О моих любимых Квадро-Квадратах 1

Мечтатели, сибиллы и пророки
Дорогами, запретными для мысли,
Проникли — вне сознания — далеко,
Туда, где светят царственные числа.

Предчувствие разоблачает тайны,
Проводником нелицемерным светит:
Едва откроется намек случайный,
Объемлет нас непредсказанный трепет.

Вам поклоняюсь, вас желаю, числа!
Свободные, бесплотные, как тени,
Вы радугой связующей повисли
К раздумьям с вершины вдохновенья!

Автор: alsary


Еще раз о Квадро-Квадратах n-го порядка (Ква-Ква–n) или Квадратах Рабина (КР-n).

Определение 1: Квадро-Квадратом n-го порядка (КР-n) называется Числовой Квадрат, заполненный Целыми Числами от 1 до n2 таким образом, что сумма чисел любого квадратика 2х2 (квадрика) постоянна и равна Квадрическому Числу R.

Определение 2: Магическим Квадратом n-го порядка (МК-n) называется Числовой Квадрат, заполненный Целыми Числами от 1 до n2 таким образом, что суммы чисел любой строки, любого столбца и двух главных диагоналей постоянны и равны Магическому Числу М.

Определение 3: Квадро-Магическим Квадратом n-го порядка (Квадро-МК-n) называется Числовой Квадрат, в котором выполняются условия обоих определений.

Для определенности, будем рассматривать Традиционные Числовые Квадраты nxn , в которых расположены все целые числа от 1 до n2. Тогда для n четных Rn=2m (где m=n2+1) и другие при n нечетных (определяемых другой формулой). См. примеры КР-n на рис. 1 и 2, построенные способом шахматной окраски.      

Основное свойство КР-n: при n>3 суммы чисел главных диагоналей М1+М2=2М, а суммы чисел разломанных диагоналей чередуются согласно суммам М1 и М2.
Теорема о Поле циклических перестановок строк и столбцов (торических преобразований) КР-n при четных n: квадраты, полученные циклическими перестановками строк и (или) столбцов заданного КР-n, тоже являются Квадро-Квадратами и заполняют Поле из n2 новых Коциклических заданному КвадроКвадратов с таким же квадрическим R и такими же Магическими диагоналями М1 и М2.
Назовем это свойство ПанКвадричностью четных Квадро-Квадратов.См. пример  квадрического Поля для заданного КР-6, в котором находятся все 36 КР-6 на рис. 3: КР-n четно-четного порядка могут быть одновременно и Магическими или ПолуМагическими, а четно-нечетного порядка только ПолуМагическими. См. примеры на рис. 4.  Назовем их КвадроМК и, соответственно, КвадроПолуМК.               

Замечание. Все Магические и ПолуМагические Квадраты Франклина являются одновременно Квадро-Квадратами.

Квадро-К-n интересны тем, что они:               
1) имеют общий способ построения и более упорядочены,               
2) имеют при n>4 большее количество квадрических сумм R, чем МК своих М,               
3) имеют больше видов преобразований в другие Квадро Квадраты,               
4) имеют меньшее количество параметров для построения их общего решения, что позволяет вычислять их количество для бОльших n.

В отличие от МК-n, Квадро-Квадраты имеют общий способ их построения из матрицы n х n Естественно упорядоченных целых Чисел от 1 до n2 (ЕЧК-n), называемый Способом шахматной раскраски: для этого числа, стоящие в клетках одного цвета, оставляем на своих местах, а каждое из чисел, стоящих в клетках другого цвета меняем местами с центрально симм. числом. В результате получается КвадроКвадрат с Квадрическим числом К=2m. Назовем его Базовым.
Имеются и другие способы построения КвадроК-n, отдельно для четных или нечетных порядков.
Следующим отличием КвадроК-n от МК-n является то, что у них для четных n Квадрическое число равно 2m, а для нечетных может быть разным для одного и того же n. См. примеры на рис. 3.               
Для вычисления числа всех различных КвадроК-n для заданного n с помощью компьютера требуется всего 2n-1 параметров, а количество в нем Квадрических сумм R равно (n-1)2.