Случайность - закономерность

Наставникам, хранившим юность нашу,
Всем честию, и мертвым и живым,
К устам подъяв признательную чашу,
Не помня зла, за благо воздадим.
А.С.Пушкин. «19 октября» (1825 г.)

Учителям физико-математической
 Школы-интерната №18 при МГУ
им. А.Н Колмогорова - посвящаю.

«Случайность — это непознанная закономерность» Ф.Энгельс.
Хотя эту мысль в близких по смыслу формулировках. высказывали уже очень давно, первыми, видимо, были Левкипп и Демокрит (позднейшие «древние» ссылались, как правило, сразу на обоих и, возможно, многие работы Левкиппа приписывались Демокриту). Однако, Левкипп жил лет на 10 раньше Демокрита и ему, скорее всего, и принадлежит фраза о том, что все в мире имеет свои причины. Совсем уже близкая фраза, но гораздо позже, была у Аристотеля: «Случайность - это то, что не удалось еще обобщить». Идею о детерминизме Аристотель взял у своего учителя Демокрита, но в качестве причины использовал промысел, естественно, Божественный.
    С XIX века, когда повторяют фразу "Случайность – это непознанная закономерность"– автором считают уже Энгельса. Для XIX века это вполне нормальное, разумное утверждение. Но для XX века это уже не совсем так, а в ряде случаев – совсем не так.

Случайность – закономерность,
Подлунного мира каноны,
Реальность и эфемерность,
Миры, образцы, эталоны.
.........................
.........................
.........................
Делить бесполезно реальность,
Случайность – закономерность,
Все происходящее – данность. 

Антонов Геннадий
Источник: https://poembook.ru/poem/1486407-sluchajnost

Случайны события или закономерны?!
Основная задача специалистов по страховой статистике (актуариев) – построение математических моделей, которые предсказывают, или помогают предсказывать, вероятность наступления определённых событий и их финансовые последствия.

Открытие Андреем Николаевичем Колмогоровым объективного критерия случайности [1], кратко изложено Владимиром Игоревичем Арнольдом в [2,3]:
«В Италии в 1933 году актуарии задали Колмогорову вопрос – случайны некоторые события или закономерны (разливы рек По или Арно.Примечание автора статьи). Колмогоров задумался …и решил эту задачу. Он придумал совершенно замечательную, на мой взгляд, гениальную теорему, которая относится в действительности к релятивизму. Теорема относится не к теории вероятности, теорема такая …релятивистская. Он придумал как использовать теорию относительности чтобы открыть свой результат и получил такое замечательное определение случайности, которое обобщает определение Мизеса».

В дальнейшем Колмогоров использовал этот результат только один раз. В 1940 г. он опубликовал статью [4], где им были проанализированы статистические данные ученицы академика Трофима Денисовича Лысенко Н.И.Ермолаевой, считавшей, что её данные опровергают законы Менделя. Используя свой критерий [1], Колмогоров показал, что данные Н.И.Ермолаевой абсолютно честные и наоборот, полностью подтверждают законы Менделя. Подробный анализ ситуации представлен в [5].

Далее Арнольд рассказывает [2,3]: «Я приведу только один пример, который меня поразил, когда я разбирал работу Колмогорова. Я взял две последовательности и стал смотреть – случайны они или нет.
Обе последовательности (из 15 двузначных чисел):
(1) 03, 09, 27, 91, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 07– геометрическая{a^t}прогрессия,
(2) 37, 74, 11, 48, 85, 22, 59, 96, 33, 70, 07, 44, 81, 18, 55–арифметическая{at}(t = 1,2,3,…,n) прогрессия остатков от деления на 100.
На первый взгляд последовательности чисел могут показаться случайными. Хотя, на самом деле это ведь прогрессии, а значит они закономерны. Но объективный критерий случайности (предложенный Колмогоровым в статье 1933 года в журнале страховщиков-статистиков на итальянском языке) показывает, что вероятность случайности первой последовательности примерно в 300 раз больше, чем вероятность случайности второй. Этот критерий «объективной случайности» как у Колмогорова, так и мой, конечной последовательности вещественных чисел никак не связан с происхождением изучаемых последовательностей»

Результат.
Следуем далее [2,3] лишь незначительно mutatis mutandis, не меняющие их смысла. Для случайного распределения k точек на целочисленной окружности были определены два «параметра стохастичности» Колмогорова - K[1] и Арнольда - A[2,3].Эти параметры независимо друг от друга ввели А.Н.Колмогоров в 1933 году и В.И. Арнольд в 2003 году. Поразительно следующее.  Эти параметры (получены из совершенно различных соображений) кажущиеся независимыми характеристиками поля случайных точек, но они становятся функционально зависимыми, когда их значения усреднены по малым флуктуациям точек поля. А значит, как и настаивал В.И.Арнольд, их зависимость обусловлена каким-то Законом Природы! Каким – не ясно. Арнольд проделал многочисленные эмпирические наблюдения (много расчетов, почти миллион) и установил следующее. Зависимость A и K оказывается в плоскости (AK) параболической. Такое вот эмпирическое открытие. Арнольд говорил, что он побоялся и не стал называть это теоремой, так как доказательства нет, а только Эмпирика. То есть, (по С.П. Капице) имеем не доказательство,а Показательство.«В физике доказательств практически нет. Всякое утверждение в физике можно показать.Это более слабое утверждение,чем доказать,хотя оно тоже содержательно".С.П.Капица[6].

Критерий Колмогорова основан на вычислении по заданной последовательности значения некоторого параметра стохастичности K вероятность случайности зависит от его величины. Среднее значение K(ср) параметра Колмогорова K есть K(ср)=(pi/2)^1/2)(ln2), что приблизительно =0.87. Если наблюденное значение K сильно меньше или сильно больше, чем K(ср), то случайность изучаемой последовательности маловероятна. Среднее значение A(СР) параметра Арнольда A  близко к двойке A(ср) =2. Аналогично теории Колмогорова, если наблюденное значение  A сильно меньше или сильно больше, чем A(ср), то случайность изучаемой последовательности маловероятна. В теории Арнольда (в отличие от теории Колмогорова), есть одно чрезвычайно интересное свойство (расталкивание или притяжение точек на окружности) [3.Лек.5]. Связано это с тем, каково наблюденное значение A меньше оно или  больше, чем A(ср). Однако, это выходит за рамки нашей задачи и здесь останавливаться на нем не будем.

Вывод. В приведенных примерах параметр стохастичности для геометрической прогрессии K=0,7(что близко к 0,87), а для арифметической K=0,3(что далеко от 0,87). Поэтому геометрическая прогрессия (1), как показывает соответствующий расчет [2], примерно в 300 раз более случайна, чем арифметическая прогрессия (2). Аналогично может быть и во многих других ситуациях. Там, где события описываются наборами чисел, которые выглядят как закономерные последовательности, но на самом деле (по критериям Колмогорова и Арнольда) могут оказаться, в той или иной степени, случайными. С другой стороны, якобы случайные последовательности, могут оказаться закономерными. Пример. «Последовательность квадратичных вычетов, для нее вероятность случайности по критерию Колмогорова чрезвычайно мала. Квадратичные вычеты не случайны. Они выбираются по какому-то принципу, который никому пока не известен. Несмотря на то, что в теории чисел опубликованы десятки работ о случайности квадратичных вычетов, всё это ошибочная теория. Они не случайны, они ведут себя иначе» [3. Лек.3].
В итоге. Теорема. В ряде случаев, закономерность - недопознанная случайность, а случайность - недопознанная закономерность.
13.08.2025

Источники информации:
[1] Kolmogoroff A. Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione // Guornale dell’ Instituto Italiano degli Attuari. 1933. V.4. №1. P.83-91. А.Н. Колмогоров «Об эмпирическом определении закона распределения».
[2] Заседания Московского математического общества
23 сентября 2008 г., г. Москва, ГЗ МГУ, аудитория 16-10
[3] Видео. Измерение объективной степени случайности конечного набора точек - Владимир Арнольд. Цикл лекций: Летняя школа «Современная математика», 2009. 19 июля 2009 г. 11:15, г. Дубна.
Измерение объективной степени случайности конечного набора точек. Лекция 1
В. И. Арнольд, 19 июля 2009 г. 11:15. https://www.mathnet.ru/rus/present9110
Измерение объективной степени случайности конечного набора точек. Лекция 2
В. И. Арнольд, 21 июля 2009 г. 17:00. https://www.mathnet.ru/rus/present9111
Измерение объективной степени случайности конечного набора точек. Лекция 3
В. И. Арнольд, 23 июля 2009 г. 09:30.https://www.mathnet.ru/rus/present9112
Измерение объективной степени случайности конечного набора точек. Лекция 5
В. И. Арнольд, 27 июля 2009 г. 15:30. https://www.mathnet.ru/rus/present9113
[4] Колмогоров А.Н. Об одном новом подтверждении законов Менделя // Доклады АН СССР, 1940. Т.27. №1. С.38-42.
[5] Тутубалин В.Н., Барабашева Ю.М., Девяткова Г.Н., Угер Е.Г. Критерий
Колмогорова и экспериментальная проверка законов наследственности Менделя //
URL: [6] «Очевидное-невероятное. В. Арнольд о постановке задач» – видео из телепроекта «Очевидное – невероятное». Беседа С.П. Капицы с академиком В.И. Арнольдом о постановке задач. https://ya.ru/video/preview/17829931208764422636