Эволюция открытых неравновесных систем

Посвящаю
моим Учителям:
Волошиной Тамаре Александровне-
-учитель математики СШ №2,г.Нальчика
и Грингаузу Виталию Андреевичу-
-учитель физики школы-интерната
№18 при МГУ им. А.Н Колмогорова

What is this universe?
From what does it arise?
Into what does it go?
And the answer is:
In freedom, it rises,
in freedom it rests,
and into freedom
it melts away
The Upanishads
Translation of  Jawaharlal Nehru ,
in the book The Discovery of India p.92[1]

Что такое эта вселенная?
 Из чего она возникает?
Во что она превращается?
И ответ таков:
В свободе она поднимается,
 в свободе покоится и
в свободе растворяется.
 Упанишады.
 Перевод Джавахарлала Неру
из книги "Открытие Индии", стр.93[1]

Закономерности возникновения диссипативных структур.
Универсальный критерий эволюции Гленсдорфа-Пригожина.
Детерминизм, неопределенность и самоорганизация динамических систем.
Язык сложного. Критерий относительной упорядоченности живых систем.
Заключение.

«Вначале не было ничего; из тьмы первозданного хаоса, покоящегося без движения, словно в глубоком сне, прежде иных творений возникли воды. Воды породили огонь. Великой силой тепла в них рождено было Золотое Яйцо. Тогда не было еще года, ибо некому было отмерять время. Из Золотого Зародыша возник Прародитель Брахма, и он положил начало времени и всему сущему. Так была сотворена Вселенная. Шесть сыновей родилось у Брахмы, но всех превзошел младший, Вишну, хранитель мироздания. Шива вышел из чела Брахмы, подобный пламени гнева, и в нем воплотились все разрушительные силы и самые грозные и устрашающие свойства богов».
Так повествуют Веды сотворение Мира. Начиная с Вед древнеиндийская литература, содержит различные версии о творении. Нет единой космогонической концепция даже в пределах одного произведения, такого как «Ригведа» или «Махабхарата». Рождение мира из Золотого Зародыша, является наиболее распространенной версией.
В индуизме, как и позднее, в христианстве, сложилась концепция Тримурти (своеобразный индусский аналог христианской Троицы), верховного божества, единого в трех лицах: Брахмы – создателя Вселенной, Вишну – хранитель мироздания и Шивы – его разрушителя. Таким образом, еще древние, с их высокой наблюдательностью и иррациональным мышлением, пришли к выводу, что для стабильности всего сущего необходим, говоря современным языком, некий принцип «существования», а именно, -три закона. Закон рождения нового, закон сохранения и закон деструкции, т.е. смерти [2,3].

По современным представлениям, связанным в большей степени с концепцией Нобелевского лауреата И.Р. Пригожина, есть два взаимодополняющих подхода к описанию природы: динамический и термодинамический. Первый наиболее целесообразен для описания отдельных объектов (тел, атомов, молекул, элементарных частиц) и их взаимодействия с некоторым числом тех же самых или других объектов. Второму свойственен системный подход, то есть он рассматривает существенно большие совокупности объектов (например, макросостояние с числом частиц порядка числа Авогадро N(A)=6·10^23 1/моль .  Этот подход оперирует обобщенными параметрами, такими как энергия, теплота и энтропия. Такие системы мы будем называть термодинамическими, полагая, что выражения, получаемые или используемые в теории, подвергаются формальной предельной процедуре. То есть, если число частиц в системе N и ее объем V стремятся к бесконечности (чего на самом деле быть не может), то их отношение V/N = const.

Для термодинамических (ТД) систем существуют четыре аксиомы, или как чаще говорят – начала термодинамики. Не вдаваясь в подробности перечислим их [4].

Нулевое начало термодинамики. Для каждой термодинамической системы существует состояние термодинамического равновесия, которого она при фиксированных внешних условиях с течением времени самопроизвольно достигает.

I начало термодинамики – закон сохранения и превращения энергии в самом общем его виде, т.е. учитывающий любые другие формы движения материи.

II начало термодинамики – закон возрастания энтропии. Другими словами, II начало устанавливает: существование для любой равновесной (точнее, квазиравновесной, т.е. участвующей в квазистатическом процессе) термодинамической системы однозначной функции термодинамического состояния, называемой энтропией S, такой, что ее полный дифференциал: dS = (1/T)DQ. То есть, в отличие от теплоты Q, энтропия является потенциальной функцией и описывает эволюцию термодинамической системы.
Остановимся теперь на втором начале термодинамики в изолированных термодинамических системах. То есть в таких, которые не обменивается с окружающей средой ни энергией, ни веществом.
Второе начало ТД определяет невозможность самопроизвольного уменьшения энтропии в изолированной системе (изолированная система не обменивается с окружающим пространством ни частицами, ни энергией, ни информацией).
Второе начало ТД определяет направление неравновесного процесса, а равновесное состояние будет соответствовать максимальному значению энтропии. Согласно этому закону, система сама стремится к состоянию с максимумом энтропии. Это состояние глобального термодинамического равновесия называется АТТРАКТОР, оно характеризуется:
1.максимумом хаотичности (хаос – состояние с максимальным беспорядком),
2.максимальной симметрией,
3.наиболее вероятным состоянием системы.
Таким образом, каковы бы ни были начальные условия, эволюция системы такова, что все пути ведут в аттрактор. Вы наверняка уже вспомнили античное изречение: «Все пути ведут в Рим». Да, Рим был своеобразным аттрактором античного мира.

III начало термодинамики. В радикальной формулировке М. Планка (1910 г.) оно имеет вид начального граничного или предельного условия:limS = 0 При Т=0

 До середины XX века спор между представителем науки, атеистом и представителем религии о «происхождении нового» был бы формально в пользу последнего. Ведь действительно, представитель религии мог констатировать, что в науке есть законы сохранения, есть закон возрастания энтропии, т.е. «закон смерти», но нет никакого закона, объясняющего, как может появиться что-то принципиально новое.
Вплоть до 70-х годов XX века можно было услышать достаточно «логичную» критику учения Ч. Дарвина. Подсчитывали, что если эволюция видов идет случайно, то на появление человека из простейших организмов просто не хватит времени, так как это больше, чем возраст нашей Земли. Вывод был однозначен – необходимо присутствие Творца. И, тем не менее, теологи в этом споре были не правы. Во второй половине XX века оформилось учение о возможности появления принципиально нового упорядоченного состояния из хаоса. Это новое спонтанное возникновение (когерентных, диссипативных структур) из исходного хаотического состояния назвали самоорганизацией.
Оказалось, что для этого - принципиально нового упорядоченного состояния из хаоса,должны выполняться четыре  необходимых условия:
1.система должна быть открытой,
2.нелинейной,
3.находиться вдали от состояния равновесия, и
4.в системе должны быть обратные связи[2,3].

Приведем краткую историческую справку о некоторых основных «виновниках» этого глобального учения.
XIX век. Теория временной эволюции газа в замкнутой системе (Л. Больцман). Теория устойчивости динамических систем (А. Пуанкаре и А.М. Ляпунов). Теории эволюции открытых биологических систем (Ч. Дарвин). Несмотря на достижения в области термодинамики и электромагнетизма, Л.Больцман считал XIX век веком Ч.Дарвина, настолько высоко он оценил принцип биологической эволюции. Л.Больцман был одним из немногих в то время физиков, кто первым понял важность открытия Ч. Дарвина с позиций теории эволюции открытых неравновесных систем. Таким образом, уже на рубеже XX века стало ясно, что развитие теории неравновесных процессов в физических и биологических системах является одной из важнейших задач
естествознания.
XX век. Первый шаг в теории неравновесных процессов был сделан А.Эйнштейном, М.Смолуховским и П. Ланжевеном которые создали теорию брауновского движения, которое впервые в 1827 г. наблюдал британский ботаник, морфолог и систематик растений Р. Браун (англ.Robert Brown). В отечественной литературе это явление часто неправильно называют броуновским. На физфаке МГУ наши учителя по термодинамике и статистической физике Иридий Александрович Квасников и Валерий Дмитриевич Кукин учили нас называть это явление по фамилии Брауна –брауновским [4,5]. Причина брауновского движения – толчки со стороны молекул жидкости, т.е. это открытая система. Согласно кинетическому уравнению Л. Больцмана, средняя энергия частиц газа в процессе эволюции сохраняется. Это условие необходимо, чтобы в процессе эволюции к равновесному состоянию энтропия, а с ней и степень хаотичности, возрастали. Отсюда следует утверждение, известное как H-теорема Л. Больцмана, согласно которой энтропия в необратимых процессах не может убывать [5]. Средняя же энергия брауновских частиц в процессе эволюции не сохраняется, и H-теорема Л. Больцмана уже не справедлива. Заметим, что по уравнению Л. Больцмана сохраняется не точное значение энергии, а лишь ее среднее значение. Таким образом, возможны флуктуации энергии, т.е. система Л. Больцмана в принципе тоже открытая. В XX веке колоссальный вклад в науку об открытых системах внесли также и математики, вначале уже упомянутые А.М. Ляпунов и А. Пуанкаре, а позднее А.А. Андронов, А.Н. Колмогоров и Н.С. Крылов.
В 1957 г.появилась работа А.Н. Колмогорова об энтропии динамических систем, которую можно считать предтечей науки о самоорганизации. В последние годы работами ряда авторов Брюссельской школы и прежде всего нобелевского лауреата И.Р. Пригожина была развита термодинамика сильно неравновесных систем. Цель и задачи данной статьи не позволяют подробно комментировать ни результаты работ основоположников учения, ни перечислять всех ученых, сыгравших роль в его становлении. Еще раз напомним, что открытые системы обмениваются с окружающими телами энергией, частицами и (или) информацией. В открытых системах возможно образование диссипативных структур(Термин предложен И. Р. Пригожиным). Сложность открытых систем предопределяет существование в них кооперативных (когерентных) движений большого числа частиц, отсюда термин – синергетика, веденный Г. Хакеном. Чтобы понять некоторые достаточно общие закономерности возникновения диссипативных структур в процессе самоорганизации, рассмотрим наиболее наглядный пример.

Закономерности возникновения диссипативных структур. 
Представим себе слой жидкости между двумя горизонтальными параллельными плоскостями, линейные размеры которых значительно превосходят толщину слоя жидкости. Если жидкость изолирована, то на нее не действуют никакие внешние силы (кроме сил гравитации) и не происходит обмена частиц, то она произвольно долго пребывает в состоянии равновесия. Это состояние характеризуется полной макроскопической тождественностью различных частей жидкости вне зависимости от их расположения и расстояния между ними. Поэтому, если не принимать во внимание границы, то жидкость внутри нашего «аквариума» однородна и изотропна, а значит, состояние обладает максимумом симметрии. Если создать в такой системе разность температур между верхней T(1) нижней T(2)  поверхностями путем непрерывного подвода тепла, то тем самым мы выведем систему из состояния равновесия. Пока разность температур T(раз)= T(1)- T(2)  мала, в системе вследствие теплопроводности установится стационарное состояние, характеризуемое практически линейным изменением температуры, а с ней и плотности, и давления. Однако, как только разность температур превысит некоторое критическое значение T(раз)> T(кр), мы увидим, как скачком устанавливается принципиально новое состояние. В жидкости образовались ячейки, называемые ячейками Бенара [6]. В каждой ячейке происходит конвекционное вращение жидкости, причем, если смотреть вдоль горизонтальной оси, то направление вращения жидкости в двух соседних ячейках последовательно чередуется: то по, то против часовой стрелки. Существенно, что в двух соседних ячейках вращение жидкости имеет противоположные направления. Таким образом, происходит качественный переход от бесструктурной однородной и изотропной системы к структурированной, т.е. упорядоченной, сопровождающийся нарушением (уменьшением!) симметрии пространства. Важно, что этот переход не плавный, а осуществляется скачком, причем, при повторении подобного эксперимента принципиально невозможно, предсказать направление вращения жидкости в ячейке. Подобная ситуация является существенной особенностью образования диссипативных структур. Иными словами, в процессе самоорганизации система может реагировать на внешнее ограничение различными способами. С точки зрения развитой математиками теории динамических систем, это означает, что при одних и тех же значениях управляющих системой параметров возможно несколько различных решений, их называют бифуркационными. Для иллюстрации рассмотрим простейшую механическую аналогию бифуркации [2,3,6]. Шарик катится по наклонному желобу с раздваивающимся профилем («ущелье», разделенное на два «горой»). Направление движения шарика после критической точки (место раздвоения желоба) предсказать заранее принципиально невозможно. После резкого перехода критического состояния (скачок из первоначальной траектории в одно из «ущелий») система менее симметрична.
Таким образом, общим свойством всех диссипативных структур является:
1.понижение симметрии,
2.большая упорядоченность и
3.резкое их (скачком) возникновение.

Эти свойства проявляются в явлениях самоорганизации и в других областях: химии, биологии, а также на социальном уровне.
Существуют три вида диссипативных структур:
1.пространственные (ячейки Бенара, кольца Сатурна и т.д.),
2.временны;е (автокаталитическая реакция Белоусова – Жаботинского) и
3.пространственно-временные(возникающие в нелинейных химических реакциях, идущих в тонком слое,при наличии локальных флуктуаций концентрации и диффузии реагентов).

Природа самоорганизации определяется тем, что вдали от состояния равновесия из-за нелинейности система является неустойчивой (в смысле Ляпунова) и поэтому даже малые флуктуации могут привести к новому состоянию, для которого характерным является совокупное движение большого числа частиц.

Универсальный критерий эволюции Гленсдорфа-Пригожина.
Общая теория процессов самоорганизации строится на основе универсального принципа эволюции Гленсдорфа-Пригожина [6], детальное обсуждение которого выходит за рамки нашей статьи. Здесь же только отметим наиболее существенное. Несмотря на то, что величина скорости производства энтропии P(P=dS/dt) не имеет какого-либо общего свойства, в нелинейных системах часть ее P{X},связанная с изменением термо-динамических сил X, удовлетворяет неравенству общего характера:dP{X}/dt<0 (меньше или =0).
 Это неравенство ввиду большой его общности (не зависит ни от каких предположений о характере связи между силами и потоками в условиях локального равновесия) и называется универсальным принципом эволюции Гленсдорфа-Пригожина.
 Согласно этому принципу, в любой неравновесной нелинейной системе с фиксированными граничными условиями процессы развиваются в том направлении, при котором скорость изменения производства энтропии, обусловленная изменением термодинамических сил, уменьшается. Знак равенства относится к стационарному процессу.
Н.Н. Моисеев [6],дал  этому принципу упрощенную формулировку -(для «домохозяек»).
При прочих равных условиях в системе реализуются такие формы организации или поведения объектов, ее составляющих, при которых данная система поглощает извне минимальное количество энергии (для неживой природы) или использует энергию максимально экономно (для живой природы).
Заметим, что в ряде случаев принцип Моисеева дает неверные результаты, не совпадающие с принципом Гленсдорфа–Пригожина.
 
Детерминизм, неопределенность и самоорганизация динамических систем.
В процессе борьбы Л. Больцмана с оппонентами он вынужден был прийти к заключению, что необратимость, следующая из второго начала термодинамики, несовместима с обратимыми законами динамики. Таким образом, «скрепя сердце», Л. Больцман сохранил верность динамике и заключил: «Эволюция системы, запрещаемая термодинамикой не невозможна, а всего лишь невероятна». А. Бергсон фактически «закрепил» неудачу Л. Больцмана, считая, что физика обречена на отрицание стрелы времени. Если для
Л. Больцмана подобный результат являлся драмой, то для А. Бергсона он стал отправной точкой его философии для обновления метафизики. Несмотря на различные мотивы оба они сошлись в одном и том же. Как Л. Больцман, так и А. Бергсон были убеждены, что «приговор», вынесенный классической механикой, окончателен. С этого момента (а на самом деле гораздо ранее – со времен И. Ньютона) и фактически до середины XX века все вроде бы подтверждало правоту физика и философа. (Здесь мы не имеем возможности останавливаться на Теореме возврата механической системы Пуанкаре [8] которая утверждает, что за достаточно большое время фазовая траектория, изображающая поведение системы, вернётся в область, сколь угодно близкую к некоторой начальной точке этой траектории.)
Теория относительности, и квантовая теория также отрицали «стрелу времени». Все было бы так, но вмешалась математика, а вернее та ее часть, которая называется механикой динамических систем, или просто динамикой. Этому драматическому событию мы обязаны трудами многих ученых первой величины, и в первую очередь работам
А.Н. Колмогорова, В.И. Арнольда, Ю. Мозера, Я.Г. Синая и др. Свидетельством революционного изменения представлений о детерминизме механических систем является заявление президента Международного союза теоретической и прикладной механики сэра Д. Лайтхилла, сделанное с опозданием, только в 1986 г. Приведенный ниже отрывок взят из [9].

 «Здесь я должен остановиться и снова выступить от имени широкого всемирного братства тех, кто занимается математикой. Мы все глубоко сознаем сегодня, что энтузиазм наших предшественников по поводу великолепных достижений ньютоновской механики побудил их к обобщениям в этой области предсказуемости, в которые до 1960 г. мы все охотно верили, но которые, как мы теперь понимаем, были ложными. Нас не покидает коллективное желание признать свою вину за то, что мы вводили в заблуждение широкие круги образованных людей, распространяя идеи о детерминизме систем, удовлетворяющих законам движения Ньютона, – идеи, которые, как выяснилось после 1960 г., оказались неправильными».

Сделанное признание вызвано экспоненциальным разбеганием траекторий сильно неустойчивых хаотических систем, описываемом положительными показателями Ляпунова. Однако, это еще не все, чем вызвано столь необычное признание. На одном из аспектов данной проблемы, связанных с самоорганизацией, мы сейчас и остановимся. Основной проблемой в динамике является проблема интегрирования. Поскольку мы располагаем уравнениями движения Ньютона или Гамильтона, то естественно, хотелось бы иметь явные аналитические выражения для переменных, т.е. координат или скоростей, как функций времени. В конце XIX века А. Пуанкаре показал, что не все динамические системы похожи друг на друга, как до него считалось. Оказывается, существуют системы двух типов: интегрируемые и неинтегрируемые. Для первых мы можем исключить взаимодействие и свести задачу к задаче о свободном движении. Для вторых – неинтегрируемых необходимо отказаться от описания в терминах траекторий (т.е. фактически от детерминизма) и перейти к вероятностному описанию. Посмотрим, как это получается в рамках гамильтоновой динамики, где центральной, основополагающей величиной является функция Гамильтона H = E + U, или гамильтониан, равный сумме кинетической E и потенциальной U энергий. Для консервативных систем, где гамильтониан H явно от времени не зависит [9], он выражается через обобщенные pi импульсы и координаты ri следующим образом: H = E(p1 , ..., pN) + U(r1,...., rN). Эта запись гамильтониана в так называемых канонических переменных, где кинетическая энергия зависит только от импульсов, а потенциальная только от координат частиц. Каноническое представление уравнений движения считается по праву апофеозом классической динамики, поскольку в этом представлении они выражаются через единственную величину – гамильтониан. Чтобы понять, что такое интегрируемая система, мы используем самый простой пример, приводимый в каждом учебнике по теоретической механике. Это одномерный гармонический осциллятор. Для него гамильтониан имеет вид: Р = р^2/2m + kr^2/2, где k – некая упругая постоянная, m – масса. Для данной системы существует, оказывается, так называемое каноническое преобразование, при котором гамильтониан принимает вид: H = w·J, где J – переменная действия, а w определяется через угловую переменную U следующим образом: U = wt + const. Таким образом, движение выражается теперь в терминах циклических переменных J и w Этот результат очень характерен. В новых переменных действие-угол, гамильтониан зависит только от нового импульса – переменной действия. В результате dJ/dt = -dH/dU=0. То есть переменная действия J является инвариантом движения. Аналогичный результат получается для свободной частицы, когда dp/dt =-dH/dr=0.
Как видим, в данном случае уравнения Гамильтона легко интегрируются, поскольку отсутствует потенциальная энергия. Возможность исключить потенциальную энергию с помощью канонического преобразования к новым циклическим переменным – это и есть основная характеристика интегрируемых динамических систем в смысле А. Пуанкаре. Значит, для интегрируемых систем после преобразования гамильтониана в соответствующий вид отсутствует член с потенциальной энергией, т.е. фактически исключается взаимодействие между частицами. До 1889 г. предполагалось (правда, молчаливо), что все динамические системы интегрируемые, а проблемы, связанные с задачей трех и более тел – чисто технические, вычислительные. Однако, А. Пуанкаре в 1889 г. показал [11], что в общем случае невозможно получить каноническое преобразование, сохраняющее вид гамильтоновых уравнений, которое приводило бы к циклическим переменным причем, большинство систем как раз неинтегрируемые.
 В чем же смысл столь сильного математического утверждения? Что было бы если бы А. Пуанкаре доказал интегрируемость всех динамических систем?
Это означало бы, что все без исключения динамические системы с любым числом частиц, по существу, изоморфны движению свободных, не взаимодействующих никак друг с другом частиц. Это означало бы, что эти частицы никогда не могут выступать как коллектив, то есть когерентно!
А это значит, что не может быть самоорганизации в принципе! Не может, значит, в интегрируемом мире возникнуть и жизнь!
Однако этого мало. А. Пуанкаре не только доказал неинтегрируемость, но и указал причину неинтегрируемости систем. Это существование резонансов между степенями свободы и возникновение проблемы так называемых «малых знаменателей». Надо сказать, что эта проблема была известна в астрономии и до А. Пуанкаре. Но именно его теорема показала, что основная трудность, связанная с расходимостью (малые знаменатели стремятся к нулю, а обратная им величина стремиться к бесконечности) в решении задач динамики не может быть устранена и делает невозможным введение циклических переменных для большинства динамических систем, начиная с системы трех тел. Вот как эту проблему в свое время оценивал М. Борн: «Было бы весьма странно, если бы Природа укрылась от дальнейшего прогресса познания за аналитическими трудностями проблемы многих тел».
С появлением работ А.Н. Колмогорова, продолженных В.И. Арнольдом и Ю.Мозером и появлением КАМ теории (Колмогорова – Арнольда – Мозера), проблема неинтегрируемости и малых знаменателей стала рассматриваться как отправная точка нового развития динамики, и в том числе динамики как когерентных движений, так и хаотических. КАМ теория рассматривает влияние резонансов на траектории. В разных точках фазового пространства динамической системы существуют резонансы, в других их нет. Резонансы соответствуют рациональным соотношениям между частотами. Поскольку (это классический результат теории чисел объясняется тем, что множество рациональных чисел счётно, а множество иррациональных чисел имеет мощность континуум) мера рациональных чисел по сравнению с мерой иррациональных чисел равна нулю, то резонансы встречаются крайне редко, большинство точек в фазовом пространстве нерезонансные. Резонансы приводят к периодическим движениям, отсутствие резонансов – к квазипериодическому движению. Следовательно, периодические движения, как правило, исключение из общего случая движений более сложного вида. Основной результат КАМ теории состоит в том, что существует два принципиально различных типа траекторий. Первые – слегка изменившиеся квазипериодические траектории. Вторые – стохастические траектории, возникающие при разрушении резонансов. КАМ теория не приводит к динамической теории хаоса, но она показывает, что при малых значениях некоторого параметра получается промежуточный режим, в котором сосуществуют траектории двух типов – регулярные и стохастические. Если теперь обратиться к Пригожину, то как уже было отмечено ранее, из хаотического состояния возможно появление регулярной структуры, то есть возникает самоорганизация.

Остановимся еще на одной важной проблеме. Хорошо известно, что в области естественных наук наиболее фундаментальные открытия совершаются неожиданно. Так в ряде случаев происходит научный поиск некого «А», а в результате находят совершенно неожиданное – «В». Чем неожиданней это «В», тем более значим новый результат. В области математических открытий все обстоит аналогичным образом. В качестве примера приведем с некоторыми купюрами отрывок из статьи В.И. Арнольда, посвященной А.Н. Колмогорову [12].
«Андрей Николаевич заметил, что в «интегрируемых» задачах надлежащим образом определение фазы на торе меняется со временем равномерно. Он же поставил себе вопрос: так ли это, если система на торе не интегрируема, а лишь имеет интегральный инвариант? Этот вопрос он решил в работе 1953 г. о системах на торе – первой, где появляются малые знаменатели. Вывод А.Н. таков: почти всегда можно ввести равномерно меняющиеся со временем фазы, но иногда возможно перемешивание. Замечание о перемешивании, относящееся к патологическому случаю, не кажется особенно важным. Но именно оно-то («благодаря») и стало источником знаменитой работы А.Н. Колмогорова о малых знаменателях, опубликованной в 1954 г., где доказано сохранение инвариантных торов при малом изменении функции Гамильтона. Рассуждения А.Н. Колмогорова, упомянутые им в докладе на Международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 г., состояли в следующем. В интегрируемых системах движение по инвариантным торам всегда условно периодично. Следовательно, перемешивание в интегрируемых системах не встречается (а значит, не может быть никакой самоорганизации). Чтобы узнать, имеет ли открытое им явление механические приложения, А.Н. Колмогоров решил отыскать движение по торам в неинтегрируемых системах, где в принципе перемешивание могло бы наблюдаться. Естественно начать с теории возмущений, рассмотрев систему, близкую к интегрируемой. Различные варианты теории возмущений многократно обсуждались в небесной механике, а потом в ранней квантовой механике. Но все эти теории возмущений приводят к расходящимся рядам. А.Н. Колмогоров понял, что расходимость можно преодолеть, если вместо разложений по степеням малого параметра использовать метод Ньютона в функциональном пространстве. Таким образом, «метод ускоренной сходимости» А.Н. Колмогорова был придуман вовсе не ради (но «вопреки») тех замечательных приложений в классических проблемах механики, к которым он приводит, а ради исследования возможности реализации специальной теоретико-множественной патологии в системах на двумерном торе. Поставленную им себе задачу о реализации перемешивания на слабо возмущенных инвариантных торах А.Н. Колмогоров при этом не решил («А» не найдено), так как на найденных им торах его метод автоматически строит равномерно меняющиеся при движении фазовой точки угловые координаты. Вопрос о перемешивании, из которого выросла вся работа ученого, остается нерешенным и сегодня. Значение этого технического вопроса (поиск «А») по сравнению с полученными результатами (найдено неизвестное «В») ничтожно. Сейчас о нем уже никто и не вспоминает, но новая математика возникла при уточнении мелких технических деталей предшествующих работ. Уже из этого ясно, что планирование фундаментальных исследований – бюрократическая бессмыслица, а зачастую – просто обман».

Язык сложного.
1. Флуктуации. Аддитивные и неаддитивные величины.
Состояние реальных систем никогда не остается постоянным, так как они контактируют со сложным и даже непредсказуемым окружением. Это окружение непрерывно или порциями передает системе небольшие количества вещества, импульса или энергии, что и делает невозможным контроль, по крайне мере, ряда параметров состояния со сколь угодно высокой степенью точности. Отсюда в экспериментальных исследованиях появились выражения «экспериментальная погрешность», или «доверительный интервал». Это вмешательство внешней среды во внутреннюю динамику системы выражается в несовпадении мгновенного состояния системы X(t) со стационарным X, т.е.: X(t) = X + x(t), где величина x(t) называется возмущением. Рассмотрим иную точку зрения на проблему возмущений. Термодинамика рассматривает макроскопические системы, состоящие из огромного числа взаимодействующих между собой микрообъектов. Это означает, что микроскопическое описание таких систем возможно только в статистическом смысле. Отсюда следует, что переменные (параметры), с которыми мы имеем дело в термодинамике, представляют собой либо средние значения по мгновенным состояниям на достаточно большом промежутке времени (средние по времени), либо наиболее вероятные значения, которые могут приниматься этими переменными (средние по ансамблю). Поэтому, если бы мы могли мгновенно измерить параметры состояния системы, то полученные значения, вообще говоря, отличались бы от средних. Эти отклонения являются неотъемлемой сущностью макроскопической системы, генерируются ею постоянно и называются флуктуациями. Написанная выше формула справедлива и в данном случае, однако при этом нужно понимать, что возмущение x(t) теперь обусловлено внутренней динамикой системы. Таким образом, мы понимаем под флуктуациями случайные, нерегулярные, самопроизвольные отклонения значений макроскопических характеристик системы от их средних значений. Сами же флуктуации обязаны микроскопическому движению частиц статистической системы.
Система может отклоняться от своего стандартного состояния Х четырьмя различными способами.
1. Отклонение от стандартного состояния остается ограниченным на любом промежутке времени. В математике этот случай соответствует устойчивости по Ляпунову и, если ввести понятие фазового пространства (пространства состояний) системы, то устойчивое состояние по Ляпунову будет соответствовать орбитальной устойчивости в фазовом пространстве.
2. Состояние системы стремится к стандартному состоянию по мере стремления времени к бесконечности. Это асимптотическая устойчивость. В терминах фазового пространства этому случаю соответствует асимптотическая орбитальная устойчивость. Такое состояние обязательно подразумевает необратимость, т.е. оно не применимо к консервативным системам. Диссипативные системы устойчивы к возмущениям, действующим на них, что обеспечивает воспроизводимость режима, называемого аттрактором, о котором мы говорили выше.
3. Состояние системы не остается в окрестности стандартного состояния. Про это состояние говорят, что оно неустойчиво. В фазовом пространстве такому состоянию соответствует случай орбитальной неустойчивости. Неустойчивые состояния могут быть как в консервативных, так и в диссипативных системах.
4. Состояние системы остается в некоторой окрестности стандартного состояния, если возмущение не превышает некоторой величины. Это состояние называется локально устойчивым. Однако глобальной устойчивости системы, соответствующей глобальному аттрактору в фазовом пространстве, в этом случае нет.

Для характеристики отклонения величины f от ее среднего значения используются два параметра:
Дисперсия (среднеквадратичное отклонение f от равновесного среднего <f>):
D =  <(f – <f>)^2> = <f^2> – <f>^2
Относительная (безразмерная) флуктуация:
Df = (<(f)^2> – <f>^2)^1/2/<f>
Статистическая система, находящаяся в равновесии, описывается некоторым законом
распределения случайных величин. Наиболее часто в физических системах (но и не только в них) реализуется так называемый нормальный закон распределения или закон Гаусса -W(x) ~ exp(–qx^2).
Этот закон наиболее часто реализуется в различных системах. Причина этого в следующем. В теории вероятности есть замечательная теорема, так называемая центральная предельная теорема А.М. Ляпунова. Смысл ее в формулировке для «домохозяек» примерно такой. Если значения, которые принимает случайная величина, зависят от большого числа различных факторов М, каждый из которых в отдельности мало влияет на эту величину, а ее существенное изменение возможно, когда одновременно меняется большое число параметров K < M,(меньше или равно) то рассматриваемая случайная величина подчиняется закону распределения Гаусса.
Этот закон интересен нам по следующей причине. В нашем случае, если мы говорим о каких-то величинах, имеющих случайные значения, то их можно классифицировать либо как аддитивные (зависящие от числа частиц в системе), либо как неаддитивные (не зависящие от числа частиц в системе). На примере физической системы вы легко поймете, что энергия, объем – это аддитивные параметры, а давление, температура – неаддитивные. Для закона Гаусса дисперсия аддитивных величин пропорциональна числу частиц в системе, т.е. Dad = N; а дисперсия неаддитивных величин обратно пропорциональна числу частиц в системе, т.е. Dnonad =1/N.[5]

2. Фракталы, или странные аттракторы
Помимо упомянутых выше способов реагирования системы на внешние возмущения существует еще одна возможность, приводящая к принципиально иному характеру поведения системы – переходу к хаосу. Обычный аттрактор (неподвижные точки или предельные циклы), представляющий собой некоторое множество точек в фазовом пространстве, отражает стремление системы к упорядоченному, предсказуемому движению. Существенно, что при этом размерность аттрактора обязательно меньше размерности фазового пространства, поскольку это множество остается неизменным в процессе движения. Обычные аттракторы в 3-мерном фазовом пространстве имеют размерность либо ноль (неподвижная точка), либо единицу (линия), либо двойку (поверхность). В математике известны, однако, объекты с размерностями, промежуточными между точкой и линией, между линией и поверхностью, между поверхностью и объемом. Такие множества названы множествами Мандельброта, или фракталами [13]. Приведем наиболее простой из таких примеров фрактала – так называемое множество Кантора. Рассмотрим отрезок [0, 1] на числовой оси. Разобьем этот отрезок на три равные части и выбросим среднюю. После этого оставшиеся отрезки вновь разделим на три равные части и выбросим средние. Неограниченно продолжим эту процедуру. Длина всех выброшенных частей составляет бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 2/3, а начальный элемент имеет длину 1/3. В итоге (можно посчитать по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии) длина всех выброшенных частей равна 1. Однако в исходном отрезке сохранилось бесконечно много точек, например, 0, 1, 1/4, и т.д. Но, это множество точек не имеет собственной длины, имеет топологическую размерность 0, является нигде не плотным совершенным множеством, и оно континуально! Однако размерность такого множества не равна нулю. Имеем задачку для учеников …ну 9 класса, знающих логарифмы. Для того, чтобы найти размерность этого множества, обратимся к соотношению, определяющему размерность d всех известных «топологических» многообразий: d = lim (lnN{e})/ln(1/e) при e стремящемся к 0, где e – длина отрезка, составляющая минимальный «объем» множества, а N{e}– минимальное число элементарных объемов, необходимое для полного покрытия данного множества. Поясним работу этой формулы примером. Для того чтобы закрыть квадрат со стороной 1, нужно (1/;)^2 квадратов со стороной ;. Таким образом, имеем d = [ln(1/e)^2 /ln(1/e)] = 2, что собственно заранее и предполагалось. В случае множества Кантора имеем:d =ln2^n /ln3^n =ln2/ln3=0,63, то есть множество Кантора имеет промежуточную размерность между точкой
(d = 0) и линией (d = 1). Подобного рода множества – фракталы, или странные аттракторы, реализуют хаотическое поведение системы, когда в ее поведении отсутствует всякого рода детерминизм и упорядоченность, и можно говорить о вероятностном описании.

Критерий относительной упорядоченности живых систем.
Поскольку мы выяснили основные закономерности самоорганизации в открытых системах, представляет интерес сразу же рассмотреть их особенности для живых организмов, имея в виду их эволюцию. Дадим вначале предельно общее определение этого понятия. Под эволюцией будем понимать процесс изменения, развития в природе и обществе. В физических замкнутых (изолированных) системах, как мы уже обсуждали, эволюция приводит к равновесному состоянию с максимумом энтропии и максимальной степенью хаотичности («смерть»). В открытых системах можно выделить два класса эволюционных процессов.
1. Временна;я эволюция к неравновесному стационарному состоянию.
2. Процесс эволюции через последовательность неравновесных стационарных состояний, что происходит благодаря изменению управляющих параметров.
В принципе мы должны понимать, что самоорганизация и деградация – два возможных варианта эволюции, и чтобы их различать, необходимо ввести новый термин – «норма хаотичности». Отклонение от нее («нормы») в ту или иную сторону, пользуясь медицинским языком, можно трактовать как «болезнь», т.е. деградацию, а значит, восстановление к исходному состоянию – это «лечение», т.е. самоорганизация. Функционирование организма возможно лишь при некоторой норме хаотичности, которая отвечает существенно неравновесному состоянию, но точки отсчета от равновесного состояния (как, например, в простой физической системе) здесь не существует. Поэтому в биологии, экономике и социологии объективная информация об изменении степени хаотичности еще недостаточна, чтобы делать вывод о наличии процесса самоорганизации или деградации. Здесь и уместно пользоваться терминами «норма хаотичности» и «лечение». Интересно отметить, что первые сведения об обсуждении эволюционных процессов можно найти еще у Платона. С тех пор, в той или иной мере эта проблема поднималась различными учеными. По нашим современным представлениям, для ее понимания требуется знать еще ряд терминов. «Динамический хаос» – это состояние, которое означает, что в системе отсутствуют источники флуктуаций, источники беспорядка. В этом его отличие от «физического хаоса». Существуют два класса нелинейных систем – динамические и стохастические (статистические). В основе классификации лежит свойство воспроизводимости движения по заданным начальным условиям. В динамических системах реализуются воспроизводимые движения, а в стохастических – невоспроизводимые (диссипативные). Тем не менее, даже если нет случайных источников, и процесс формально воспроизводим, т.е. движение динамическое, оно может быть столь сложным, что результат оказывается фактически непредсказуемым. Особенностью динамического хаоса является динамическая неустойчивость движения, которая выражается в сильной (экспоненциальной) расходимости близких в начальный момент траекторий. Даже в сравнительно простых динамических системах существуют чрезвычайно сложные движения, которые воспринимаются как хаотические (из-за невозможности предсказания результата). Математическое описание подобного сложного состояния приводит к понятию «странный аттрактор». Динамическая неустойчивость может играть в открытых системах важную конструктивную роль. Приведем примеры, взятые нами из статьи Ю.Л. Климонтовича[14] лишь незначительно mutatis mutandis , не меняющие их смысла. Начнем с иллюстративного примера из социологии. Пусть некая международная конференция подошла к концу. Это начальное состояние для ее участников. Рассмотрим два возможных варианта их движения.
1. Участники и после ее окончания перемещаются вместе, не удаляясь друг от друга на значительное расстояние. Например, общий поезд из Кембриджа, где проходила конференция, в Лондон.
2. Участники разъезжаются порознь, кто куда – «экспоненциально разбегаясь». Иными словами, движение становится «динамически неустойчивым».
Возникает вопрос. Какой из этих двух вариантов движения способствует в большей мере использованию полученной на конференции новой информации? Первый вариант полезен в определенной мере, так как позволяет продолжить дальнейшее обсуждение вопросов конференции. Но, ясно, что именно второй вариант, когда имеет место «перемешивание траекторий» в большей мере способствует прогрессу науки. В этом случае участники быстрее передают информацию в различные места и разным слушателям. Этот пример демонстрирует, что динамическая неустойчивость и перемешивание могут и не привести к хаосу, а играть позитивную конструктивную роль.
Примеры из медицины приведем лишь в виде констатации результатов. Рассмотрим отклик живого организма на стресс. В основном у женщин степень хаотичности увеличилась (степень порядка уменьшилась), а у мужчин наоборот - степень хаотичности уменьшилась (т.е. произошла некоторая упорядоченность). Возврат в исходное состояние, к «норме хаотичности», подразумевает «лечение». Для женщин это лечение сопровождается уменьшением хаотичности (т.е. имеет место процесс самоорганизации!), а у мужчин – возрастанием хаотичности (т.е. фактически происходит деградация!).Вот и оказывается, что для живого организма смысл понятий самоорганизация и деградация не имеет однозначной связи, соответственно, с увеличением (при самоорганизации) или, напротив, уменьшением (при деградации) степени упорядоченности. Оказывается, что всего существует три типа «больных».Первый тип (мужской) – уменьшение степени хаотичности (избыточная упорядоченность), второй тип (женский) – не слишком большое увеличение степени хаотичности. Третий тип (суперженский) – значительное увеличение степени хаотичности. Вспомните, многие женщины от стресса впадают в истерику, для мужчин это крайне редко. А теперь подумайте. Какой пол физиологически более слабый? Ну да, тот у которого Y-хромосома. Неожиданно, правда? Вы привыкли считать совсем по-другому.

Заключение
Теперь остановимся еще на одном частном примере, посредством которого мы хотим внушить вам весьма общую идею.
Напомним, что обычно для характеристики отклонения величины f от ее среднего значения <f> используют понятие дисперсии – среднее квадратичное отклонение от равновесного среднего: D = <(f – <f>)^2>. Для закона Гаусса дисперсия аддитивных величин пропорциональна числу частиц в системе, т.е. D(ad) = N; а дисперсия неаддитивных величин обратно пропорциональна числу частиц, т.е. D(nonad)=1/N.
Вот теперь можно, наконец, объяснить, для чего все это было нужно вам рассказывать. Разум, интеллект, квалификация и прочие профессиональные навыки и способности, также как и талант – величины неаддитивные. Глупость, неумение что-либо делать и т.п. – величины существенно аддитивные. Вот поэтому принципиально новые идеи рождаются всегда в голове одного человека, творчество только индивидуально, а коллективное творчество не что иное как простая совокупность результата работы отдельных индивидуумов и не может содержать ничего революционно нового. Вот поэтому бесплодны были все попытки собрать вместе много талантливых ученых, поэтов и т.д. и ожидать, что совокупно они что-то гениальное сотворят. Гениальность – это отклонение от среднего неаддитивной величины, а дисперсия, т.е. то самое отклонение, тем меньше, чем больше людей вы соберете. Именно поэтому новые идеи рождаются именно в маленьких коллективах, стихи, картины, музыку и романы пишут не коллективом. Вот поэтому так опасно коллективное мнение дилетантов, коллективное мнение глупцов. Вот поэтому так опасна толпа, ибо агрессивность – аддитивная величина. Но как же быть с демократией? С парламентом и т.п. социальными институтами, где заведомо должно быть коллективное мнение, предотвращающее самовластие, диктатуру и возможное самодурство одного человека? А никак!
«Many forms of Government have been tried and will be tried in this world of sin and woe. No one pretends that democracy is perfect or all-wise. Indeed, it has been said that democracy is the worst form of government except all those other forms that have been tried from time to time.» He said it (House of Commons, 11 November 1947)—but he was quoting an unknown predecessor. From Churchill by Himself
«Многие формы правления были испробованы и будут испробованы в этом мире греха и скорби. Никто не претендует на то, что демократия совершенна или мудра во всем. Действительно, говорят, что демократия - это наихудшая форма правления, за исключением всех тех форм, которые время от времени испробовывались».Эту фразу произнес Уинстон Черчилль в палате общин 11 ноября 1947 года.- но он цитировал неизвестного предшественника.
Очень хотелось, чтобы вы в своей дальнейшей жизни (безотносительно к тому, чем станете заниматься) всегда помнили об этом свойстве аддитивных и неаддитивных величин. Всем моим читателям вельми благодаренъ.

Литература
1.Jawaharlal Nehru The Discovery of India. 14 November 1946; (at Signet Press, Kolkata, India) P.595.Джавахарлал Неру "Открытие Индии" Издательство: «Издательство иностранной литературы», Москва. 1955. 652 Стр. 
2.Yurii Khapachev, Arthur Dyshekov, Tatyana Oranova and Tatyana Shustova. The Modern Natural Science Picture of the World.2020.P.113-115. Cambridge Scholars Publishing.
3.Ю.П.Хапачев, А.А.Дышеков, Т.И.Оранова, Т.И.Шустова Панорама современного естествознания. © Copyright: Юрий Хапачев, 2023-2024
Свидетельство о публикации №223122301463 . https://www.khapachev.com/
4.И.А. Квасников Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. – М.: МГУ, 1991. – 800 с.
5. И.А. Квасников Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем. Изд. МГУ, 1987 г.
6.Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. – М.: Прогресс, 1999. – 266 с. 9. 7.Моисеев Н.Н. Человек и ноосфера. – М.: Молодая Гвардия, 1990. – 352 с.
8.Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Изд. 5-е стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — С. 62. — ISBN 5-354-00341-5)
9. Ligthill J. The Recognized Failure of Predictability in Newtonian Dynamics // Proceedings of the Royal Society. – 1986. – P. 35–50.
10. Тейбор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной механике. – М.: Эдиториал УРСС. 2001. – 320 с.
11. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Избранные труды. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1971–1972.
12. Арнольд В.И. Об А.Н.Колмогорове . https://ega-math.narod.ru/LSP/ANK.htm
13. Документальное Кино Памяти Математика Бенуа Мандельброта. Совершенная форма. https://ya.ru/video/preview/10678455913826872851
14. Климонтович Ю.Л. Критерии относительной степени упорядоченности открытых систем // УФН. – 1996. – Т. 166, № 11. – С. 1231–1243.