Теория перестроек и многоступенчатое управление

Памяти моих учителей,
профессоров кафедры физики твёрдого
тела физического факультета МГУ:
Жданова Германа Степановича,
Ивероновой Валентины Ивановны,
Кузьмина Рунара Николаевича,
Колпакова Андрея Васильевича,
Кацнельсона Альберта Анатольевича —
в знак глубочайшей признательности
посвящается.


Умы бывают трех родов: один все
постигает сам; другой может понять то,
что постиг первый; третий— сам ничего
не постигает и постигнутого другим понять
не может. Первый ум— выдающийся,
второй — значительный, третий — негодный.
«Государь» Никколо Макиавелли

Этот материал является упрощенной и краткой «выжимкой» из брошюры [1] «"Жесткие" и "мягкие" математические модели», и представляет собой текст доклада, прочитанного академиком В.И. Арнольдом в 1997 г. на семинаре при Президентском совете РФ. В докладе рассказано о применениях теории дифференциальных уравнений в таких науках, как экология, экономика и социология. Данная статья посвящена только двум из семи разделов, представленных в [1].
 
«Примером жесткой модели является таблица умножения. Простейший пример мягкой модели – принцип «чем дальше в лес, тем больше дров». Возможность полезной математической теории мягких моделей открыта относительно недавно.» [1].

Если чудеса и существуют, то только потому,
что мы недостаточно знаем природу, а вовсе
 не потому, что это ей свойственно.
 «Опыты» Мишель де Монтень

1. ТЕОРИЯ ПЕРЕСТРОЕК
Начнем с примера, формирующего, в определенном смысле, у некоторых читателей «нелинейное» мышление. В последней четверти прошлого века, года примерно с 1970, появились публикации о создании новой области математики. Отдельные читатели сопоставляли её (как, впрочем, и сами первооткрыватели) ни больше, ни меньше как с изобретением Ньютона дифференциального и интегрального исчисления. Однако, такие, прогнозы оказались явно преувеличены. Эта новая математика, названная ТЕОРИЕЙ КАТАСТРОФ, возникла как симбиоз двух различных разделов математики: теории гладких отображений Х. Уитни и теории бифуркаций динамических систем А.Пуанкаре и А.А. Андронова. Под термином «катастрофы» понимают скачкообразные, резкие и большие изменения, возникающие в виде внезапного отклика системы на плавное и незначительное изменение внешних условий. Вам прекрасно знакомы эти поговорки. «Последнее перо ломает хребет лошади» (1677г), или как говорил наш Козьма Прутков «От малых причин бывают весьма важные последствия».

В теории катастроф численно решаются задачи из различных областей науки и техники. Поскольку решения всегда численные, то казалось, что нельзя сформулировать какие-либо общие закономерности катастроф. Однако, частным случаем теории катастроф является ТЕОРИЯ ПЕРЕСТРОЕК, отличительной особенностью которой является наличие обратных связей. Под обратными связями в общем случае понимается следующее.

Пусть есть какая-либо система, имеющая вход и выход. На выходе системы есть сигнал (совершенно неважно как он возник). Если есть устройство, которое сигнал с выхода системы передает на вход, то это устройство и есть обратная связь. Если сигнал обратной связью передается в том же виде, каким он был на выходе, то это положительная обратная связь; если обратная связь переворачивает сигнал – это отрицательная обратная связь.

Так вот, в этом-то частном разделе теории катастроф - теории перестроек, оказывается возможно сделать ряд важнейших качественных выводов, одинаковых для любой нелинейной системы. ДЛЯ ЛЮБОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ!
Будем считать, что система находится в устойчивом состоянии, условно признанном «плохим», так как в пределах «видимости» существует более предпочтительное, «лучшее» состояние. Для простоты рассмотрим ситуацию перестройки с точки зрения «домохозяйки». Как вы увидите, это не такой уж плохой уровень. Предположим, что наша домохозяйка решила сделать уборку квартиры. Ей кажется, что состояние квартиры «плохое» (ясно, что это достаточно условное понятие, другой бы еще и месяц не убирал). Итак, уборка начинается, что-то двигается, что-то переворачивается и т.п. Короче, по сравнению с первоначальным «плохим» состоянием, вначале уборки состояние квартиры еще более ухудшается. Через некоторое время, пыль вытерта, полы вымыты, все расставлено на свои места, и состояние стало лучше, чем было до уборки. Прошло какое-то время и наша домохозяйка решила переклеить в комнате обои. Что происходит при этом? Старые отрываются, везде пыль, беспорядок, т.е. состояние ухудшилось гораздо сильнее, чем при обычной уборке. Но, в конце концов, обои переклеены и, естественно, состояние гораздо лучше, чем было после обычной уборки. Что же общего в этих примерах? Любая домохозяйка понимает следующие два очевидных результата. Во-первых, если хочешь путем «перестройки» улучшить состояние, то с неизбежностью сначала должен попасть в худшее состояние. Во-вторых, степень ожидаемого улучшения состояния сопоставима с предварительным ухудшением. То есть, чем лучше хочешь чтобы стало, тем в худшее состояние сперва должен попасть. Ну вот, пожалуй, и все, что может предсказать разумная домохозяйка о закономерностях перестроек. Чтобы узнать другие закономерности подробнее, надо уже обратиться к науке.

Рассмотрим два примера: когда под «плохим» состоянием мы понимаем либо «административную систему», либо «болезнь человека»; а под «хорошим» состоянием, соответственно, «рыночную экономику» и «состояние здоровья в норме». И государство, и человек – типичные нелинейные системы с обратными связями (пока живут). Обратные связи-это существенно! Ибо, управление без обратных связей всегда приводит систему к катастрофе.
В ряде случаев достаточно уничтожить лишь одну обратную связь, и система устремляется к катастрофе. Человек и государство – это достаточно сложные системы с переменными обратными связями. К сожалению формат Прозы.ру не позволяет мне представить график (или я просто не умею как это здесь сделать). Поэтому буду объяснять на словах, а соответствующий график приведен в [2,3,4].

Итак, пусть в декартовой системе координат по оси Y отложены: для государства - «благосостояние граждан» в рублях, долларах, тугриках- не важно в чем, для человека - «состояние здоровья»- а черт его знает в чем, а по оси X, соответственно, «предприимчивость граждан» и «самоподдерживающиеся колебания СФРЕ». Здесь мы не имеем возможности конкретизировать, что такое структурно-функциональные рабочие единицы (СФРЕ). Можно посмотреть их определение в [2- 4] или в [5].
В моем словесном графике изображена линия перехода из начального плохого состояния-точка1, в хорошее состояние –точка 4. В связи со сказанным выше относительно плохого и хорошего состояния, точка 4 по оси У находится выше, чем точка1.В промежутке между 1 и 4 (на графике) линия плавно опускается достигая точки 2- максимум сопротивления системы перестроечному процессу, и далее достигает минимума точка 3- самое плохое состояние. Главное! Максимум сопротивления (2) всегда раньше самого плохого состояния (3). Вот такая испорченная синусоида. А ниже самого плохого состояния пунктиром параллельно оси X изображена линия катастрофы (смерти для человека).
Вот теперь те закономерности, которые не могла угадать наша домохозяйка. Цитируем по книге В.И. Арнольда «Теория катастроф» [1,6].
 1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сначала приводит к ухудшению. Скорость ухудшения при равномерном движении к лучшему состоянию увеличивается.
 2. По мере движения от худшего состояния к лучшему сопротивление системы изменению ее состояния возрастает.
 3. Максимум сопротивления обязательно предшествует самому плохому состоянию, через которое нужно пройти для достижения лучшего состояния. После прохождения максимума сопротивления состояние продолжает ухудшаться.
 4. По мере приближения к самому плохому состоянию сопротивление, начиная с некоторого момента, начинает уменьшаться, и как только самое плохое состояние пройдено, полностью исчезает, и система сама втягивается в лучшее состояние.
 5. Величина ухудшения, необходимая для перехода в лучшее состояние, сравнима с итоговым улучшением и увеличивается по мере совершенствования системы. Слабо развитая система может перейти в лучшее состояние почти без предварительного ухудшения, в то время как сильно развитая система в силу своей устойчивости на постепенное непрерывное улучшение не способна.
 6. Если систему удается сразу, скачком, перебросить из плохого состояния достаточно близко к хорошему, то дальше она сама будет эволюционировать в нужном направлении.

С этими объективными закономерностями функционирования нелинейной системы нельзя не считаться.
    Опытные врачи знают. Что с момента лечения состояние больного сперва начинает ухудшаться. А выбор «лечения» должен быть таким, чтобы максимальное ухудшение не пересекало линию «смерти», при пересечении которой перестройка прерывается, и система устремляется к катастрофе - к смерти. Максимум сопротивления (точка 2) соответствует самому плохому САМОЧУВСТВИЮ больного, после которого оно (самочувствие улучшается), а состояние здоровья все еще ухудшается до самого плохого (точка 3). Вот почему многие обречённые больные, после точки 2, вдруг чувствуют себя лучше, а потом в точке 3 умирают.
    При кардинальных изменениях в экономике страны, заговоры, путчи и прочие неприятности для правителя возможны раньше самого плохого состояния, т.е. в максимуме сопротивления(точка 2). В самом же плохом состоянии опасности уже нет, всем настолько плохо, что не только не бунтуют, но даже и не плачут, а смеются, согласно историческому анекдоту о Чингисхане.

 (Решил Чингизхан собрать с кого-то дань и послал войско. Через некоторое время вернулось войско без дани.— Почему? — спрашивает Чингизхан.—Они бунтуют-отвечает войско. –Так берите палки и бейте их! Воины так и сделали, и дань собрали. Во второй раз Чингисхан посылает войско и опять вернулось оно без дани.— Почему? — спрашивает Чингизхан.— Они плачут, — отвечает войско. Так берите палки и бейте их! Воины так и сделали, и дань получили. Пошло войско в третий раз. Вернулось без дани. И говорят хану— Они смеются.— Ну раз смеются, тогда больше брать нечего, — решил хан.)

Выше сформулированы лишь простейшие качественные выводы, но они представляются не только более важными, но и более надежными (чем любые количественные расчеты для конкретной модели), ибо мало зависят от деталей функционирования системы. 

«На свете нет ужаснее напасти, чем
идиот, дорвавшийся до власти»
Л.Филатов. «Три апельсина».

2. МНОГОСТУПЕНЧАТОЕ УПРАВЛЕНИЕ
А теперь рассмотрим явление, которое хорошо известно инженерам в теории управления техническими системами. Оно проявляется в достаточно общей ситуации, но здесь, для простоты, я опять рассмотрю его с позиций нашей «домохозяйки». Ради неё я вынужден буду заменить технические термины -человеческими.
   Итак, производство продукта  x  управляется некоторым начальником. Этот начальник принимает решение о скорости производства продукта: y = dx/dt. В свою очередь, поведение руководителя  y  зависит от начальника второго ранга, который принимает решение о том, как нужно менять скорость производства: z= dy/dt .  А дальше, поведение начальника  z  зависит от следующего начальника - третьего ранга и т.д. вплоть до Начальника всех начальников  (ранга n). Начальник всех начальников в нашей модели может реализовать (если захочет) обратную связь. Его решение основано не на желании выполнить приказ какого-то начальника, так как такого просто уже нет (как у всех предыдущих начальников низших - предыдущих рангов), а на интересах дела, ну или его собственной прихоти. Пусть, напрмер, он захотел чтобы величина x достигла уровня X, Тогда он вынужден будет соответствующим образом влиять на начальника предыдущего ранга (а тот на своего подчиненного и т.д.), пока уровень x не достиг величины X. А когда уровень X превзойден, то Начальник всех начальников будет влиять иначе и остановит дальнейший рост продукта.
Давайте возьмем для простоты n = 3. Тогда наша модель имеет вид :
 dx/dt = y,  dy/dt = z,  dz/dt = – k(x – X);  k больше 0
Если очень хочется, то подобную систему можно переписать в виде линейного дифференциального уравнения порядка n:
  d^(n) x/dt^ n = – k(x – X).
 Уравнения этой (жесткой) модели элементарно решаются в явном виде. Но нас в данном случае интересует другое, а именно –устойчивость, стационарного состояния (x = X, y = z = ... = 0). Так вот, она определяется тем, отрицательны или нет вещественные части корней L характеристического уравнения: L^n = – k.
Эти корни – комплексные числа. Они образуют на плоскости комплексного переменного L вершин правильного n-угольника.
Если n = 1, то корень L = – k лежит в устойчивой (левой) полуплоскости.
 При n = 2 корни L1,2 = + i( k )^1/2; - i( k )^1/2 лежат на границе устойчивости.
Если же n больше > 3, то некоторые вершины обязательно лежат в неустойчивой (правой) полуплоскости [Re(L)] > 0).

Выводы[1].
Многоступенчатое управление, описываемое нашей моделью при n > 3, неустойчиво.
Двухступенчатое управление приводит к периодическим колебаниям, но не вызывает катастрофического нарастания колебаний, происходящего при трех- и более ступенчатом управлении.
Настоящую устойчивость обеспечивает только одноступенчатое управление, при котором начальник более заинтересован в интересах дела, чем в поощрении со стороны вышестоящего начальства.

Эти выводы, сделаны на основании анализа простейшей жесткой модели. Но на самом деле они выдерживают проверку на структурную устойчивость. Исключение лишь случай n = 2. То есть, двухступенчатое управление может оказаться как устойчивым, так и неустойчивым. Результат зависит от деталей, которыми мы пренебрегли при составлении нашей самой простейшей модели, понятной даже «домохозяйке».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В воспоминаниях о А.Н.Колмогорове В. И. Арнольд приводит примечательный эпизод:
 «Андрей Николаевич назвал мне как-то только двух математиков, при разговоре с которыми он "ощущал присутствие высшего разума" (одним из них он назвал своего ученика И. М. Гельфанда)» [7].

Легко догадаться кто был вторым.

Владимир Игоревич Арнольд (1937 – 2010) – советский и российский математик, автор работ в области топологии, теории дифференциальных уравнений, теории особенностей гладких отображений и теоретической механики. Один из крупнейших математиков XX века. Академик АН СССР и потом РАН.

Научная деятельность: соавтор теоремы Колмогорова – Арнольда – Мозера о стабильности интегрируемых гамильтоновых систем. Развивал математику (теория динамических систем, теория катастроф, топологию, алгебраическую геометрию), классическую механику и теорию сингулярностей. В.И. Арнольд опубликовал более 400 статей и большое количество учебников и монографий. Более тридцати его книг были многократно переизданы и переведены на многие языки мира. В.И. Арнольд – основатель большой научной школы, среди его учеников: И.А. Богаевский, Р.И. Богданов, А.Н. Варченко, В.А. Васильев, А.Б. Гивенталь, В.В. Горюнов, С.М. Гусейн-Заде, А.А. Давыдов, В. М. Закалюкин, М.Э. Казарян, А.Г. Кушниренко, С.К. Ландо, А.И. Нейштадт, Н.Н. Нехорошев, А.С. Пяртли, В.Д. Седых, А.Г. Хованский, А.Н. Шошитайшвили, и многие другие.

Награды: 1957 – премия Московского математического общества. 1965 – Ленинская премия (вместе с академиком А.Н. Колмогоровым) за цикл работ по проблеме устойчивости гамильтоновых систем. 1982 – премия Крафорда от Шведской королевской академии наук (совместно с Луисом Ниренбергом). 1992 – премия имени Н.И. Лобачевского РАН. 1994 – премия Харви (Harvey Prize), Технион (Хайфа). 1999 – орден «За заслуги перед Отечеством» IV степени за большой вклад в развитие отечественной науки, подготовку высококвалифицированных кадров и в связи с 275-летием Российской академии наук. 2001 – премия Вольфа (Wolf Prize) по математике. 2001 – премия Дэнни Хайнемана в области математической физики. 2007 – Государственная премия России за выдающийся вклад в развитие математики. 2007 – Чернский приглашённый профессор. 2008 – премия Шао за обширный и важный вклад в математическую физику (совместно с Л.Д. Фаддеевым). В 1992 году сделал пленарный доклад на Европейском математическом конгрессе.
Звания: Академик РАН. Профессор МГУ. Иностранный член Национальной академии наук США, Французской академии наук, Лондонского королевского общества, Национальной академии деи Линчеи, почётный член Лондонского математического общества, иностранный член Американского философского общества, а также Американской академии искусств и наук. Почётный доктор университетов Пьера и Марии Кюри (Париж, 1979), Уорика (Ковентри), Утрехта, Болоньи, Торонто, Комплутенсе (Мадрид). Президент Московского математического общества (с 1996 года). Член редколлегии журнала «Успехи математических наук». В 1995–1998 гг. занимал должность вице-президента Международного математического союза, в 1999–2002 являлся членом его исполнительного комитета. Председатель попечительского совета Независимого Московского университета. Главный научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН. Профессор Университета Париж–Дофин.

Литература
1.В.И.Арнольд «Жесткие» и «мягкие» математические модели Электронное издание М.: МЦНМО, 2014.
2. Ю.П.Хапачев, А.А.Дышеков ,Т.И Оранова, Т.И.Шустова. Современная естественнно-научная картина мира Курс лекций. I - II части. Актуальные вопросы современного естествознания. Нальчик. 2017. Вып. 15. 112c.
3.Yurii Khapachev, Arthur Dyshekov, Tatyana Oranova and Tatyana Shustova. The Modern Natural Science Picture of the World.2020.P.113-115. Cambridge Scholars Publishing.
4.Хапачев Ю.П., Дышеков А.А., ОрановаТ.И., ШустоваТ.И. Панорама современного естествознания. https://www.khapachev.com/. © Copyright: Юрий Хапачев, 2024.Свидетельство о публикации №224041801307
5.Ю.П.Хапачев, Т.И.Шустова Концептуальные достижения современной биологии.3. Некоторые аспекты фундаментальных знаний о живом организме.
1.Информационное отражение как форма деятельности функциональных систем организма.© Copyright: Юрий Хапачев, 2025.Свидетельство о публикации №225102400742
6. В.И.Арнольд Теория катастроф. – М.: Наука, 1990. – 128 с.
7. В. И. Арнольд  «Новый обскурантизм и российское просвещение»—
К 100-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова. М.: ФАЗИС, 2003. 60с.