Парадоксы и тайны бесконечности в теории чисел

Бесконечность – это довольно сложное понятие со многими парадоксами и тайнами, которое впервые возникает у древних математиков в теории чисел (ныне это красивый, сложный и бесконечный раздел высшей математики). Из теоремы Евклида (о бесконечности простых чисел) следует такое утверждение математиков, которое мы (сугубо для удобства разговора) назовём «омега следствие»: бесконечность делится на все натуральные числа (ряд которых бесконечен: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …). Это легче всего «почувствовать», глядя на линейные делители (d = 1, 2, 3, 4, …, Р – это копия начала натурального ряда) достаточно большого метачисла М ~ exp(P), а именно: поскольку каждое простое Р = 2, 3, 5, 7, 11, 13, … порождает своё метачисло М (у которого не менее Р линейных делителей), то, при устремлении простого Р в бесконечность, порождаемое им метачисло М; также устремляется к бесконечности и у него бесконечно много линейных делителей). В наших обозначениях Мw (число М с индексом w) – это, условно говоря, «последнее» метачисло, поскольку w (будем условно считать, что это "омега") – последняя буква греческого алфавита (омега отдаленно напоминает символ "бесконечности"). Указанные обозначения и термины весьма спорны (как и данная статья в целом), но автор не нашел иного наипростейшего способа, чтобы изложить свои «исследования» и рассуждения в части таинственной бесконечности.
Как простое число Р порождает своё метачисло М? Для для всех первых простых чисел Рк = 2, 3, 5, 7, ..., Р (где индекс к = 1, 2, 3, 4, ... – это порядковый номер простого) вычисляем к-ый показатель степени: Ск = целое[ln(P)/ln(Pк)] – это целая часть выражения, стоящего в скобках (ln – это натуральный логарифм). Затем каждое к-ое простое число возводим в найденную (целую) степень и получаем к-ый (целый) сомножитель: (Рк)^(Ск), после чего перемножаем все полученные (целые) сомножители. Так мы получаем метачисло М в каноническом виде, а его тип (Т, количество всех делителей числа М) – это произведение всех его сомножителей вида (Ск + 1).
Кстати, здесь мы опять принимаем метачисло (М) в качестве наилучшего заменителя родственного ему сверхсоставного числа. У всякого сверхсоставного числа N параметр Т (тип числа N) больше, чем у всех предшествующих чисел (меньших N), но находить сверхсоставные числа сложнее, чем метачисла (М), которые стоят «за спиной» родственного сверхсоставного (N ; M), то есть имеющего такое же количество (Т) всех целых делителей (включая 1 и само N).
Все малые делители (в том числе и линейные делители) всякого метачисла М (имеющего всего Т делителей) находятся на отрезке от 1 до M^0,5 (строго говоря, до целой части корня квадратного из числа М, что в данном случае для нас не существенно). При этом у всякого метачисла количество малых делителей равно Т/2, поскольку каждый i-й большой делитель Di метачисла M порождается «своим (i-тым)» малым делителем: Di = M/di (где порядковый номер i = 1, 2, 3, 4, …, Т/2). Поэтому, вероятность (Vм) того, случайно взятое натуральное число из отрезка [1; M^0,5] окажется малым делителем метачисла М будет выражаться таким отношением:
Vм = (T/2)/(M^0,5).                (1)
Например, рассмотрение первых реальных метачисел (порожденных такими простыми: 13 < Р < 277) приводит нас к такой эмпирической формуле:
Vм ~ 151,68/exp(0,354*P) ~ 151,68/M^0,354,              (2)
и, по мере роста М, реальная вероятность Vм быстро убывает от 0,16 до 1/10^42. При дальнейшем росте М убывание вероятности Vм (к нулю!) становится ещё более стремительным, чем по формуле (2). Вместе с тем, указанная вероятнсть Vм (у метачисел и сверхсоставных чисел) является наибольшей, недостижимой для любого иного натурального числа. Что нетрудно доказать: на отрезке [1; N] суммарное количество (k*) всех малых делителей (у всех N чисел) будет примерно таким: k* = 1/2*N*lnN (что вытекает из формулы Дирихле), а суммарное количество (k) всех натуральных чисел на всех отрезках [1; N^0,5] будет примерно таким: k = 2/3*N^(3/2) (см. количество всех камней в Стволе Пирамиды делителей), поэтому вероятность V = k*/k (по своему смыслу аналогичная вероятности Vм) будет примерно такой:
V = 3/4*lnN/N^0,5,                (3)
и нетрудно убедиться, что, по мере роста N (и метачисла М ~ N), эта вероятность V будет всё меньше и меньше, чем выше найденная вероятность Vм у метачисел (например, при M ~ 10^101 мы получаем Vм/V ~ 10^14).
С другой стороны, в силу омега следствия, все натуральные числа из отрезка [1; Mw^0,5] являются малыми делителями «последнего» метачисла Mw, поэтому для него в части вероятности Vм можно предположить два варианта: либо Vм = 1 (кстати, как и реальная вероятность Vм у первых двух метачисел: М = 2 и М = 6), либо Vм = бесконечность/бесконечность (возникает неопределенная ситуация), поскольку у метачисла Mw параметр Т/2 = бесконечности и Mw^0,5 = бесконечности. Причем любой из этих вариантов говорит о непостижимости понятия «бесконечность» для неподготовленного читателя (впрочем, и для самого автора, возможно, допускающего ошибки в своих рассуждениях). Таким образом, здесь мы сталкиваемся, скажем так, с первой «нестыковкой» в поведении ряда обычных метачисел (у которых Vм устремляется к нулю) и «последнего» метачисла Mw (у которого Vм устремляется к единице или к неопределенности вида бесконечность/бесконечность).
Из выше сказанного следует, что при устремлении P к бесконечности любой отрезок [1; P] натурального ряда (даже сколь угодно большой отрезок) можно воспринимать «всего лишь» как … линейные делители метачисла M ~ exp(P), то есть метачисла, порожденного (по известному алгоритму) старшим простым числом Р. И тот факт, что отрезок [1; P] – это только «внутренность» метачисла М ~ exp(P) (его первые делители), проверяется единственным критерием: среди делителей М после простого Р мы больше не встретим ни одного простого числа (вплоть до числа M^0,5, поскольку все прочие малые делители метачисла М будут составными числами). В рамках числофизики это означает, что «внутри» метачисла М (среди его делителей) после Р параметр «время» исчезает, поскольку числофизика связывает «течение» времени с подсчётом количества простых чисел (идущих по возрастанию, как и в натуральном ряде). Иначе говоря, в многочисленных чёрных дырах нашей Вселенной «течение» времени обречено на исчезновение («замораживание»), а если и сама наша Вселенная – это «внутренность» колоссальной чёрной дыры (есть и такая гипотеза у физиков), то в некий момент в нашей Вселенной «течение» времени также неизбежно прекратится (но повторится сначала в бесконечных копиях нашей Вселенной в составе Метавселенной).
В части того, что Vм = 1 у первых двух метачисел (М = 2 и М = 6) и у «последнего» метачисла Mw ещё можно упомянуть следующее. Единица – это совершенно особое число, которое математики относят к первому сверхсоставному числу, поэтому единицу можно считать и первым метачислом (М = 1). Правда, сам автор раньше этого не делал, так как единица в любой степени (даже в степени бесконечность) – это также единица, поэтому у единицы мы получаем тип Т = бесконечности? Более того, иногда математики считают именно единицу – первым простым числом (а не число 2). При этом в теории чисел есть ключевая (и красивая в своём предельном лаконизме) формула:
K ~ P/lnP,           (4) 
которая для всякого простого числа Р выдаёт его примерный порядковый номер (K) в ряде всех простых. Так вот, эта формула при устремлении Р к единице (Р ; 1) выдаёт нам следующее: K --> 1/ln1 --> 1/0 --> бесконечность, то есть у простого числа Р = 1 порядковый номер устремляется к … бесконечности (проверьте это сами на ПК, полагая Р вещественным числом: Р = 1,1; 1,01; 1,001; 1,0001; …).
Уместно заметить следующее: вероятность (Vб) того, что случайно взятое натуральное число из отрезка [1; M] окажется большим делителем метачисла М будет выражаться таким отношением: Vб = (T/2)/M, что меньше вероятности Vм = (T/2)/(M^0,5) в такое количество раз: Vм/Vб = M^0,5. Возможно, поэтому таинственные тёмная энергия и тёмная материя если и связаны как-то с миром натуральных чисел, то именно с большими делителями.
Итак, поскольку (в силу омега следствия) бесконечность делится на ВСЕ натуральные числа, то данное утверждение математиков позволяет (?) нам полагать, что все натуральные числа от 1 до d = M;^0,5 являются малыми делителями «последненго» метачисла Мw (как бы символизирующим бесконечность), а их сумма (Sм) будет равна следующему:
Sм = 1 + 2 + 3 + 4 + … + d = (1 + d);d/2.             (5)
При этом сумма (Sб) всех больших делителей данного метачисла будет вычисляться так: Sб = Мw/1 + Мw/2 + Мw/3 + Мw/4 + … + Мw/d = Мw*(1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/d), откуда окончательно получаем:
Sб = Мw(lnd + гамма + эпсилон),          (6)
где гамма = 0,577 215 664 901 532… – постоянная Эйлера-Маскерони (математическая константа), а поправка эпсилон = 1/2/d + (– 1/12/d^2 + 1/120/d^4 – 1/252/d^6 +…), где в скобках числа Бернулли – бесконечный ряд с чередованием знаков («+» и «–») у членов ряда, который устремляется к нулю.
Поэтому сумму (S) всех (малых и больших) делителей метачисла М; находим по формуле (это «точная» формула):
S = Sм + Sб.         (7)
А вот если принять d = Мw^0,5, то в итоге можно записать и так (это «грубая» формула):
S ~ 0,5*Мw*(1 + lnМw),   (8)
причём в теории чисел (что вытекает непосредственно из формулы 4) произведение Мw*lnМw (которое «зашито» в формулу 8) – это приблизительная величина … простого числа с порядковым номером Мw (в ряде всех простых чисел).
При этом в рамках числофизики для упрощения разговора (и не только) у всякого натурального числа (N) сумму всех его целых делителей (включая 1 и само N) автор назвал богатством (S) числа N. Поэтому выше полученный результат в части формулы (8) может звучать короче: богатство бесконечности (;) – это почти … простое число. Самые «бедные» числа (с минимальным богатством) – это простые числа (Р = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …, открытые ещё древними мудрецами) и все они делятся только на 1 и самих себя (Р), то есть у всех простых чисел минимально возможное богатство: S = Smin = 1 + P. Поскольку простых чисел бесконечно много (они устремляются в бесконечность), то в части простых чисел мы сразу убеждаемся, что у простых чисел богатство – это почти простое число (больше него лишь на 1).
Из формул (5) и (6) следует, что у метачисла Мw доля (Sм/Sб) богатства всех малых делителей от богатства всех больших делителей убывает по такому закону: Sм/Sб ~ 1/lnМ;. Любопытно, что ровно так убывает и вероятность (1/lnМw) встретить простое число на отрезке [1; Мw] (что вытекает из формулы 4). И эта доля (Sм/Sб) убывает на много порядков медленнее, чем доля (m*/M*) богатства всех малых делителей от богатства всех больших делителей на отрезке [1; N], поскольку m* = 2/3*N^(3/2) (см. законы Пирамиды делителей), а М* = пи^2/6*N^2/2 и мы получаем: m*/M* = 8/пи^2/N^0,5. Таким образом, здесь мы сталкивается, скажем так, со второй «нестыковкой» в поведении обычных чисел и «последнего» метачисла Mw. Впрочем, скорее всего, все эти «нестыковки» вызваны ошибками в рассуждениях автора (для метачисла Mw, надо полагать: Sм = бесконечность и Sб = бесконечность, поэтому Sм/Sб = бесконечность/бесконечность).
Заканчивая данную (крайне спорную) статью, хочется очередной раз подчеркнуть следующее. Именно простые числа (самые «бедные») – являются фундаментом бесконечного натурального ряда, поскольку из простых чисел «конструируются» (в каноническом виде, см. «Основная теорема арифметики») все прочие – составные числа (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …), среди которых есть сверхсоставные числа (N = 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, …) – у них количество (Т) всех делителей больше, чем у любого натурального числа на отрезке [1; N], поэтому такие числа – и самые богатые: их богатство (S = Smax) превышает богатство (S) любого из предшествующих (меньших) чисел отрезка. Столь богатые числа весьма редкие, так, среди первых 10^101 чисел их набирается от 1160 до 1314 штук (из них автору достоверно известно только первые 117 сверхсоставных чисел вплоть до N = 2 021 649 740 510 400). И здесь удобно рассматривать их заменители (в части параметров Т и S) – метачисла, которые легко находить (правда, метачисла встречаются ещё реже, чем сверхсоставные числа). Например, у 51-го метачисла М ~ exp(P) ~ 10^101 [стоящего «за спиной» родственного ему (в части параметра Т) некого сверхсоставного числа] и порожденного старшим простым Р = 233 мы получаем богатство S ~ 10^102 (при количестве всех делителей Т ~ 10^17). При этом на указанном отрезке [1; M] у подавляющего большинства (скажем так, «нормальных») чисел богатство будет всего лишь порядка S = 9360 (при «нормальном» количестве всех делителей порядка Т = 44).
Даже сказанное в коротком предыдущем абзаце – уже дает представление читателю о крайне «несправедливом» распределении богатства в мире чисел (и всё это «придумано» … самим Творцом?), которое, по мнению автора, наилучшим образом (лучше пресловутых общественных «наук») объясняет, «моделирует» главные социальные феномены наших дней: 1). По данным отчёта UBS Global Wealth за 2024 год, около 47,5 % мирового богатства (это около 213 триллионов долларов) принадлежит 1,5 % населения планеты. 2). Состояние 72 млн человек самых богатых людей Земли (1% населения планеты) достигло в этом году 125 триллиона долларов и превысило состояние всего остального мира, утверждает Oxfam со ссылкой на данные Credit Suisse. Подобные факты «несправедливости» в социуме (увы, «зашитые» в него законами самого Творца?) читатель может сам попытаться объяснить, исходя из законов мира чисел (коих множество в рамках числофизики).
30.05.2025, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2025