Вынужденные колебания резонансных датчиков

   Для исследования спектра семплов в программе «Пианола_М» используются резонансные датчики. Физической моделью датчика служит груз единичной массы, подвешенный на пружинке. Коэффициент жёсткости пружины задаётся для каждого датчика индивидуально - так, чтобы резонансная частота системы Fo оказывалась равной частоте ноты. Для более точного анализа спектра между соседними полутонами вставляются ещё три датчика, настроенные на промежуточные частоты. Во время анализа спектра фиксируется наибольшее отклонение груза, оно и принимается за амплитуду звука.
   В статье приводится формулы, описывающие поведение резонансных датчиков, а графики иллюстрации поясняют особенности их колебаний.


   Вынуждающую силу, приводящую датчик в движение, записываем в виде:

 A(t)= Ao*cos(pi*2*F)   
   полагая начальную координату X и скорость груза равными нулю, запишем решение уравнения колебаний в виде зависимости X(t):

(1) X= Ao/m / 2*pi*pi*(F^2-Fo^2) * Sin(pi*(F-Fo)*t) * Sin(pi*(F+Fo)*t) * t
   где, для простоты вычислений, положим Ao/m=1
   При совпадении вынуждающей частоты F с резонансной частотой Fo раскрываем неопределённость деления 0/0 и получаем:

(2) X= 1 / 4*pi*Fo * Sin(2*pi*Fo*t) * t
   колебания в этом случае имеют вид синусоиды с амплитудой, линейно увеличивающейся во времени (см.иллюстрацию). Видно также, что амплитуда развивающихся колебаний обратно пропорциональна резонансной частоте на которую настроен датчик. Последнее обстоятельство учитывается при обработке данных о спектре, получаемых от датчиков.

   Вместе с тем, полоса чувствительности у датчиков, настроенных на высокие частоты, уже, чем у датчиков низких частот. В связи с этим, датчики низких частот склонны более отзываться на колебания не точно попадающие в резонанс, и это видно по графикам, приведённым на иллюстрации.
   Реакция датчиков частот Fo=440 Гц и Fo=110 Гц на отклонение по частоте dF на 0.4-3.2 Гц совершенно одинакова, между тем, как относительная величина этого отклонения dF/F отличается в 4 раза, а это и значит, что датчики низкой частоты, при той же длине анализируемого времени, имеют более широкую полосу чувствительности.

   То же самое видно по осциллограммам, приведённым правее - линии спектра низких частот, не важно, одиночные или множественные, тонут своим основанием в шумах, тем больше, чем ниже частота, и чем меньше длина анализируемого отрезка.

   В целом, теоретические расчёты находятся в соответствии с поведением резонансных датчиков, наблюдаемым на практике.

__________
16.06.2025