Мышление человека неописуемо языком. Апорий Зенона

Апорий Зенона заключается в следующей задаче.
Ахиллес, знаменитый чемпион по бегу в древней Греции, находясь на каком-то расстоянии от черепахи, как бы медленно она ни двигалась, - никогда её не догонит. Далее приводятся следующие размышления.
Когда А. преодолеет расстояние D0, отделяющее его от Ч., последняя передвинется за это время на какое-то расстояние D1.
Когда А. преодолеет и это расстояние, Ч. снова передвинится на какое-то расстояние D2.
..
И т.д. до бесконечности.
Процесс этот никогда не закончится, следовательно, А. никогда не догонит Ч.

Зенон своим парадоксом обратил внимание людей, что если понятие непрерывности, как возможности деления какого угодно малого отрезка действительно существует (т.е. любой как угодно малый отрезок можно поделить на два отрезка меньшей длины), то значит, начав процесс такого деления, мы его никогда не закончим в виду его бесконечности. И это, не глядя на то, что первоначальный отрезок, от которого мы начали процесс деления, имеет конечную длину.

Ясно, что Зенон прекрасно понимал, что это парадокс, но чего ради он имеет место?

Всем понятно, что А. догонит Ч., причем очень быстро. А это значит, что бесконечная сумма отрезков Di:
D1+D2+...+Dn+...
имеет конечное значение.
Более того, уже тогда каждый школьник мог вычислить, на каком расстоянии от начального пункта А. догонит Ч. и за какое время.
Действительно, если расстояние между А. и Ч. было D0, а скорости их были Va и Vc, то расстояние это во время их движения будет уменьшаться со скоростью (Va-Vc), т.е.
А. догонит Ч. за время
t=D0/(Va-Vc),
при этом А. пробежит расстояние:
Sa=t*Va=D0*Va/(Va-Vc)=D0*(Va/Va)/(Va/Va-Vc/Va)=D0*1/(1-q), где q=Vc/Va

Теперь вернёмся в наше время.
Пусть Va - скорость А., Vc - скорость Ч., причем Vc < Va.
Если Va,Vc - постоянны, то Vc/Va=q < 1
Тогда D1=D0*q; D2=D1*q=D0*(q**2), ... ,    Dn=D0*(q**n), ..
Т е. будем иметь геометрическую прогрессию с суммой:
S=D0+D0*q+D0*(q**2)+ ... +D0*(q**n)+ ... =
D0*(1+q+q**2+ ... +q**n+ ...)=D0*1/(1-q); т.к. q<1
S=D0*1/(1-q);
Это и будет длиною пути, который пробежит А., когда догонит Ч.
Выше это мы выяснили элементарным способом, теперь, используя теорию пределов.
Теперь мы знаем, что и во время Зенона было известно, что бесконечная сумма:
1+q+q**2+ ... +q**n+ ...
имеет конечное значение:
1/(1-q),  для q<1.

Итак, уже древние греки знали, что существуют суммы с бесконечным числом членов, имеющие конечное значение.

Всегда ли в случае А. и Ч. такое будет?
Нет.
Когда скорости их будут постоянны и Vc<Va, то как мы выяснили, А. догонит Ч., пробежав расстояние
S=D0/(1-q),
где D0 - начальное расстояние между А. и Ч., а q=Vc/Va - отношение их скоростей, т.е. время, за которое А. догонит Ч. будет:
t=S/Va=D0/(1-q*Va)=D0/(Va-Vc).
Если, однако, скорость Vc не будет постоянна, а, например, когда А. достигет 1 пункт, где был Ч., то Ч. преодолеет расстояние D1=1/2*D0, а когда А. пробежит отрезок D1, то Ч. преодолеет расстояние D2=1/3*D0, и т.д.
Таким образом, будем иметь:
Dn=1/(n+1)*D0,  также, как и прежде, для Vc<Va
Иными словами, условия задачи сохраняются: А. быстрее Ч., но:
Dn=D0*1/(n+1),
т.е. S=D0+D0*1/2+D0*1/3+ ... +D0*1/n+ ...=
=D0*(1+1/2+1/3+ ... )
Ряд в скобках расходящийся, т.е. неограничен.
Ряд этот называется гармоническим.

Итак, А. действительно не всегда догонит Ч., но скорость Ч. тогда должна быть по отношению к скорости А. меняющейся от пункта к пункту.

Этот подход к задаче математический.

С точки зрения понятийного, вопрос остаётся открытым.
Пробежав конкретный отрезок пути и догнав Ч., А,  оказывается, преодолевает бесконечное множество отрезков пути, с длиной большей 0, но сумма которых будет конечна.
То же и со временем:
T=D0/Va+D1/Va+D2/Va+ ...=
=(D0/Va)*(1+q+q**2+q**3+ ...)
Т.к. время, когда А. догонит Ч., конечно, то вновь видим, что бесконечный ряд в скобках имеет конечное значение.

Понятно, что Зенон это прекрасно понимал. Зенон, таким образом, хотел обратить внимание людей на парадокс понятийный: ПРОЦЕСС, НЕ ИМЕЮЩИЙ КОНЦА, - ЗАКАНЧИВАЕТСЯ!

Какова же причина этого парадокса?

Итак, парадокс заключается не в задаче, а в понятиях, не выяснимых языком дискретных (отдельных) символов. Парадокс вскрывает невозможность выяснить языком дискретным процесса непрерывного.

Дело в том, что понятие непрерывности (продолжаемости) пути, который по сути конинуален (непрерывен), мы определяем в понятиях дискретных (разрывных).

Что придумали математики, чтобы иметь возможность описывать процессы непрерывные? С этих понятий и начинается, так называемый, математический анализ или высшая математика.
В чем её можно признать высшей? Высшей от той, которой располагали, рассматривая дискретные объекты?
Высшая она тем, что переходит на существенно иной уровень мышления, ибо чтобы перейти к объектам непрерывным, используя язык разрывный, следовало математикам перешагнуть через бесконечность. Ведь именно так и определяется понятие непрерывности в точке: через бесконечность, ибо под непрерывностью в точке подразумевается такое положение рядом находящихся с нею с обоих сторон точек, что любые бесконечные последовательности их, отстояние которых от этой точки стремится к нулю, будут своим пределом иметь именно эту точку.

Можно нырнуть глубже. Наше внутреннее мышление, которое мыслит непрерывно, мы при внешней коммуникации пытаемся передать на языке дискретных (еденичных, словесных) символов, символов внешнего языка. Отсюда и возникают понятийные парадоксы.

Чтобы описать процесс продолжения и понятие предела, математики вынуждены были определить непрерывность как скачок через бесконечность.

Возможно, в этом также  и проблема интуиции. Непрерывный язык внутреннего мышления видит решение задачи, когда интеллект человека ещё не нашел способа выразить это дискретным языком.

Думаю, что парадокс Зенона связан не с понятием движения, а с верой в то, что любой отрезок можно разделить на два, меньших первого. Это приводит (как и в самом парадоксе) к тому, что любую точку отрезка можно представить как предел бесконечной последовательности точек, расстояние от которых до данной стремится к нулю.
Математики воспользовались этим, чтобы дать определение понятию непрерывности.

Линия называется непрерывной в данной точке, если пределы любых последовательностей точек, имеющих пределом эту точку слева, совпадают с таковыми справа.

Именно принятие на веру этого постулата (что любой отрезок можно разделить на два меньших) и приводит к противоречию.

Это именно постулат (аксиома), т.к. невозможно опытно произвести бесконечное множество делений отрезка.

Чтобы такой процесс деления был возможен, необходимо, чтобы скорость изменения времени следующей операции деления уменьшалась так, чтобы бесконечный ряд из этих времён сходился:
t1+t2+t3+ ... < const
Иначе этот процесс невозможно будет закончить.

Что позволяет этому постулату быть принятым нашим сознанием?
Способность нашего мышления мгновенно представить себе этот процесс.

Это также значит, что если мы подключаем к этому процессу меру времени, то принять постулат не удастся.
Этим и воспользовался Зенон, т.к. любое движение вместе с пространством связывает и время.

Чтобы таковое было возможно и во времени, следует принять постулат, что скорость одной и той же операции может стремиться к нулю так быстро, чтобы бесконечный ряд из суммы этих времён сходился.

Поскольку непрерывность линии принимается нашим сознанием (что равнозначно постулату деления отрезка), следовательно, мышление наше игнорирует меру времени, т.е. не зависит от него.

Можно вспомнить поговорку: "Ничто не быстро, как мысль", "Быстрый, как мысль".

Из этого следует, что мышление человека обладает свойством непрерывности, что невозможно отобразить дискретным языком внешней коммуникации между людьми.

Итак, Апорий Зенона демонстрирует парадоксальность мышления человека мере времени, или, иными словами, невозможность передать вневременную непрерывность мышления на временный язык дискретных символов человеческого общения.

Этим, думаю, и можно объяснить невозможность выяснения человеком того, что есть интуиция.
Она есть фактом. Многие олимпиадные задачи возможно решить только с её помощью. Однако что это такое, и каким образом человек ею пользуется является неразрешимой загадкой.

На память приходит былая уверенность большинства математиков 19 и начала 20 веков, что всю математику возможно аксиоматизировать. И только после грандиозной "Теоремы о Неполноте" австрийского математика Курта Гёделя в 1931 году стало понятно, что таковое невозможно.
И действительно, если бы таковое было возможно, то процесс мышления, который в узкой форме отражает математика, можно было бы описать языком дискретных символов. Курт Гёдель доказал, что это невозможно для любой непротиворечивой системы, включающей в себя арифметику.

Итак, Апорий Зенона демонстрирует парадоксальность мышления человека: невозможность передать вневременную непрерывность мышления на временный язык дискретных символов человеческого общения.