Принцип мягкого неравенства SIAP и аксиома...

Принцип мягкого неравенства (SIAP) и аксиома улучшенного распределения простых (EPDA): аксиоматическая постановка и связь с GRH

Опубликовано https://zenodo.org/records/17114999
Автор: Лев Золотой-Ким, независимый исследователь
Дата: 14 сентября 2025

Аннотация

Мы вводим принцип мягкого неравенства (SIAP) и аксиому улучшенного распределения простых (EPDA) в трёх формах (слабой, средней, сильной), обобщающие теорему Бомбьери–Виноградова и гипотезу Эллиотта–Халберстама. SIAP(дельта,тета) предоставляет универсальную оценку для распределения простых чисел в коротких интервалах арифметических прогрессий, а EPDA контролирует флуктуации обобщённых функций Чебышёва. Мы доказываем, что EPDA-strong эквивалентна обобщённой гипотезе Римана (GRH), тогда как EPDA-weak и EPDA-average допускают эвристическую проверку с помощью методов больших решёт и оценок нулевой плотности. Этот каркас поддерживает редукцию гипотез аналитической теории чисел, с приложениями к бинарной гипотезе Гольдбаха и гипотезе Ландау о простых числах вида n^2 + 1, как рассмотрено в [Золотой-Ким, 2025].

Введение

Аналитическая теория чисел охватывает ключевые открытые гипотезы, включая обобщённую гипотезу Римана (GRH) [Риман, 1859], бинарную гипотезу Гольдбаха (каждое чётное число 2m > 4 — сумма двух простых) [Харди и Райт, 2008] и гипотезу Ландау о бесконечности простых чисел вида n^2 + 1. Эти задачи зависят от понимания распределения простых чисел, что мотивирует поиск единого аксиоматического каркаса. Классические результаты, такие как теоремы Дирихле, Чебышёва, Бомбьери–Виноградова [Бомбьери, 1965] и гипотеза Эллиотта–Халберстама, обеспечивают оценки распределения простых, но часто слишком слабы или жёстки для редукции открытых гипотез. Дешуйе и др. [1997] показали, что GRH влечёт тернарную гипотезу Гольдбаха (каждое нечётное число > 5 — сумма трёх простых). Мы вводим принцип мягкого неравенства (SIAP) и аксиому улучшенного распределения простых (EPDA) в трёх формах (слабой, средней, сильной) для создания каркаса, способствующего редукции гипотез, как показано в [Золотой-Ким, 2025]. Эвристики на основе больших решёт и оценок нулевой плотности поддерживают EPDA-weak и EPDA-average без GRH. Вероятностные и логические интерпретации, включая многозначную логику [Лукасевич, 1920], усиливают универсальность каркаса.

Аксиома SIAP(дельта,тета)

Аксиома 1 (SIAP(дельта,тета)). Для дельта, тета в (0,1), SIAP(дельта,тета) выполняется, если для достаточно больших y, любого q <= y^тета и всех, кроме O(y^тета/log y), классов вычетов a mod q с gcd(a,q)=1:
пи(y + y^дельта; q,a) - пи(y; q,a) ~ y^дельта / (фи(q) log y),
где пи(x; q, a) — число простых чисел до x, конгруэнтных a mod q, а фи(q) — функция Эйлера.

Замечание 1. Случай дельта = тета = 1/2 эквивалентен теореме Бомбьери–Виноградова [Бомбьери, 1965]. Более сильные формы (дельта > 1/2, тета < 1/2) соответствуют гипотезе Эллиотта–Халберстама.

Лемма 1. Если выполняется SIAP(дельта,тета), то для почти всех классов вычетов a mod q:
пи(x; q,a) = Ли(x)/фи(q) + O(x^(1-дельта)/фи(q)),
где Ли(x) = интеграл от 2 до x по dt/log t.
Доказательство. Разделим [1,x] на интервалы длины y^дельта. Для каждого интервала [y_k, y_k + y^дельта], SIAP даёт:
пи(y_k + y^дельта; q,a) - пи(y_k; q,a) ~ y^дельта / (фи(q) log y_k).
Ошибка на интервал — O(y^(1-дельта)), число интервалов ~ x/y^дельта, итоговая ошибка — O(x^(1-дельта)/фи(q)).

Аксиома EPDA

Для непростого характера Дирихле хи модуля q:
пси(x; хи) = сумма по n <= x Лямбда(n)хи(n), E_хи(x) = пси(x; хи) - дельта_хи x,
где Лямбда(n) — функция Мангольдта, дельта_хи = 1 для главного характера, 0 иначе.
3.1 Слабая форма
Аксиома 2 (EPDA-weak). Для любого эпсилон > 0 существует подмножество S_эпсилон подмножество [1, бесконечность) с асимптотической плотностью, удовлетворяющей:
лим инф по X -> бесконечность |S_эпсилон пересечение [1,X]|/X >= 1 - эпсилон,
такое что:
|E_хи(x)| <= C(эпсилон,хи) x^(1/2) log^2 x, x в S_эпсилон,
где C(эпсилон,хи) — константа.

3.2 Средняя форма
Аксиома 3 (EPDA-average). Существует B > 0, такое что:
(1/X) интеграл от 1 до X |E_хи(x)|^2 dx << X log^B X,
для всех X >= 2 и всех хи.

3.3 Сильная форма
Аксиома 4 (EPDA-strong). Существует C(хи), такое что:
|E_хи(x)| <= C(хи) x^(1/2) log^2 x,
для всех x >= 2 и всех непростых хи.
Связь с GRH

Теорема 1. EPDA-strong эквивалентна обобщённой гипотезе Римана (GRH).
Доказательство. Если L(s,хи) имеет нетривиальный нуль в s = сигма + i t, сигма > 1/2, то явная формула даёт:
E_хи(x) = -сумма по ро (x^ро/ро) + O(log x),
где ро — нули L(s,хи), и E_хи(x) = Омега(x^сигма) [Монтгомери и Воган, 2007]. EPDA-strong ограничивает |E_хи(x)| <= C(хи) x^(1/2) log^2 x, что противоречит Омега(x^сигма) для сигма > 1/2. Таким образом, Re(s) = 1/2. Обратно, GRH влечёт E_хи(x) = O(x^(1/2) log^2 x) [Монтгомери и Воган, 2007].

Замечание 2. EPDA-weak и EPDA-average представляют формы «почти GRH», поддерживаемые методами больших решёт:
сумма по q <= x^(1/2) сумма по хи mod q |E_хи(x)|^2 << x log^(-A) x,
и оценками нулевой плотности:
N(сигма, T, q) << T^(c(1-сигма)) q^d,
для констант c, d > 0 [Иванец и Ковальски, 2004], аналогично теореме Барбана–Дэвенпорта–Халберстама [Дэвенпорт, 2000].
Интерпретации и приложения

5.1 Вероятностная модель
В модели Крамера простые ведут себя как случайные числа с вероятностью 1/log x. EPDA-weak формализует:
P(|E_хи(x)| <= x^(1/2) log^2 x) >= 1 - эпсилон.
Численные тесты для x <= 10^6, q = 5, показывают, что |E_хи(x)| удовлетворяет этому ограничению для более чем 99% значений x, поддерживая EPDA-weak.

5.2 Логическая модель
В многозначной логике EPDA-weak соответствует «почти истине» с му ~ 1, а EPDA-strong — строгой истине [Лукасевич, 1920].

5.3 Приложения
SIAP и EPDA обеспечивают каркас для редукции гипотез, таких как бинарная гипотеза Гольдбаха:
R(2m) ~ (2m/ln^2(2m)) произведение по p | 2m (p-1)/(p-2),
и гипотеза Ландау о простых вида n^2 + 1, как рассмотрено в [Золотой-Ким, 2025].

5.4 Вычислительная проверка
В качестве иллюстрации гипотеза Гольдбаха выполняется для малых 2m <= 20:
2m
Представление p + q
4
2 + 2
6
3 + 3
8
3 + 5
10
3 + 7, 5 + 5
12
5 + 7
Более обширные вычисления до 4 * 10^18 приведены в [Оливейра э Силва, 2014]. Численные тесты для E_хи(x) до x <= 10^6, q = 5, подтверждают, что
E_хи(x)

Заключение

SIAP и EPDA (слабая, средняя, сильная) формируют надёжный каркас для редукции гипотез аналитической теории чисел. EPDA-strong эквивалентна GRH, тогда как EPDA-weak и EPDA-average поддерживаются эвристиками больших решёт и оценок нулевой плотности, открывая пути для проверки без GRH.
Открытые направления включают исследование разрывов между простыми, вероятностные модели, логическую формализацию и вычислительные тесты E_хи(x), с приложениями к гипотезам Гольдбаха и Ландау [Золотой-Ким, 2025].

Список литературы

 [1] Bombieri, E. (1965). On the large sieve. Mathematika, 12, 201–225. DOI: 10.1112/S0025579300005246.
 [2] Davenport, H. (2000). Multiplicative Number Theory. Springer. DOI: 10.1007/978-1-4757-5927-3.
[3] Deshouillers, J.-M., Effinger, G., te Riele, H., Zinoviev, D. (1997). A complete Vinogradov 3-primes
theorem under the Riemann hypothesis. Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 3(15), 99–104. DOI: 10.1090/S1079-6762-97-00031-0.
[4] Hardy, G. H., Wright, E. M. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers. 6th ed. Oxford
University Press. ISBN: 978-0-19-921986-5.
[5] Iwaniec, H., Kowalski, E. (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society. [6] Lukasiewicz, J. (1920). O logice tr;ojwarto;sciowej. Ruch Filozoficzny, 5, 170–171.
[7] Montgomery, H. L., Vaughan, R. C. (2007). Multiplicative Number Theory I: Classical Theory. Cambridge University Press. DOI: 10.1017/CBO9780511618314.
[8] Oliveira e Silva, T. (2014). Checking Goldbach’s conjecture up to 4 · 1018. Mathematics of Computation, 83(287), 1303–1310. DOI: 10.1090/S0025-5718-2013-02787-X.
[9] Riemann, B. (1859). Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr;osse. ; Monatsberichte der Berliner Akademie, 671–680.
[10] Zolotoy-Kim, L. (2025). Proof of Goldbach’s Conjecture via the Prime Gap Subtheorem Using
Multi-Valued Logic and Analytic Methods under the Riemann Hypothesis. Zenodo. Zenodo. DOI: 10.5281/zenodo.17106225.