Пунктуация. Экспресс-ответы 3

1. ДОВОД И ОБОСНОВАНИЕ. КАКОЙ ВЫБРАТЬ ЗНАК?

Вопрос: Нужны ли запятые с деепричастием в этом предложении?
Мы не должны забывать друг о друге, ведь (,) только объединившись(,) мы можем чего-то достичь.

Можно поставить запятую:
(1) Мы не должны забывать друг о друге, ведь только объединившись, мы можем чего-то достичь.
Но лучше использовать более сильный знак, двоеточие или тире, обозначив двухчастную конструкцию:
(2)Мы не должны забывать друг о друге — ведь только объединившись, мы можем чего-то достичь.
(3) Мы не должны забывать друг о друге: ведь только объединившись, мы можем чего-то достичь.

Это СПП со значением причины, причем предложение построено как логическое обоснование, где ВЕДЬ — это союз-частица в составе придаточного.В главной части делается предположение/умозаключение, а в придаточной приводится довод/обоснование.
В начале придаточного предложения находится деепричастный оборот, при этом союз-частица ВЕДЬ относится ко всему придаточному. Деепричастный оборот имеет дополнительное значение условия и обособляется в обязательном порядке.
Сочетание "ведь только" обычно используется как цельное сочетание, запятой между словами нет.

2. ОБЩЕЕ ПРИДАТОЧНОЕ ДЛЯ ДВУХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ

Вопрос: Нужна ли запятая в указанном месте после двойного союза?
Если бы мы не одержали победу, то не было бы ни новых встреч, ни счастливых семей(,) и не было бы даже нас самих.

Правильно:
Если бы мы не одержали победу, то не было бы ни новых встреч, ни счастливых семей и не было бы даже нас самих.

Это СПП с придаточным ирреального условия: придаточная часть сообщает об условии, которое не осуществилось (в обоих частях СПП используется сослагательное наклонение).
В главной части однородные отношения между односоставными безличными предложениями, связанными союзом И. Запятой нет, так как предложения имеют общее придаточное условие.

3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ СО СЛОВАМИ "ГЛАСИЛА НАДПИСЬ"

Вопрос: Какой знак нужен на месте вопроса: "Вход" (?) гласила надпись.

Правильно: "Вход" — гласила надпись.

Оформить дословное высказывание можно по-разному. Это может быть классическая прямая речь или упрощенное оформление, что зависит от структуры предложения.
В данном случае нет необходимости в большом количестве знаков, достаточно одного тире. Тогда это бессоюзная связь между частями предложения, пояснительные отношения.
Варианты оформления:
Ю. О. Домбровский. Homo Indonesia Messonie», — гласит надпись на металлической таблице,
Людмила Улицкая. "Скупка вещей у населения" — скромненькая надпись на плотно закрытой двери.

4. ОДНОРОДНЫЕ ПРИДАТОЧНЫЕ С ОБЩЕЙ МЕСТОИМЕННОЙ ЧАСТЬЮ

Вопрос: Нужна ли запятая перед "или" в данном контексте?
Несмотря на то(,) или даже благодаря тому, что книга появилась в продаже, ажиотаж только усилился.

Правильно: Несмотря на то или даже благодаря тому, что книга появилась в продаже, ажиотаж только усилился.
Это СПП с двумя придаточными, которые в данном случае находятся в однородных отношениях, хотя это разные придаточные (уступки и причины). Одиночный союз ИЛИ связывает местоименные части сложных союзов (запятой нет), при этом вторая часть придаточных общая.
Сравнить:
Несмотря на то, что книга появилась в продаже, или даже благодаря тому, что книга появилась в продаже, ажиотаж только усилился. Здесь запятая перед ИЛИ относится к обособленной части союза.

5. ТИРЕ ВМЕСТО ПРОПУЩЕННОЙ МЕСТОИМЕННОЙ ЧАСТИ ДВОЙНОГО СОЮЗА ЕСЛИ...ТО

Вопрос: Как грамотно расставить знаки препинания?
Стараемся ничего не упускать, потому что(,) если зазеваешься, вовремя не спохватишься(?) проблем не миновать.

Правильно:
Стараемся ничего не упускать, потому что если зазеваешься, вовремя не спохватишься — проблем не миновать.

В этом предложении тире заменяет пропущенную часть двойного союза ЕСЛИ...ТО. В этом случае на стыке подчинительных союзов запятая не ставится.
Запятая  нежелательна также из-за наличия запятой между однородными сказуемыми (тогда неясно понимается структура придаточного предложения), поэтому ставим тире.
Сравнить: Стараемся ничего не упускать, потому что если зазеваешься, вовремя не спохватишься, ТО проблем не миновать (ставится запятая).