Теория Магических Маген Давидов 3

Методы построения построения Магических Маген Давидов

Если не учитывать свойства ММДов, то можно составить компьютерную программу, которая с помощью компьютера в доли секунды выдаст все ММДы  согласно схеме рис. 2’, где х1, …,х7 – параметры, а х8’, …, х12’ – неизвестные, причем и параметры и неизвестные не равны друг другу и берутся из множества целых чисел L={1, …,12}. То решая систему

Х’8=М – х1 – х2 – х3, х’9=М –х4 – х5 – х8, х’10=М – х1 – х6 – х’9, х’11=М- х2 – х7 – х’10, х’12=М – х2 –х7 – х, х’12=М – х3 –х4 –х’11 ,

получим ровно 960 ММДов. Если программа будет исключать эквивалентные (получающиеся симметрией относительно оси симметрии и вращением отн. центра симметрии, то их различных будет 40 с 1 в вершине и 40 с 1 во впадине!

Чтобы проклафицировать их мы будем строить ММД вручную, используя определения, свойства, и  рисунки вышеизложенных теорем.

Предварительно примем во внимание рассуждения. Т. к. число 1 может располагаться либо в вершине звезды, либо во впадине, то исследуем вначале случай когда оно расположено в вершине (рис. 1а).

Рассмотрим все комбинации 1 с тремя разными числами от 2 до 12 таких, что в сумме они дают М. Их будет 10:

1)     1+2+11+12, 2) 1+3+10+12, 3) 1+4+9+12, 4) 2+4+10+11, 5) 1+5+8+12, 6) 1+5+9+11, 7) 1+6+7+12, 8) 1+6+8+11, 9) 1+6+9+10, 10) 1+7+8+10.

Разобьём эти 10 комбинаций на такие пары, чтобы в них числа, кроме 1, не повторялись. Они будут соответствовать числам, которые лежат на пересекающихся в 1 сторонах (см. рис. 14а). Таких пар  будет 11. Связь между парами описывается следующим графом (Рис. 3).

Рассмотрим первую пару комбинаций нашего графа:

1+6+8+11=1+4+9+12.          (1)

В зависимости от порядка расположения этих чисел на пересекающихся  в 1 прямых, мы можем получить следующие значения Кодового числа К (см. рис. 4):

1+5+4=11,    1+8+4=13,    1+11+4=16,     1+6+9=16,    1+8+9=18,    1+11+9=21,        1+6+12=19,    1+8+12=21,    1+11+12=24.      (2)

Из оставшихся чисел (без чисел нашей пары) 2, 3, 5, 7, 10 составляем все возможные суммы трех разных чисел (К=х4+х5+х6):

2+3+5=10,    2+5+7=14,    2+3+7=12,    2+5+10=17, 2+3+10=15,    2+7+10=19,         3+5+7=15,    3+5+10=18,    3+7+10=20,     5+7+10=22.     (3)

Теперь, согласно теореме, среди сумм (2) и (3) ищем одинаковые:

                1+8+9=3+5+10=18,  (4)       1+6+12=2+7+10=19.    (5).

Причем, согласно теореме,  одно из этих значений является Кодовым числом К, а другое – Связным числом К1 (и наоборот). 

Итак, строим ММД с Кодовым числом К=18 и Связным числом К1=19 (см. рис. 5а). Оставшиеся от пары числа 11 и 4 расставляем на соответствующих прямых пользуясь теоремой, находим нижнее число 26-(4+11+4=10 (см. рис. 5в). Затем, т.к. вторая комбинация, дающая К=18=3+5+10, то на верхней горизонтальной прямой расположатся числа3 и 5, а на нижней – оставшиеся числа 2 и 7. Пользуясь теоремой, находим их места на этих горизонталях (см. рис. 5с).

Если теперь наоборот за Кодовое число взять К=19, а за Связное число – К1=18, то получим взаимно- обратный ММД относительно вершин (1, 10) (см. рис. 6).

Таким образом, семейство ММДов для пары (1) имеет следующий вид, изображенный на рис. 7.

Аналогично строятся остальные Семейства!