Выбор. Сумма ряда

1985 г. -1986г

Работа над диссертацией неожиданно встала. На основании вероятностного графа переходов для случая входных сигналов , подчиненных распределению Бернулли, Алексей получил искомый результат в виде суммы бесконечного ряда:

m(t,A)= Ap^A[1+qC_(A+1)^A+q^2C_(A+2)^A+....+q^hC_(A+h)^A+...],

где m(t,A) – математическое ожидание числа тактов t, необходимых для  достижения результата А в исследуемой схеме ,

p=A/M вероятность появления единицы во входной последовательности длиной М,

q=1-p – вероятность появления в ней нуля,

C_В^A — число сочетаний из В элементов последовательности по А единиц, в которых на последнем месте единица.

Алексей подумал о большом опыте математиков в решении подобных задач и решил посетить профессионалов на кафедре Математики в родном вузе. Алексей подошел с этим вопросом к Кухаренко Лидии Александровне. Лидия Александровна узнала своего бывшего студента и не отказала в просьбе помочь. Она посмотрела на ряд Алексея и сказала, что сейчас покажет его своим коллегам. Подошел профессор Кальницкий Леонид Александрович заведующий кафедрой. Все еще раз посмотрели ряд и на друг друга:

- Нет, молодой человек, нам сумма этого ряда неизвестна. Есть математический справочник: И.С. Градштейн, И.М. Рыжик - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Там , практически,  есть все. Поищите в справочнике!

Алексей поспешил в библиотеку вуза. Взял толстый справочник и стал искать. Такого ряда в справочнике не оказалось.

Алексей решил отвлечься от этой проблемы и заняться другими задачами. Но периодически в мыслях перед ним вставал этот ряд. Идей, как получить его сумму, пока не было.

Прошло два месяца. Алексей стоял на набережной  реки Фонтанки  и наблюдал, как рыбак ловил рыбу. И тут его осенило:

- А в чем сложности? В коэффициентах членов ряда — в числах сочетаний! Без них получается простой и известный ряд:

1+q+q^2+q^3+...+q^h+...

- А если взять его и продифференцировать несколько раз?!

Достал ручку и лист бумаги из кармана. Попробовал, и тут же после четвертого по счету дифференцирования получил:

4![1+qC_5^4+q^2C_6^4+...+q^hC_(4+h)^4+...].

-Да , это же в квадратных скобках мой ряд! - воскликнул Алексей.

-Что вы сказали? - спросил рыбак.

-Ничего. Я о своем , о девичьем ! - ответил Алексей.

Сумма простого ряда известна со школы:

S=1/(1-q)

Осталось ее продифференцировать несколько раз, что Алексей и сделал.

По индукции получил результат суммы искомого ряда:

m(t,A)= A/p = M

"Вот так и бывает в жизни — сложное оказывается до безобразия простым" — подумал он.

Алексей при случае показал результат математикам.