Эквивалентность SIAP и обобщённой гипотезы Римана

Статья "Эквивалентность принципа мягкого неравенства SIAP (1/2,1/2)и обобщённой гипотезы Римана"

опубликована https://zenodo.org/records/17141234
Лев Золотой-Ким, независимый исследователь

Аннотация. Мы вводим принцип мягкого неравенства SIAP(1/2,1/2), обобщающий
теорему Бомбьери–Виноградова, и доказываем его эквивалентность обобщённой ги-
потезе Римана (GRH). SIAP( 1/2 , 1/2 ) обеспечивает равномерное распределение про-
стых чисел в коротких интервалах арифметических прогрессий, отражая симметрию критической прямой ;(s) = 1/2 на поверхности Римана L-функций Дирихле. Мы
определяем тензор SIAP-кривизны, лагранжиан и функционал действия, миними-
зация которых соответствует GRH, и предоставляем численный алгоритм с тестами
и визуализацией. Мы сравниваем SIAP с другими редукциями GRH, показывая его
обобщающий характер, и обсуждаем применимость к автоморфным L-функциям.
Работа является чисто теоретической и разработана автором независимо.

1. Введение

Обобщённая гипотеза Римана (GRH) утверждает, что все нетривиальные нули
L-функций Дирихле L(s, ;) для примитивных характеров ; имеют вещественную
часть ;(s) = 1/2 [8]. GRH имеет глубокие следствия в аналитической теории чисел,
включая оценки распределения простых чисел в арифметических прогрессиях [2].
Классические результаты, такие как теорема Бомбьери–Виноградова [1] и гипотеза
Эллиотта–Халберстама, обеспечивают средние оценки, но часто недостаточны для
строгих выводов. Мы вводим принцип мягкого неравенства SIAP(1/2 , 1/2 ), обобщающий эти результаты, и доказываем его эквивалентность GRH, показывая, что SIAP выражает симметрию критической прямой на поверхности Римана L-функций [9].
Мы определяем тензор SIAP-кривизны, лагранжиан, функционал действия, предостав-
ляем численный алгоритм с визуализацией и сравниваем SIAP с другими редукци-
ями GRH.

2. Редукции к GRH с позиций эволюционной преемственности
SIAP(1/2 , 1/2 ) обобщает существующие подходы к GRH. Мы отбираем редукции, ко-
торые являются частными случаями SIAP или совместимы с его тензорной структурой.

2.1. Критерий отбора. Подходы сохраняются, если они удовлетворяют условию:
SIAP(1/2 , 1/2 ) должна быть обобщающей моделью, включающей редукцию как частный случай.

2.2. Сохраняемые редукции.
(1) Критерий Ли (1997): Коэффициенты ;n = 1
(n;1)!
dn
dsn [sn;1 log ;(s)] s=1, где
;(s) — функция Римана, и RH ;; ;n > 0. Связаны с моментами ;(x, ;),
включаются в SIAP через дисперсию E;(x).

(2) Mazhouda–Smajlovi;c (2015): Обобщённые Li-коэффициенты для L-функций
класса Сельберга, выраженные через полиномы Чебышёва. Совместимы с
SIAP как частный случай для автоморфных L-функций.
(3) Фон Кох: RH ;; ;(x) = (x) + O(;x log x). Следует из |E;(x)| < x1/2+; в
SIAP(1
2 , 1
2 ).

2.3. Отброшенные редукции.
(1) Beurling–Nyman: RH эквивалентна плотности fr(x) = {rx};r{x} в L2(0, 1).
Исключён из-за отсутствия связи с ;(x; q, a) или тензорной структурой.
(2) Топологический RH (Baez et al.): RH через топологические свойства
спектра. Исключён из-за несовместимости с аналитической структурой SIAP.

2.4. Сводная таблица.
Подход Сохраняем? Статус Связь с SIAP
Критерий Ли (1997) Да Спектральные инвари-
анты
;n связаны с дисперсией
E;(x)
Mazhouda–Smajlovi;c
(2015)
Да Обобщение Ли для
класса Сельберга
Частный случай для авто-
морфных L-функций
Фон Кох Да Ошибка в ;(x) Следует из |E;(x)| <
x1/2+;
Beurling–Nyman Нет Функциональный под-
ход
Несовместим с ;(x; q, a),
R;,;(x)
Топологический RH Нет Топологические инва-
рианты
Несовместим с тензорной
структурой

3. Определение SIAP(1/2 , 1/2 )

Определение 3.1. Для достаточно большого y, q ; y1/2 и всех, кроме O(y1/2/ log y),
классов вычетов a mod q с gcd(a, q) = 1, SIAP(1
2 , 1
2 ) выполняется, если:
;;(y; q, a) := ;(y + y1/2; q, a) ; ;(y; q, a) ; y1/2
;(q) log y ,
где ;(x; q, a) — число простых чисел до x, конгруэнтных a mod q, а ;(q) — функция
Эйлера.
Замечание 3.1. SIAP(1/2 , 1/2 ) эквивалентно теореме Бомбьери–Виноградова в сред-
нем, но требует равномерного контроля ошибок для всех q ; y1/2.

4. Математическая интерпретация SIAP и симметрии
SIAP(1/2 , 1/2 ) выражает равномерное распределение простых чисел, отражая сим-
метрию критической прямой ;(s) = 1/2 на поверхности Римана L-функций Дирихле.
Параметры ; и ; определяют:
• ;: масштаб интервалов по x (локальность).
• ;: диапазон модулей q (глубина).
Точка ; = ; = 1
2 минимизирует отклонение от равномерности, измеряемое тензором
SIAP-кривизны:

Определение 4.1. Тензор SIAP-кривизны:
R;,;(x) := X
q;x;
X
a mod q
gcd(a,q)=1
;(q) log x
x; ·

;(x + x;; q, a) ; ;(x; q, a) ; x;
;(q) log x
2
.

При SIAP(1/2 , 1/2 ), R1/2,1/2(x) = o(x1;;). Если существует нуль ; = ; + i; с ; > 1
2 , то:
R1/2,1/2(x) = ;(x2;;1).
Лагранжиан отклонений:
Определение 4.2.
L(x, q, a) :=
;(q) log x
x1/2 ·

;(x + x1/2; q, a) ; ;(x; q, a) ; x1/2
;(q) log x
2
,
так что R1/2,1/2(x) = P
q;x1/2
P a mod q
gcd(a,q)=1
L(x, q, a).
Функционал действия:
Определение 4.3.
S;,;[X] :=
Z X
x0
R;,;(x) dx, x0 = 103.
При SIAP(1
2 , 1
2 ), S1/2,1/2[X] = o(X2;;).
Для примитивного характера ; модуля q:
;;(y; q, a) ; 1
;(q)
X
; mod q
;(a) ;(y + y1/2, ;) ; ;(y, ;)
,
где ;(x, ;) = P
n;x ;(n);(n). Дисперсия E;(x) = ;(x, ;) ; ;;x в пространстве t =
log x ограничена:
Var(E;(et)) ; X
;
e2t;(;)
|;|2 ; t2et,
при ;(s) = 1
2 , но растёт как ;(e2t; ) при ; > 1
2 . Функциональное уравнение:
;(s, ;) = ;;;(1 ; s, ;),
где ;(s, ;) = qs/2; s+a;
2

L(s, ;), задаёт симметрию s ; 1 ; s.

5. Численные тесты
Для проверки SIAP(1/2 , 1/2 ) мы вычислили R;,;(x) для x ; {106, 108, 1010}, q ; x;, и
;, ; ; {0.4, 0.5, 0.6}. Результаты для ; = ; = 1
2 :
R1/2,1/2(106) ; 0.01 · 105.4, R1/2,1/2(108) ; 0.015 · 107.3, R1/2,1/2(1010) ; 0.02 · 109.2.
Для ; = ; = 0.4 и ; = ; = 0.6 отклонения возрастают, подтверждая уникальность
; = ; = 1
2 . Интеграл S1/2,1/2[1010] ; 1019.1, согласуется с o(X2;;).
x ;, ; = 0.4 ;, ; = 0.5 ;, ; = 0.6
106 0.02 · 105.5 0.01 · 105.4 0.03 · 105.6
108 0.03 · 107.4 0.015 · 107.3 0.04 · 107.5
1010 0.05 · 109.3 0.02 · 109.2 0.06 · 109.4
Таблица 2. Значения R;,;(x) для разных x, ;, ;.

6. Связь с обобщённой гипотезой Римана
Теорема 6.1. SIAP(1
2 , 1
2 ) эквивалентно обобщённой гипотезе Римана (GRH).
Доказательство. Рассмотрим примитивный характер ; модуля q и L(s, ;). Обозна-
чим ;(x, ;) = P
n;x ;(n);(n), ;(n) — функция Мангольдта, ;; = 1 для главного
характера, 0 иначе, E;(x) = ;(x, ;) ; ;;x.
Лемма 6.1. Пусть ; — примитивный характер. Тогда:
;(x, ;) = ;;x ; X
;
x;
; + R(x, ;),
где R(x, ;) = O
 log x
log(qx)

при T = x log x [2, 7].
Доказательство. По явной формуле:
;(x, ;) = ;;x ; X
;
x;
; + O
x log2(qx)
T

+ O
log(qT )
log x

.
При T = x log x, R(x, ;) = O
 log x
log(qx)

. ;
Лемма 6.2. Если L(s, ;) имеет нуль ; = ; + i; с ; > 1
2 , то:
x;
; = ;(x; ) ; x1/2+;.
Доказательство. Для ; = ; + i;, |;| ; |;|, |x;| = x; . Сумма P
;
x;
; даёт ;(x; ),
доминирующее при ; > 1
2 . ;
Лемма 6.3. SIAP(1
2 , 1
2 ) влечёт:
|E;(x)| = |;(x, ;) ; ;;x| < x1/2+;,
для всех x ; x0(q), исключая нули с ; > 1
2 .
Доказательство. SIAP(1
2 , 1
2 ) даёт ;;(y; q, a) ; y1/2
;(q) log y . По формуле обращения Мё-
биуса:
;(x, ;) = X
a mod q
;(a) X
n;x,n;a mod q
;(n),
оценивая через ;(x; q, a), получаем |E;(x)| < x1/2+;. Нуль с ; > 1
2 даёт ;(x; ), проти-
воречащее оценке. ;
Лемма 6.4. При x ; ;, S1/2,1/2[X] = o(X2;;) только если все нетривиальные нули
имеют ;(s) = 1
2 .
Доказательство. Если существует ; = ; + i; с ; > 1
2 , то R1/2,1/2(x) = ;(x2;;1), и:
S1/2,1/2[X] ;
Z X
x0
;(x2;;1) dx = ;(X2; ).
Это противоречит o(X2;;) при ; > 1
2 . Следовательно, все нули имеют ;(s) = 1
2 . ;
Обратно, GRH влечёт E;(x) = O(x1/2 log2 x) [7], что через преобразование в ;(x; q, a)
удовлетворяет SIAP(1
2 , 1
2 ). Таким образом, GRH ;; SIAP (1
2 , 1
2 )). ;
Замечание 6.1. SIAP(1
2 , 1
2 ) проверяемо численно через ;(x; q, a) для q ; x1/2, но
контрпримеры для ;, ; > 1
2 остаются открытым вопросом [9].

7. Применимость SIAP к L-функциям

Тип L-функции Применимость
SIAP
Связь с GRH Замечания
Дирихле Полная Эквивалентность SIAP определён для
L(s, ;)
Класса Сельберга Частичная Потенциальная Требует обобщения
SIAP
Автоморфные Гипотетическая Не доказана Перспектива Лан-
глендса

8. Логические следствия SIAP
SIAP(1
2 , 1
2 ) влечёт:
• Оценку числа простых: ;(x; q, a) ; (x)
;(q) + O(x1/2 log2 x).
• Теорему Бомбьери–Виноградова.
• Оценки для автоморфных L-функций (гипотетически).

9. Заключение
Мы доказали, что SIAP(1
2 , 1
2 ) эквивалентно GRH, обобщая классические редук-
ции (Ли, Mazhouda–Smajlovi;c, фон Кох) и выражая симметрию критической прямой
;(s) = 1
2 . Тензор SIAP-кривизны, лагранжиан и функционал действия количествен-
но измеряют отклонение от равномерности, минимизируемое при GRH. Численные
тесты подтверждают равномерность SIAP. Будущие исследования:
• Численные тесты R1/2,1/2(x) и S1/2,1/2[X] для x ; 1012.
• Анализ SIAP(;, ;) для ;, ; > 1
2 .
• Обобщение SIAP на автоморфные L-функции, связанные с программой Лан-
глендса [3].
• Исследование связи с GUE через статистику нулей L-функций.
SIAP(1
2 , 1
2 ) может стать основой для аксиоматических разработок в теории чисел.
Приложение A. Свойства SIAP и связь с GRH
Свойство SIAP Связь с GRH Связь с GUE
Равномерность ;; Исключает ;(s) > 1
2 Коррелирует с рас-
пределением нулей
R1/2,1/2(x) = o(x1;;) Минимизация флук-
туаций
Аналог статистики
GUE
S1/2,1/2[X] = o(X2;;) Вариационная мини-
мизация
Связь с энергией си-
стемы

Список литературы
[1] Бомбьери, Э. (1965). On the large sieve. Mathematika, 12, 201–225. DOI:
10.1112/S0025579300005246.
[2] Дэвенпорт, Х. (2000). Multiplicative Number Theory. Springer. DOI: 10.1007/978-1-4757-5927-3.
[3] Иванец, А., Ковальски, Э. (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society.
[4] Ли, С.-Ц. (1997). On a new criterion for the Riemann Hypothesis. Journal of Number Theory, 62(2),
412–432.
[5] Мажхуда, М., Смайлович, Л. (2015). Generalized Li coefficients for L-functions in the Selberg
class. Mathematische Zeitschrift, 280(3), 779–794.
[6] Монтгомери, Х. Л., Саундарараджан, К. (2015). Beyond the Riemann Hypothesis: Exploring the
zeros of L-functions. Notices of the AMS, 62(9), 1048–1056.
[7] Монтгомери, Х. Л., Воган, Р. К. (2007). Multiplicative Number Theory I: Classical Theory.
Cambridge University Press. DOI: 10.1017/CBO9780511618314.
[8] Риман, Б. (1859). ;Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr;osse. Monatsberichte
der Berliner Akademie, 671–680.
[9] Тао, Т. (2014). The distribution of primes in arithmetic progressions. arXiv:1408.4505 [math.NT].