Теорема Геделя о неполноте логических систем

Изучая ограниченность замкнутых логических систем, получил следующую картину. Наиболее простая и непротиворечивая логическая система - это множество НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.   Оказалось, что уже для этой системы имеет место НЕПОЛНОТА, то есть недоказуемость некоторых внутренних утверждений с использованием исключительно базирующихся на основе ее аксиоматики инструментов. Что же говорить о более сложных системах в истории, политике и т.п.!

Ниже приведены некоторые выводы для натуральных чисел с аксиоматикой Пеано.
 
 
Аксиоматика натуральных чисел Пеано
 
I.   Множество натуральных чисел, описываемое через фундаментальные свойства функции следования  S.
 
1.   1 является натуральным числом;
2.   Если  n  натуральное число, то  следующее за ним натуральное число  S(n) тоже является натуральным;
3.   1 не следует ни за каким натуральным числом;
4.   Если натуральное число  a  следует как за натуральным числом  b, так и за натуральным числом  c:
a=S(b)   и   a=S(c), 
то    b=c .
5.   Аксиома индукции. Если какое-либо предположение доказано для 1 (база индукции) и, если из допущения, что оно верно для натурального числа  n  вытекает, что оно верно для  S(n) (индукционное предположение), то это предположение верно для всех натуральных чисел.
 
II.   Формализация арифметики путем включения в аксиоматику Пеано аксиом операций сложения и умножения.
 
6.   a+1 = S(a);
7.   a+S(b) = S(a+b);
8.   a x 1 = a;
9.   a x S(b) = a+a x b
 

Фундаментальные свойства множества натуральных чисел
 
Принципиальным фактом является то, что аксиомы  (1 - 9)  по сути однозначно и непротиворечиво определяют натуральные числа и операции над ними (категоричность системы аксиом Пеано).
 
Из теоремы Гёделя о неполноте следует, что существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано (1 - 9).
Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например, теорема Гудстейна или теорема Париса — Харрингтона.