Произведение

Математика изучает структуры, их взаимодейтвия, изменения.
Применение математики в рамках исследования физического мира требует выделения сущестностных свойств объектов и явлений, их исчисления, понимания механизмов их взаимодествия: формирования, измений, распада.
Как математическое описание упорядоченности и закономерностей физической реальности, так и реальную их организация — универсальный закон сохранения и принципы фундаментальных взаимодействий — выражает Произведение.

Вопрос о том, чем является "произведение" как феномен требует обращения к самым глубоким пластам математики, физики и философии с переходом к нечту интуитивному.
"Призведение" интересно и своей сущностью, и функцией не в смысле знака сокращенного однородного сложения, "ритмичного" накопления — а в принципе: почему оно есть, или обнаруживается, или хотя бы — в чем универсальность его явления на уровне физики.
На уровне математики и всё — это то, о чем уже сказано, а также — инструмент согласования единиц измерения.
Но можно и шире, и основательнее — тогда явление его выходит далеко за рамки алгоритма сложения.

Речь о наличии всеприникающей и непреодолимой симметрии , пропорциональности, когда взаимодействие разных свойств, которые кажется не подлежат соотношению, соприкосновение которых невообразимо, оказываются взаимопроницаемыми, порождают качественно новые величины (во всяком случае позволяет из выделить) интенсивностью в строжайшей пропорции, но ритмично и соразмерно.
 
Это уже онтологический вопрос, то есть вопрос о совместном бытии свойств, величин.

Одно явление подлежит разложения на множители (растяжению его интенсивности) и проявлению через призму другого.
Величины не просто складываются — они взаимопроникают, образуя новую сущность. Синтез.
Например, мощность тока — это способ существования напряжения и тока вместе — напряжение, проявляющее себя через ток (и наоборот).
Произведение свойств создает новую физическую размерность (Ватт = Вольт * Ампер, Н = кг * м/с2).
Ключевой момент. Произведение выражает синтез качественно нового из комбинации исходных сущностей. Импульс (p = m * v) — не "количество массы плюс количество скорости", а новое фундаментальное свойство количества движения, объединяющее инертность и перемещение. Как координата в измерении, которого раньше не существовало. Новая ось.

Феномен произведения как фундаментальной связи величин может интерпретироваться и как обнаружение объективной латентной структуры реальности (реализм), и как активное структурирующее начало познающего разума (конструктивизм/идеализм), особенно релевантное в контексте квантовой физики и роли наблюдателя.

Законы физики часто выражают сохранение энергии, импульса, заряда и др. и Произведение — идеальный инструмент для описания величин, остающихся постоянными при определенных преобразованиях системы.

Произведение фиксирует пропорциональную зависимость, где изменение одной величины неразрывно влечет изменение другой для сохранения целостности явления (P = U * I: если U растет, а P должно остаться прежним, I обязан упасть). Это не просто "ритм", а жесткая взаимосвязь, диктуемая законом сохранения или же структурой явления.
Взаимодействие исходных свойств (массы и скорости, напряжения и тока), диктуемое фундаментальными симметриями, порождает качественно новые, синтезированные величины (импульс, мощность), обладающие собственным онтологическим статусом и размерностью.

На интуитивном уровне произведение чисел естественно соответствует вычислению площади прямоугольника (длина * ширина), объема параллелепипедаи т.д.. Это обобщается на понятие меры в математике — способа присвоения "размера" множествам. Любое измерение — это ритм сравнения с эталоном, монотонная цикличность. Наш ум естественным образом зрительно засекает и соотносит между собой наблюдаемые отрезки. Так же на слух, на любое чувство.

"Скрытый ритм", который мы чувствуем — это фундаментальные симметрии пространства-времени и внутренние симметрии физических полей. Законы природы, записанные через произведения (или их обобщения — скалярные произведения, векторные произведения, тензорные), неизменны относительно этих симметрий. Неважно, непрерывны симметрии или же дискретны — при переходе на уровень, включающий подлежащие общающиеся системы, вновь будет обнаружен закон баланса уже имеющихся в системе качества в новом свойстве-величине.

В квантовой теории поля на фундаментальном уровне интенсивность взаимодействия между частицами связана с произведением их зарядов (констант связи) и динамикой виртуальных частиц-переносчиков. Мультипликативная логика здесь реализуется в более сложной замаскорованной, нелокальной форме, накапливающей вклады всех возможных путей взаимодействия (интеграалы по траекториям).

Природные явления, описываемые более сложными функциями (экспоненты, тригонометрические и др.) —так же подчинены мультипликативной логике.

Например, следуя экспоненциальному закону, радиоактивный распад, размножение описываются как размеренный мультипликативный рост или убывание — как "процент от процента".

Или тригонометрические, колебаниями описывают цикличные состояния систем (осцилляторы, волны), которые часто являются решениями дифференциальных уравнений, содержащих производные (темпы изменений). А производная — предел отношения приращений (можно сказать, произведения с обратным значением). Колебания возникают из взаимодействия.
Например, взаимодействие возвращающей силы и инерции в пружине. F = -k*x, a = F/m => a = -(k/m)*x — ускорение пропорционально смещению. Таким образом, произведение здесь приводит к синусоидальному явлению.

Даже в сложных, хаотических и фрактальных системах, описываемых нелинейными законами, мультипликативная логика проявляется в обобщенной форме: через степенные законы, экспоненциальные показатели роста, и процедуры ренормализации, основанные на масштабных преобразованиях. Свойства таких систем накапливааются через многократное применение (итерацию) правил, часто включающих мультипликативные элементы или отношения, демонстрируя глубокую укорененность в устройстве мира принципов соразмерности и синтеза, факторизации сложных физических структур и синтеза, соразмерности изменений компонентов.

Это взгляд на "произведение" не просто как на арифметику и интенсификацию, не просто язык — а как оператор синтеза новых размерностей, свойств — глубинный принцип связи и взаимодействия, на котором строится математическое описание упорядоченности и закономерностей физической реальности.
Мост между дискретным счетом и порождении новых свойств и сложных физических сущностей, столь же строгих и ритмичных — фундаментальной симметрией в основе законов сохранения, непрерывной гармонией мира.