed. – M.: Yurait, 2014. – 616 P. (In Russ.)
4. Dammer M.D. Analogii: zadaniya po TiMOF dlya studentov [Analogies: tasks on Th.M.T.Ph. for students] / XVI Vseross. stud. olinpiada po teorii i metodike obucheniya fizike im. A.V. Usovoi. Teoreticheskii tur [XVI All-Russian student Olympiad on Theory and Methodology of Teaching Physics named after A.V. Usova. Theoretical round] – Clelyabinsk: Izd. ChGGPU, 2024. – 7 P. (In Russ.)
5. Illarionov S.V. Teoriya poznaniya i filosofiya nauki [Theory of knowledge and philosophy of science] – M.: Ross. polit. ents. (ROSSPEN), 2007. – 535 P. – (Filosofy Rossii XX veka) [Philosophers of Russia in the 20th century] (In Russ.)
6. Induktsiya i analogiya [Induction and analogy] // Baza znanii: Logika [Knowledge Base: Logic] – URL: https://psyera.ru/indukciya-i-analogiya_8798.htm (date of access 15.03.2025) (In Russ.)
7. Analogy // Public schools Beatrice – URL: (date of access 15.03.2025)

(02.04.2025)