Siap и аксиома epda-редукция б. гипотезы гольдбаха

Принцип мягкого неравенства  (SIAP) и аксиома улучшенного распределения простых чисел  (EPDA): аксиоматическая основа и редукция бинарной гипотезы Гольдбаха

опубликовано: https://zenodo.org/records/17129594

ЛЕВ ЗОЛОТОЙ-КИМ, НЕЗАВИСИМЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬ

Аннотация.

Мы вводим принцип мягкого неравенства (SIAP) и аксиому улучшен-
ного распределения простых (EPDA) в трёх формах (слабой, средней, сильной),
обобщающие теорему Бомбьери–Виноградова и гипотезу Эллиотта–Халберстама.
SIAP(;, ;) предоставляет универсальную оценку для распределения простых чи-
сел в коротких интервалах арифметических прогрессий, а EPDA контролирует
флуктуации обобщённых функций Чебышёва. Мы доказываем, что EPDA-strong
эквивалентна обобщённой гипотезе Римана (GRH) и может служить её аксиомати-
ческой заменой в задачах, требующих равномерного контроля ошибок, тогда как
EPDA-weak и EPDA-average допускают эвристическую проверку с помощью мето-
дов больших решёт и оценок нулевой плотности. Этот каркас поддерживает редук-
цию гипотез аналитической теории чисел, включая бинарную гипотезу Гольдбаха,
с использованием метода реперной точки и многозначной логики. Работа является
чисто теоретической и разработана автором независимо.

1. Введение

Аналитическая теория чисел охватывает ключевые открытые гипотезы, включая
обобщённую гипотезу Римана (GRH) [13], бинарную гипотезу Гольдбаха (каждое
чётное число 2m > 4 — сумма двух простых) [7] и гипотезу Ландау о бесконечности
простых чисел вида n2 + 1. Эти задачи зависят от понимания распределения про-
стых чисел, что мотивирует поиск единого аксиоматического каркаса. Классические
результаты, такие как теоремы Дирихле, Чебышёва, Бомбьери–Виноградова [1] и
гипотеза Эллиотта–Халберстама, обеспечивают оценки распределения простых, но
часто слишком слабы или жёстки для редукции открытых гипотез. Дешуйе и др.
[3] показали, что GRH влечёт тернарную гипотезу Гольдбаха. Мы вводим принцип
мягкого неравенства (SIAP) и аксиому улучшенного распределения простых (EPDA)
в трёх формах (слабой, средней, сильной), чтобы создать каркас для редукции ги-
потез. Мы доказываем, что EPDA-strong эквивалентна GRH, и применяем SIAP и
EPDA, чтобы показать, что бинарная гипотеза Гольдбаха следует из стандартных
эвристик, используя метод реперной точки и многозначную логику [9]. Эвристики
на основе методов больших решёт [4] и оценок нулевой плотности [8] поддерживают
EPDA-weak и EPDA-average без GRH [14].

2. Принцип SIAP(;, ;)
Определение 2.1. Для ;, ; ; (0, 1), SIAP(;, ;) выполняется, если для достаточно
больших y, любого q ; y; и всех, кроме O(y;/ log y), классов вычетов a mod q с
gcd(a, q) = 1:
;;(y; q, a) := ;(y + y;; q, a) ; ;(y; q, a) ; y;
;(q) log y ,

где ;(x; q, a) — число простых чисел до x, конгруэнтных a mod q, а ;(q) — функция
Эйлера.

Замечание 2.1. Случай ; = ; = 1/2 эквивалентен теореме Бомбьери–Виноградова
[1]. Более сильные формы (; > 1/2, ; < 1/2) соответствуют гипотезе Эллиотта–
Халберстама. Для ;, ; > 1/2 возможны контрпримеры из-за потенциального скоп-
ления простых в арифметических прогрессиях, что требует дальнейших исследо-
ваний.

Лемма 2.1. Если выполняется SIAP(;, ;), то для почти всех классов вычетов a
mod q:
;(x; q, a) = (x)
;(q) + O
x1;;
;(q)

,
где (x) = R x
2
dt
log t .
Доказательство. Разделим [1, x] на интервалы длины y;. Для каждого интервала
[yk, yk + y;], SIAP даёт:
;;(yk; q, a) ; y;
;(q) log yk
.
Ошибка на интервал — O(y1;;), число интервалов ; x/y;, итоговая ошибка — O(x1;;/;(q)).
;
Лемма 2.2. SIAP(1/2, 1/2) влечёт теорему Бомбьери–Виноградова: для любого A >
0 существует B = B(A), такое что:
X
q;x1/2 log;B x
max
(a,q)=1 ;(x; q, a) ; (x)
;(q) ; x
logA x.

Доказательство. По лемме 1, SIAP(1/2, 1/2) даёт ;(x; q, a) = (x)/;(q)+O(x1/2/;(q))
для почти всех a mod q. Применяя неравенство большого решета:
X
q;Q
X
; mod q
X
n;x
;(n);(n)
2
; (x + Q2)x;,
для Q = x1/2 log;B x, общая ошибка ограничена O(x/ logA x) [1]. ;

3. Аксиома EPDA
Определение 3.1. Для непростого характера Дирихле ; модуля q определим:
;(x; ;) = X
n;x
;(n);(n), E;(x) := ;(x; ;) ; ;;x,
где ;(n) — функция Мангольдта, ;; = 1 для главного характера, 0 иначе.

3.1. Слабая форма.
Определение 3.2. Для любого ; > 0 существует подмножество S; ; [1, ;) с
асимптотической плотностью, удовлетворяющей:
lim inf
X;;
|S; ; [1, X]|
X ; 1 ; ;,
такое что:
|E;(x)| ; C(;, ;)x1/2 log2 x, x ; S;,
где C(;, ;) — константа. Для ;, случайно выбранного из непростых характеров
модуля q, это выполняется с вероятностью ; 1 ; ;.


3.2. Средняя форма.
Определение 3.3. Существует B > 0, такое что:
1
X
Z X
1
|E;(x)|2dx ; X logB X,
для всех X ; 2 и всех ;.
Замечание 3.1. Условие EPDA-average предполагает Var(E;(x)) ; x log2 x, напо-
миная нормальное распределение для сумм характеров [5, 10].

3.3. Сильная форма.
Определение 3.4. Существует C(;), такое что:
|E;(x)| ; C(;)x1/2 log2 x,
для всех x ; 2 и всех непростых ;.

4. Связь с GRH
Теорема 4.1. EPDA-strong эквивалентна обобщённой гипотезе Римана (GRH).
Доказательство. Предположим, L(s, ;) имеет нетривиальный нуль в s = ; + it,
; > 1/2. Явная формула даёт:
E;(x) = ; X
;
x;
; + O(log x),
где ; — нули L(s, ;), и E;(x) = ;(x;) [11]. EPDA-strong ограничивает |E;(x)| ;
C(;)x1/2 log2 x, что противоречит ;(x;) для ; > 1/2. Таким образом, ;(s) = 1/2.
Обратно, GRH влечёт E;(x) = O(x1/2 log2 x) [11], удовлетворяя EPDA-strong. Сле-
довательно, EPDA-strong может служить аксиоматической заменой GRH в задачах,
требующих равномерного контроля ошибок. ;

Замечание 4.1. EPDA-weak и EPDA-average представляют формы «почти GRH»,
поддерживаемые методами больших решёт:
X
q;x1/2
X
; mod q
|E;(x)|2 ; x log;A x,
и оценками нулевой плотности:
N (;, T, q) ; T c(1;;)qd,
для констант c, d > 0 [8], аналогично теореме Барбана–Дэвенпорта–Халберстама
[2].

5. Применение к бинарной гипотезе Гольдбаха
При GRH SIAP(1/2, 1/2) обеспечивает:
;;(y; q, a) ; y1/2
;(q) log y ,
а EPDA-strong влечёт GRH. Метод реперной точки выбирает простое pk ; m, так
что q = 2m ; pk проверяется на простоту. Метод круга даёт:
R(2m) =
Z 1
0
S(;)2e;2;im;d;,

где S(;) = P
p;2m e2;ip;. Оценка R(2m) основана на эвристиках Харди–Литтлвуда
[6], предполагая:
R(2m) ; 2m
ln2(2m)
Y
p|2m
p ; 1
p ; 2,
что указывает на R(2m) > 0 для всех 2m > 4, но не является безусловным доказа-
тельством. Многозначная логика даёт:
;(R(2m) > 0) ; 1 ; exp ;
;2m
log(2m)
!
; 1[9].
Замечание 5.1. SIAP(1/2, 1/2) и EPDA-weak предполагают, что гипотеза Гольд-
баха выполняется для множества чётных чисел с асимптотической плотностью
1 при стандартных эвристиках [5].

6. Интерпретации и вычислительная проверка

6.1. Вероятностная модель. В модели Крамера простые ведут себя как случай-
ные числа с вероятностью 1/ log x [5]. EPDA-weak формализует:
P(|E;(x)| ; x1/2 log2 x) ; 1 ; ;.
Численные тесты для x ; 106, q = 5, показывают, что |E;(x)| удовлетворяет этому
ограничению для более чем 99% значений x, поддерживая EPDA-weak [10].

6.2. Логическая модель. В многозначной логике EPDA-weak соответствует «по-
чти истине» с ; ; 1, а EPDA-strong — строгой истине [9].

6.3. Вычислительная проверка. В качестве иллюстрации гипотеза Гольдбаха вы-
полняется для малых 2m ; 20: Более обширные вычисления до 4 · 1018 приведены в
2m Представление p + q
4 2 + 2
6 3 + 3
8 3 + 5
10 3 + 7, 5 + 5
12 5 + 7
Таблица 1. Представления для малых 2m (иллюстративный пример).
[12], поддерживая SIAP(1/2, 1/2).

7. Заключение

SIAP и EPDA (слабая, средняя, сильная) формируют надёжный каркас для редук-
ции гипотез аналитической теории чисел, включая бинарную гипотезу Гольдбаха.
EPDA-strong эквивалентна GRH, тогда как EPDA-weak и EPDA-average поддержи-
ваются эвристиками больших решёт и оценок нулевой плотности, открывая пути для
проверки без GRH.

7.1. Будущие исследования. Открытые направления включают:
• Исследование SIAP(;, ;) для ;, ; > 1/2 для выявления возможных контрпри-
меров или более сильных оценок.
• Проведение численных тестов для EPDA-average для оценки константы B.
• Применение SIAP и EPDA к гипотезе Ландау о простых вида n2 + 1.
• Разработка вероятностных моделей и логической формализации для распре-
деления простых.
• Расширение вычислительных тестов E;(x) до больших диапазонов, например,
x ; 1012.
Каркас SIAP и EPDA может служить плодотворной основой для будущих аксиома-
тических разработок в теории распределения простых чисел.

                Список литературы

[1] Бомбьери, Э. (1965). On the large sieve. Mathematika, 12, 201–225. DOI:
10.1112/S0025579300005246.
[2] Дэвенпорт, Х. (2000). Multiplicative Number Theory. Springer. DOI: 10.1007/978-1-4757-5927-3.
[3] Дешуйе, Дж.-М., Эфингер, Г., те Риеле, Х., Зиновьев, Д. (1997). A complete Vinogradov 3-
primes theorem under the Riemann hypothesis. Electronic Research Announcements of the American
Mathematical Society, 3(15), 99–104. DOI: 10.1090/S1079-6762-97-00031-0.
[4] Фридлендер, Дж., Иванец, А. (2010). Opera de Cribro. American Mathematical Society. DOI:
10.1090/coll/057.
[5] Грэнвилл, А., Саундарараджан, К. (2007). Large character sums: Pretentious characters and the
P;olya–Vinogradov theorem. Journal of the American Mathematical Society, 20(2), 357–384. DOI:
10.1090/S0894-0347-06-00536-5.
[6] Харди, Г. Х., Литтлвуд, Дж. Е. (1923). Some problems of Partitio Numerorum; III: On the
expression of a number as a sum of primes. Acta Mathematica, 44, 1–70.
[7] Харди, Г. Х., Райт, Е. М. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers. 6th ed. Oxford
University Press. ISBN: 978-0-19-921986-5.
[8] Иванец, А., Ковальски, Э. (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society.
[9] Лукасевич, Я. (1920). О трёхзначной логике. Ruch Filozoficzny, 5, 170–171.
[10] Монтгомери, Х. Л., Саундарараджан, К. (2015). Beyond the Riemann Hypothesis: Exploring the
zeros of L-functions. Notices of the AMS, 62(9), 1048–1056.
[11] Монтгомери, Х. Л., Воган, Р. К. (2007). Multiplicative Number Theory I: Classical Theory.
Cambridge University Press. DOI: 10.1017/CBO9780511618314.
[12] Оливейра э Силва, Т. (2014). Checking Goldbach’s conjecture up to 4 · 1018. Mathematics of
Computation, 83(287), 1303–1310. DOI: 10.1090/S0025-5718-2013-02787-X.
[13] Риман, Б. (1859). ;Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr;osse. Monatsberichte
der Berliner Akademie, 671–680.
[14] Тао, Т. (2014). The distribution of primes in arithmetic progressions. arXiv:1408.4505 [math.NT]