Математический критерий различения Добра и Зла

УДК 17.022.1+372.83
А.В. Горшков
Математический критерий различения категорий «Добро» и «Зло»

В статье рассматриваются этические категории «Добро» и «Зло». Существуют проблемы: объективны ли Добро и Зло, существует ли объективный критерий их различения? Каковы строгие определения этих понятий?  Цель статьи – получить объективный критерий различения Добра и Зла и точные определения этих понятий. В статье с помощью математических понятий моноида и изоморфизма предложены определения «псевдогруппы», «нашей этической операции», а также «нашей этической псевдогруппы» и Добра и Зла как её тривиальных элементов. С естественным интерпретационным родовым признаком дан объективный критерий различения Добра и Зла: Добро солидарно Добру, Зло с Добром антагонистичны, Зло антагонистично Злу. Добро самоприменимо, Зло – нет. Сим дано ещё одно подтверждение концепции морального реализма в метаэтике.
Ключевые слова: этика, добро и зло, изоморфизм, моноид, псевдогруппа, солидарность, антагонизм, самоприменимость

Введение

Одной из составляющих философии является этика. В этике существует проблема определения двух диалектически единых и противоречивых фундаментальных понятий «Добро» и «Зло». В педагогике существует проблема, как преподать эти два понятия обучающимся. Согласно Л. Витгенштейну [Витгенштейн, 1994, 42], определять понятия необходимо, как минимум для того, чтобы избежать заблуждений. Согласно С.В. Илларионову и др. философам [Илларионов, 2007, 72], для того чтобы научная концепция являлась научной теорией, в её составе необходимо наличие развитого математического аппарата. Логика (бинарная Аристотеля, троичная Диогена, многозначная и бесконечнозначная Лукасевича, нечёткая логика Лофти Заде) является частью математики. Ещё Б.Рассел [Рассел, 1987, 333] пытался дать логические обоснования и даже определения этическим категориям. Поэтому необходимо дать строго научное определение этих двух этических категорий.

На тему содержания этических понятий Добра и Зла за тысячи лет развития этики созданы индуктивным методом тысячи не только беллетристических, но и научных концепций, не только разноаспектных, но и прямо противоречащих в корне, взаимно исключающих друг друга. Поэтому в краткой статье привести более или менее полный обзор хотя бы определений Добра и Зла, тем более их свойств, хотя бы в форме цитат, тем более анализ их, не представляется возможным.

Обыкновенно в философии и религии Добро и Зло – дихотомия нормативно-оценочных категорий, означающих в обобщённой форме, с одной стороны, должное и нравственно-положительное, а с противоположной – нравственно-отрицательное и осуждаемое [Дробницкий, 1978]. Однако понятия «нравственная положительность», «нравственная отрицательность», «должность» и «осуждаемость» не точны и сами нуждаются в определениях.

Предметом настоящей работы является строго научный, математически точный, критерий различения этих двух категорий – Добра и Зла.

1. Основные определения

Определение 1. Согласно [Шеврин, 1995, 386, 483], в общей алгебре моноидом М относительно двуместной операции «;» в математике называют полугруппу с нейтральным элементом, т.е. такое непустое множество объектов (элементов), что результат применения этой операции к любым двум объектам из этого множества тоже принадлежит этому множеству a;b;M, причём выполняются условия: 1) для любых a,b,c из этого множества (a;b);c=a;(b;c), 2) в M существует нейтральный элемент e такой, что для любого a;M истинно a;e=e;a=a.

Определение 1а.  Согласно [Каргаполов, Мерзляков, 1995, 167], группой называют моноид с обратным элементом, т.е. такой, что выполняется условие 3): для любого a;M существует обратный элемент a-1 такой, что a;a-1=a-1;a=e.

Определение 1б. Назовём псевдогруппой моноид с псевдообратным элементом, т.е. такой, что выполняется условие 3’):  для любого a;M существует псевдообратный элемент ar такой, что a;ar=ar;a=er.
В частности, e;er=er;e=er.

Определение 1в. Тривиальной назовём псевдогруппу, состоящую из двух элементов.

Определение 2. Назовём нашей операцией любую из следующих:
2.1. арифметическое умножение знаков, обозначаемое «;» ;
2.2. бинарная логическая операция ЛИБО (логическое исключающее ИЛИ, логическое строго одно из двух);
2.3. сложение целых чисел в кольце по модулю 2, обозначаемое «;».

Определение 3. Назовём нашими значениями только соответствующие конкретной выбранной нашей операции объекты:
3.1. знаки чисел «+» и «-»; причём знаку «+» сопоставим Добро, знаку «-» сопоставим Зло;
3.2. логический 0 (ЛОЖЬ) и логическая 1 (ИСТИНА); причём объекту 0 (ЛОЖЬ)  сопоставим Добро, объекту 1 (ИСТИНА) сопоставим Зло;
3.3. целые числа 0 и 1; причём объекту 0 сопоставим Добро, объекту 1 сопоставим Зло;
примечание: не следует этически интерпретировать  Добро как логическую ЛОЖЬ (0, +), а логическую ЛОЖЬ (0, +) как Добро; аналогично об интерпретации Зла;

Определение 4. В качестве нейтрального элемента e возьмём, соответственно конкретной выбранной н.о., объекты:
4. +;
5. логический 0;
6. целый 0.

Определение 5. В качестве псевдообратных элементов возьмём, соответственно конкретной выбранной н.о., объекты:
5.1. для знака «+» – знак «-», для знака «-» – знак «+»;
5.2. для логического 0 – логическая 1, для логической 1 – логический 0;
5.3. для целого 0 – целая 1, для целой 1 – целый 0.

Согласно [Битюцков, Колмогоров, 1995, 225], «обозначим x – произвольный элемент системы S, обозначим x' – произвольный элемент системы S'. Пусть в первой системе определены отношения Fk(x1,x2,...), где k=1,2,...,n,  а во второй системе определены отношения F'k(x'1,x'2,...), где k=1,2,...,n ».

Определение 6. «Системы S и S' с указанными на них отношениями называются изоморфными, если между ними существует такое взаимно-однозначное соответствие x'=f(x) , x=g(x') , что из наличия Fk вытекает F'k и наоборот» [там же]. «Отображение f называют изоморфизмом системы S в S', обратное ему отображение g называют изоморфизмом системы S' в S» [там же].

Очевидно, что изоморфизм не влечёт за собой совпадения сущностей, входящих в изоморфные системы, потому что соответствие не есть равенство.

Определение 7. Назовём нашей псевдогруппой тривиальную псевдогруппу относительно выбранной нашей операции, состоящую из соответствующих наших значений, где нейтральный элемент соответствующий.

Нетрудно показать, что условия 1)–2), входящие в Определение 1, и условие 3’), входящее в Определение 1б, выполняются и для знаков +/-, и для целых 0/1, и для логических 0/1, и для логических ЛОЖЬ/ИСТИНА. Также нетрудно показать, что содержащие только их псевдогруппы изоморфны друг другу и являются «нашими псевдогруппами».

Действительно,
7.1. знаки
+ ; + = +,
+ ; - = -,
- ; + = -,
- ; - = +;
7.2. логические
0 ЛИБО 0 = 0,
0 ЛИБО 1 = 1,
1 ЛИБО 0 = 1,
1 ЛИБО 1 = 0;
7.3. целые
0 ; 0 = 0,
0 ; 1 = 1,
1 ; 0 = 1,
1 ; 1 = 0.

Формально сопоставим Добру объект Д, а Злу объект З. Введём свойства этих объектов аксиоматически с использованием «нашей операции», а именно, изоморфно 7.1–7.3, получаем систему тождеств (1):
Д ; Д = Д                (1.1),
Д ; З = З                (1.2),
З ; Д = З                (1.3) ,
З ; З = Д                (1.4).
Правомочность последнего выражения может быть не очевидна, но в оправдание приведём один из его онтологических аспектов: «Враг моего врага – мой друг».

Д и З удовлетворяют псевдогрупповому свойству 1), действительно, (Д;З);Д=Д;(З;Д), (Д;З);З=Д;(З;З), (З;Д);Д=З;(Д;Д), (З;Д);З=З;(Д;З), а других вариантов нет. Д и З удовлетворяют псевдогрупповому свойству 2), действительно, из (1.1) и (1.3) ясно, что нейтральный элемент е=Д. Также Д и З удовлетворяют псевдогрупповому свойству 3’), действительно, для Д существует псевдообратный элемент Дr=З такой, что выполняется (1.2) и (1.3), а для З существует псевдообратный элемент Зr=Д такой, что выполняются (1.3) и (1.2), а других элементов нет. Итак, объекты Д и З относительно «нашей операции» образуют псевдогруппу. Она, по построению, изоморфна «нашим псевдогруппам», состоящих из вышеуказанных или знаков, или логических, или целых.

Асимметрия двух взаимно-обратных элементов в свойствах 7.1–7.3, а также (1.1)–(1.4) и даст нам основания далее предложить критерий различения Добра и Зла так, как они сопоставлены знакам, логическим и целым постоянным в Определении 3.

2. «Этическая наша операция» и интерпретация объектов Д и З

Что произойдёт, если определение «нашей операции» нагрузить дополнительным условием?

Определение 8. Назовём «этической нашей операцией» «нашу операцию» двух разновидностей таких, что ЕСЛИ оба операнда и результат «нашей операции» одинаковы, ТО разновидность назовём «солидарность», а ИНАЧЕ назовём «антагонизм». Здесь понятия солидарности и антагонизма интерпретируются естественно (общепринято).

Система тождеств (1), снабжённая «этической нашей операцией», превращается в систему условий (2):
Д солидарно Д, результат Д (свойство самоприменимости Добра);
Д антагонистично З, результат З;
З антагонистично Д, результат З;
З антагонистично З, результат Д (свойство несамоприменимости Зла)             (2).

Определение 8. Назовём эту псевдогруппу «этической нашей псевдогруппой».

Интересно, что дихотомия «Любовь/Ненависть», где Любовь аналогична Добру, а Ненависть аналогична Злу, снабжённая «этической нашей операцией», удовлетворяют системе условий, аналогичной (2).

Интересно также, что дихотомия П.А. Кропоткина «Взаимопомощь/Конкуренция» [Кропоткин, 1907, 337], где Взаимопомощь аналогична Добру, а Конкуренция аналогична Злу, снабжённая «этической нашей операцией», тоже удовлетворяют системе условий, аналогичной (2).

Таким образом, в отсутствие интерпретации определённые так Д и З (а также Любовь и Ненависть, Взаимопомощь и Конкуренция) являются лишь формальными, математическими, весьма абстрактными объектами и не имеют отношения к объективной действительности.

Поэтому, чтобы наша концепция стала не просто научной теорией, а теоретической моделью реальности, описывающей объективную действительность, необходимо нагрузить объекты Д и З традиционными, почти общепринятыми в этике признаками реального Добра и Зла соответственно, а именно, их родовым признаком – исключительно как нормативно-оценочные категории морального сознания. Такая интерпретация удовлетворительна.

3. Следствия

Таким образом, Добро и Зло могут быть вообще исключены из множества субъективных оценочных суждений и характеристик и могут быть включены во множество объективно проверяемых. Сим опровергается та часть этической концепции Конфуция, согласно которой добро есть то, что конкретный человек сам считает добром.

Как следует из (2), Добро и Зло не равны и не равнозависимы. Сим опровергается этическая концепция даосизма. Сим также обосновывается та часть этической концепции Конфуция (Кун Фу-цзы), согласно которой «на добро следует отвечать добром, а на зло – справедливостью».

Не только Любовь лучше Ненависти (как доказал Б.Рассел [Рассел, 1987, 93]), но и Добро лучше Зла, ибо Добро самоприменимо, а Зло несамоприменимо.

Заключение

Дан критерий, позволяющий отличить предположительное Добро от предположительного Зла. А именно, Добро солидарно Добру, Зло с Добром антагонистичны, Зло антагонистично Злу. Добро самоприменимо, Зло – нет.
Реальные Добро и Зло дедуктивно определены как нормативно-оценочные категории морального сознания, являющиеся элементами «тривиальной псевдогруппы» (понятие определено в настоящей статье) относительно «этической нашей операции» (понятие определено в настоящей статье), изоморфной «тривиальной псевдогруппе», состоящей из логических 0 (ИСТИНА) и 1 (ЛОЖЬ) относительно бинарной логической операцией ЛИБО, где 0 взаимно соответствует Добру, а 1 взаимно соответствует Злу.
Добро и Зло объективно проверяемы.

The article considers the ethical categories of «Good» and «Evil». There are problems: are Good and Evil objective, is there an objective criterion for distinguishing them? What are the strict definitions of these concepts? The purpose of the article is to obtain an objective criterion for distinguishing Good and Evil and precise definitions of these concepts. In the article, using the mathematical concepts of monoid and isomorphism, definitions of a «pseudogroup», «our ethical operation», as well as «our ethical pseudogroup» and Good and Evil as its trivial elements are proposed. With a natural interpretative generic feature, an objective criterion for distinguishing Good and Evil is given: Good is in solidarity with Good, Evil is antagonistic to Good, Evil is antagonistic to Evil. Good is self-applicable, Evil is not. This provides another confirmation of the concept of moral realism in metaethics.
Keywords: ethics, good and evil, isomorphism, monoid, pseudogroup, solidarity, antagonism, self-applicability

Литература/References

Битюцков В.И., Колмогоров А.Н. Изоморфизм // Математический энциклопедический словарь / под Гл. ред. А.М. Прохорова. М.: Бол. Росс. энц., 1995. C.225.

Bityuzkov, V.I., Kolmogorov, A.N. Izomorfizm [Isomorphism],  Matematicheskii entsiklopedicheskii slovar’ [Mathematical Encyclopedic Dictionary], Chief ed. By Yu.V. Prokhorov. Moscow: Bol’shaya Rossiiskaya entsiklopediya Publ., 1995. P.225. (In Russian)

Витгенштейн Л. Логико-философский трактат / пер. с нем. М.С. Козловой. М.: Гнозис, 1994.

Wittgenstein, L. Logiko-filosofskii traktat [Tractatus logicalo-philosophicus], transl. from germ. by M.S. Kozlova. Moscow: Gnozis Publ, 1994. (In Russian)

Дробницкий О. Г. Добро и зло // Бол. Сов. энцикл.: В 30 ТТ. М.: Сов. энцикл., 1969–1978.

Drobnitskii, O.G. Dobro i zlo [Good and evil], Bolshaya Sovetskaya entsiklopediya [Great Soviet Encyclopedia], in 30 Vol. Moscow: Sovetskaya entsiklopediya Publ, 1969–1978. (In Russian)

Илларионов С.В. Теория познания и философия науки. М.: Росспэн, 2007.

Illarionov, S.V. Teoriya poznaniya i filosofiya nauki [Theory of knowledge and philosophy of science] Moscow: Rosspen Publ, 2007. (In Russian)

Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Группа // Математический энциклопедический словарь / под Гл. ред. Ю.В. Прохорова. М.: Бол. Росс. энцикл., 1995. C.167.

Kargapolov, M.I., Merzlyakov, Yu.I. Gruppa [Group], Matematicheskii entsiklopedicheskii slovar’ [Mathematical Encyclopedic Dictionary], Chief ed. By Yu.V. Prokhorov. Moscow: Bol’shaya Rossiiskaya entsiklopediya Publ., 1995. P.167. (In Russian)

Кропоткин П.А. Взаимная помощь как фактор эволюции / пер. с англ. В. Батуринского. СПб.: Товарищество «Знание», 1907.

Kropotkin, P.A. Vzaimnaya pomoshch kak faktor evolyutsii [Mutual aid as a factor of evolution], transl. from Engl. By V.Baturinskii. St.Petersburg: Tovarishchestvo «Znanie» Publ., 1907. (In Russian)

Рассел Б. Почему я не христианин: Избранные атеистические произведения / пер. с англ.; сост., авт. предисл. и прим. А.А. Яковлев. М.: Иностр. полит. лит., 1987.

Russell, B. Pochemu ya ne khristianin: Izbrannye ateisticheskie proizvedeniya [Why I'm Not a Christian: Selected Atheist Writings], tramsl. from Engl.; compiler, author of the preface and notes A.A. Yakovlev. Moscow:  Inostrannoi politicheskoi literatury Publ., 1987. (In Russian)

Шеврин Л.Н. Полугруппа // Математический энциклопедический словарь / под Гл. ред. Ю.В. Прохорова. М.: Бол. Росс. энцикл., 1995. C.386,483.

Shevrin, L.N. Polugruppa [Semi-group], Matematicheskii entsiklopedicheskii slovar’ [Mathematical Encyclopedic Dictionary], Chief ed. By Yu.V. Prokhorov. Moscow: Bol’shaya Rossiiskaya entsiklopediya Publ, 1995. P.386,483. (In Russian)

(13.04.2025)