4 проблемы Ландау! О числах p в квадрате плюс 1

    ПРОБЛЕМЫ ЛАНДАУ —;четыре теоретико-числовых гипотезы, выделенные в 1912 году Эдмундом Ландау как главные и «неприступные при текущем состоянии математики» в докладе на Международном конгрессе математиков:
   - Гипотеза Гольдбаха:  можно ли любое целое чётное число, большее 4, записать в виде суммы двух простых?
   - Гипотеза о числах-близнецах:   бесконечно ли число простых p таких, что (p+2)  тоже простое?
  - Гипотеза Лежандра:  всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?
  -  Существует ли бесконечно много простых чисел p, для которых
[(p в квадрате)+1]  является полным квадратом?   Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида
[(p в квадрате) +1] ?

     Все четыре проблемы по состоянию на 2025 год остаются открытыми.
// Интернет-информация от  11 10 2025 //
______;   Зная формулы простых чисел, возможно решить проблемы.
   Формулы простых чисел известны и изложены в интернете:
stihi.ru/2025/09/27/967
на странице Сергея Емельченкова:  Серж Пьетро 1.

     Формулы простых чисел.
Существует 4 варианта перемножения двух нечётных чисел, не кратных 3 или 5,
то есть 4 варианта ФОРМУЛЫ СОСТАВНЫХ ЧИСЕЛ
N ++ = (6а+1)(6в+1) = 36ав + 6(а+в) +1    вариант знаков  +++          19х13= 247
N - - = (6а-1)(6в-1) = 36ав - 6(а+в) +1       вариант знаков     - + +       17х11 = 187
N + - = (6а+1)(6в-1) = 36ав - 6(а-в) -1      вариант знаков     - - -          19х11= 209
N - + = (6а-1)(6в+1) = 36ав + 6(а-в) -1     вариант знаков    + - -          17х13= 221

      Если   знак  +  (плюс)  обозначить 1,    знак -  (минус)  обозначить  0,
то получим четыре последовательности для  знаков СОСТАВНЫХ чисел:
+ + +      соответствует двоичному 111 = десятичное  7   = N7
- + +      соответствует двоичному 011 = десятичное   3   = N3
- - -    соответствует  двоичному 000  = десятичное     0   = N0
+ - -    соответствует двоичному 100  = десятичное     4    = N4

          Иные последовательности знаков в формулах для нечётных чисел
будут отражать «не составные» (простые) числа:
1 = 001     - - + = N1
2 = 010     - + - = N2
5 = 101      + -+ = N5
6 = 110      + + - = N6

   Так как среди нечётных чисел существуют только простые и составные числа,
 то  получаем  (с учётом последовательностей знаков)
ФОРМУЛЫ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ:
    N - - +  =  36ав - 6(а-в) + 1   соответствует последовательности знаков        N1
    N - + - =  N2 = 36ав - 6(а+в) -1  соответствует последовательности знаков  N2
    N + - + = N5 = 36ав + 6(а-в) + 1 соответствует последовательности знаков  N5
    N + + -  =N6 = 36ав + 6(а+в) -1 соответствует последовательности знаков  N6

При а=в
N --+  = N1=  (6а)(6а) + 1 = (6а в квадрате) +1               
N -+- =  N2 = (6а)(6а) – 2(6а) -1 = [(6а -1) в квадрате] -2
N +-+ = N5 = (6а)(6а)  + 1 = (6а в квадрате) +1
N ++-  =N6 = (6а)(6а) + 2(6а) -1  = [(6а +1) в квадрате] -2    
____

Таким образом, на вопрос: 
существует ли бесконечно много простых чисел p, для которых [(p в квадрате)+1]  является полным квадратом?   
Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида [(p в квадрате) +1]?
 
  Получаем ответ  через формулы простых чисел:
количество простых чисел вида [(p в квадрате) +1] бесконечно -
с формулами при последовательностях знаков N1 или N5:
N --+ = N1         (6а)(6а) + 1 = (6а в квадрате) +1
N +-+ = N5         (6а)(6а)  + 1 (6а в квадрате) +1

при условии, что число а не оканчивается на 2,3, 7 или 8, при которых N1 или N5
кратно 5.


________