Тороидально-винтовые тела с изменяемым числом гран

Рассмотрим правильную n-угольную (n>2) призму, способную деформироваться без разрывов (резиновую, пластилиновую). Изогнем ее равномерно так, чтобы можно было соединить (склеить) ее основания, предварительно повернув (сдвинув) их относительно друг друга на одну, две, три и т.д., на m сторон (0=m<n+1).

При m=0 получается n-кольцегранный тор Т(n,0) в меридианальных сечениях которого лежит правильный n-угольник, а грани являются кольцевыми лентами.

При m>0 назовем получаемые тела тороидально-винтовыми Т(n,m) с изменяемым (зависимым от m) числом граней, а их грани – тороидально-винтовыми кольцевыми лентами Г(n,m).

Необычность этого многогранного тела заключается в том, что:

1. при m=0 его ребра являются окружностями, а при m>0 – замкнутыми винтовыми линиями,
2. число ребер и число граней зависит от n и m,
3. тело не имеет вершин.

В качестве примера рассмотрим сначала тело Т(3,0). В этом случае у тела будет 3 грани и 3 ребра.

У тела Т(3,1) уже будет только одна грань и одно ребро. Причем грань является кольцевой лентой (двусторонней), скрученной на 3 оборота, а ребро – замкнутой винтовой линией, которая делает один оборот в поперечном сечении, когда это сечение делает три оборота вдоль тела.

У тела Т(3,2) тоже будет одна грань и одно ребро, которое будет замкнутой винтовой линией, делающей уже два оборота в поперечном сечении, когда это сечение делает три оборота вдоль тела.

У тела Т(3,3) будет три грани и три ребра, но по другому скрученные.

Рассмотрим теперь тела Т(4,m). В этом случае у тела Т(4,0) будет 4 грани и 4 ребра.

У тела Т(4,1) снова будет одна грань и одно ребро – винтовая замкнутая линия, которая делает один оборот в поперечном сечении, когда это сечение делает 4-е оборота вдоль тела. Подумайте, что будет представлять собой развертка грани?

У тела Т(4,2) будет уже две грани и два ребра. Причем ребра будут замкнутыми винтовыми линиями, делающими один оборот в поперечном сечении, когда это сечение делает 2-а оборота вдоль тела. Подумайте, что будут представлять собой грани?

У тела Т(4,3) будет тоже одна грань и одно ребро. Подумайте, какими они будут?

У тела Т(4,4) будет снова две грани и два ребра. Подумайте, какими они будут?

Аналогично рассматриваются Т(5,m), Т(6,m) и т.д.

Из предыдущих рассуждений вытекают следующие свойства – теоремы таких тел:

1. Если n – простое число, то тела Т(n,m) – одногранные.
2. Если n и m – взаимно простые числа, то тела Т(n,m) тоже одногранные.
3. Если n и m – k-кратные числа, то тела Т(n,m) k-гранные.

Возможны применения таких тел, такие же как у ленты Мебиуса.