Как аэродинамисты придумали Ньютону квадрат синуса

Аннотация:

Вам говорили, что Ньютон ошибся в расчёте силы сопротивления, получив странную формулу с квадратом синуса? А что, если это — большая ложь? Данная статья показывает, что классическая «ньютоновская» формула R = 1/2 * p * V^2 * S * sin^2(a) не является формулой Ньютона. Это результат тройной терминологической и логической подмены, совершённой его последователями. Путём восстановления исходной модели доказывается, что Исаак Ньютон получил выражение для силы в виде R = p * V^2 * S * sin(a). Никакого «квадрата синуса» у него не было. Тем не менее, современные учебники упорно настаивают на обратном, превратив трёхкратную погрешность гениальной идеализации в пятидесятикратную карикатуру. Почему и зачем это было сделано? Давайте разбираться.

Обращение к читателям: т.к. на данном ресурсе нет поддержки таких элементарных символов как "квадрат, куб" числа и значка "дельта", то я вынужден писать вот такую ахинею: ^2,  ^3  дельта .....


1. Введение: парадокс квадрата синуса

Почти каждый, кто изучал основы аэродинамики, сталкивался с этим парадоксом: интуитивно ясно, что наклон пластины уменьшает силу удара потока. Но почему уменьшение должно быть пропорционально именно квадрату синуса угла? Откуда берётся эта вторая степень? Стандартный ответ — «так получилось у Ньютона в его модели удара частиц» — только усиливает недоумение: модель проста, а результат странен.

В учебниках это преподносится как хрестоматийный пример «гениальной ошибки»: дескать, великий физик не учёл, что воздух — не песок, и потому ошибся в зависимости. Но что, если ошиблись не в физике, а в чтении? Что, если «квадрат синуса» — это не расчёт Ньютона, а приписанный ему позднее конструкт, рождённый в результате небрежных интерпретаций?

Цель этой статьи — не просто указать на историческую неточность, а восстановить цепочку искажений. Мы покажем, что Ньютон был гораздо ближе к истине, чем принято считать, а его имя стало жертвой серии терминологических и логических подмен.

2. Механическая модель Ньютона: от удара шарика к силе сопротивления потока

Чтобы понять исходный замысел Ньютона, нужно вернуться к фундаментальной механике. Он решал задачу о сопротивлении среды, сводя её к задаче об ударе множества твёрдых тел и применяя Второй закон механики (2зН) в его чистом, импульсном виде.

2.1. Фундамент: Второй закон и сила удара

Рассмотрим твёрдый шарик массой m, летящий со скоростью V и ударяющийся о массивную неподвижную стену. Согласно 2зН, сила удара определяется изменением импульса шарика:
F = дельта P / дельта t = m * дельта V / дельта t.

Шарик полностью останавливается относительно стены (V_конечная = 0)и в этот момент мы имеем максимально возможную силу удара, изменение его скорости дельта V при этом равно V (скорости с которой шарик подлетал к стене). Таким образом, сила, с которой шарик давит на стену, равна:
F = (m * V) / дельта t. (Уравнение 1)

Эта простая формула — сердцевина всей последующей модели. Она связывает силу непосредственно с полным изменением скорости тела.

*2.2. От шарика к потоку: рождение формулы R = p * V^2 * S*

Ньютон сделал гениальное упрощение: воздух — это множество таких невзаимодействующих твёрдых частиц. Чтобы найти силу сопротивления тела, нужно просуммировать удары всех частиц о его поверхность.

Рассмотрим простейший случай: плоская пластина площадью S, поставленная строго перпендикулярно набегающему потоку со скоростью V (угол атаки a = 90°).

Шаг 1: Находим массу «ударяющегося» воздуха. За одну секунду о пластину ударятся все частицы, находившиеся в объёме цилиндра с основанием S и длиной V. Этот объём равен V * S. Следовательно, суммарная масса этих частиц: m = p * V * S.

Шаг 2: Применяем Второй закон. Вся эта масса воздуха, как и наш шарик, в рамках модели полностью останавливается относительно пластины. Подставляем m из Уравнения 1, принимая условно дельта t = 1 с для установившегося потока:
R = (p * V * S) * V = p * V^2 * S. (Уравнение 2)

Это и есть знаменитая ньютоновская формула. Ключевой вывод: R в (2) — это прямое следствие F в (1). Это — СИЛА, рассчитанная по 2зН.

2.3. Ключевое свойство силы R: её направление

В механике удара твёрдой частицы о гладкую поверхность сила взаимодействия направлена строго по нормали (перпендикуляру) к этой поверхности. Поскольку в модели Ньютона все частицы ударяются одинаково, их суммарная сила R также направлена перпендикулярно пластине.

В частном случае (a = 90°) эта нормаль совпадает с направлением потока. Поэтому сила R одновременно является:

 Нормальной силой (перпендикулярной пластине).

 Полной силой сопротивления на пластину (направленной по потоку).
 А ее проекция на горизонталь (сила лобового сопротивления Fx = R).

Здесь лежит семя будущей путаницы. Для наклонной пластины эти две силы перестают совпадать. Но Ньютон, выводя свою формулу, рассчитывал именно нормальную силу — перпендикулярное давление потока на поверхность, силу (R).

2.4. Общий случай: наклонная пластина (a < 90°) — развилка логики

Для пластины, повёрнутой на угол атаки (a), меняется только геометрия сбора частиц.

Масса потока: Пластина «вырезает» из потока столб воздуха с поперечным сечением — миделем. Это сечение равно проекции пластины на плоскость, перпендикулярную потоку: S_мид = S * sin(a). Следовательно, масса воздуха, способного столкнуться с пластиной за секунду: m = p * S_мид * V = p * S * V * sin(a).


Шаг 1)
Теперь — решающий момент применения Второго закона. Чему равно изменение скорости дельта V этой массы относительно пластины?

(Шаг 2А)
Логика Ньютона (модель неупругого удара и остановки): Частица, ударившись о твёрдую гладкую поверхность, останавливается относительно неё. Её скорость относительно пластины падает от начального значения V до 0. Следовательно, дельта V = V.
Полная нормальная сила (по 2зН): R = m * V = (p S V sin a) * V = p V^2 S sin(a).


(Шаг 2Б)
Логика классической интерпретации (скрытая подмена модели): Здесь происходит незаметный сдвиг. Рассматривается не остановка частицы, а только изменение её нормальной (перпендикулярной к пластине) компоненты скорости с V_n = V sin(a) до 0. Фактически, это модель упругого отскока в нормальном направлении, где тангенциальная составляющая (V cos(a)) сохраняется. В этом случае дельта V_используемое = V sin(a).
Результат: R (теперь это скорее не сила удара, а усреднённое нормальное давление) = (p S V sin a) * (V sin a) = p V^2 S sin^2(a).


Вот она — точка бифуркации, где рождается «квадрат синуса».

2.5. Критическое уточнение: какая «скорость» в формуле Ньютона?

В модели Ньютона «скорость» (V) имеет одно и только одно значение: это воздушная скорость набегающего потока до соударения. Это — полная, абсолютная величина скорости частицы относительно тела.

Однако в классическом выводе, ведущем к sin^2(a), происходит терминологическая манипуляция. Вводится новая, не существовавшая в исходной модели сущность: «нормальная составляющая скорости» V_n = V sin a. Именно её подставляют в формулу изменения импульса вместо полной скорости V.

Физически это означает подмену модели:
Было (Ньютон): Частица с воздушной скоростью V ударяется и останавливается. Изменение её вектора скорости равно V.
Стало (интерпретаторы): У частицы как бы две независимых скорости: нормальная (V sin a) и тангенциальная (V cos a). При ударе меняется только нормальная. Изменение скорости теперь равно не V, а V sin a.

Это введение «тангенциальной скорости», которая якобы «сохраняется», — выход за рамки исходной механической модели неупругого удара твёрдых тел.

Таким образом, последовательное применение модели Ньютона даёт для полной нормальной силы:
R = p V^2 S sin(a).

Знаменитая же формула p V^2 S sin^2(a) является результатом непоследовательной гибридизации двух разных физических картин. О том, как эта гибридная формула прошла через три этапа искажения и была канонизирована как «ошибка Ньютона», — в следующих разделах.

3. Первая подмена: эмпирическое искажение (Деление на два)

Первые последователи Ньютона столкнулись с тем, что его формула R = p V^2 S sin(a) давала для перпендикулярной пластины значение, примерно вдвое превышающее некоторые экспериментальные данные для тел в ЖИДКОСТЯХ, которые при экспериментах имели и очень малые скорости и размеры. Вместо того чтобы искать причину расхождения в физике (например, в различной плотности, вязкости режима обтекания), они пошли по пути механической «подгонки».

Подмена состояла в следующем: В выражение для силы был эмпирически добавлен коэффициент 1/2, чтобы «соответствовать» структуре emerging формул гидродинамики.

Так, исходная формула Ньютона превратилась в:
R' = (1/2) * p V^2 S sin(a), где (1/2) * p V^2 было ничем иным как гидро-динамический напор (динамическое давление).

Что здесь произошло? Была искажена численная константа, но пока сохранена ключевая зависимость от угла атаки ~ sin(a). Это была первая, ещё относительно невинная, поправка. Она не ломала логику модели, а лишь «масштабировало» её предсказание. Однако этот шаг создал прецедент «исправления» Ньютона, открыв дорогу для более радикальных искажений.

4. Вторая подмена: логический излом (Рождение sin^2(a))

Следующий шаг был уже не эмпирическим, а логическим. Он произошёл при некритичном повторении вывода модели для наклонной пластины. Вместо того чтобы, как Ньютон, считать изменение скорости частицы равным полной скорости V (см. Шаг 2А в Разделе 2), интерпретаторы незаконно переключились на расчёт через изменение только нормальной компоненты скорости V sin(a) (Шаг 2Б).

Суть подмены: В формуле F = m_точка * дельта V вместо дельта V = V подставили дельта V_n = V sin(a).

Результат: Если на первом шаге масса потока уже была пропорциональна sin(a) (m = p S V sin(a)), то теперь и изменение скорости стало пропорционально sin(a). Их произведение дало:
R'' = (p S V sin a) * (V sin a) = p V^2 S sin^2 a. Синус применили два раза.

И, с учётом уже внесённого коэффициента 1/2 из первой подмены, формула приняла свой классический вид:
R'' = (1/2) * p V^2 S sin^2(a).

Физический смысл катастрофы: Эта подмена качественно изменила модель. Вместо модели удара и остановки (где сила пропорциональна sin a) получилась гибридная модель частичного отброса/отскока (где сила пропорциональна sin^2 a). Именно здесь, в этом логическом сдвиге, а не в трудах Ньютона, и был рождён пресловутый «квадрат синуса».

5. Третья подмена: терминологический подлог (Как нормальную силу выдали за силу сопротивления)

После второй подмены в руках интерпретаторов оказалась формула R'' = (1/2) p V^2 S sin^2 a, которая претендовала на описание нормальной силы, перпендикулярной пластине.

Однако в практической аэродинамике часто нужна не нормальная сила, а её проекция на направление потока — лобовое сопротивление (обозначим Fx. Из геометрии очевидно: если нормальная сила R направлена под углом (а) к вертикали  , то F = R * sin(a).

Здесь и совершается решающий терминологический подлог. Вместо того чтобы честно записать: «лобовое сопротивление по модели, полученной из идей Ньютона, равно Fx = R'' * sin a = (1/2) p V^2 S sin^3(a)» (что выглядело бы уже откровенно абсурдно) — кто-то просто отождествил нормальную силу R'' с силой лобового сопротивления Fx.


Итог тройной подмены:

    Было у Ньютона: Нормаль R = p V^2 S sin(a). (формула давала ошибку почти в 3 раза)

    После 1-й подмены: R' = (1/2) p V^2 S sin(a). (данная формула дает ошибку уже почти в 6 раз)

    После 2-й подмены: Нормаль R'' = (1/2) p V^2 S sin^2(a).(а данная формула дает ошибку уже более чем в 50 раз)

    После 3-й подмены: R_ложь = (1/2) p V^2 S sin^2(a) объявляется «силой сопротивления по Ньютону».

Эта «формула» и была выдана за ошибку Ньютона, хотя на самом деле является тройной ошибкой его интерпретаторов: эмпирического искажения, логического излома и терминологического подлога.

6. Историческое свидетельство

Нашу реконструкцию подтверждает один из столпов современной аэродинамики, Теодор фон Карман. В своей книге, посвящённой истории ключевых идей, он прямо заявляет:

«Следует заметить, что знаменитая формула Ньютона для сопротивления наклонной пластины в виде R = const * sin^2(a) в действительности не появляется в трудах Ньютона. Просто более поздние авторы вывели её из ньютоновских формул сопротивления, применив их к пластине» [1].

Это замечание авторитетнейшего учёного — неоспоримое доказательство. Карман не говорит, что Ньютон «ошибся». Он говорит, что самой формулы в её хрестоматийном виде у Ньютона нет. Она — продукт интерпретации и упрощения, совершённого последователями.

[1] Теодор фон Карман. Аэродинамика. Избранные темы в их историческом развитии. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — С. 19.


7. Небольшие размышления вслух: упущенная возможность, или Как можно было развить Ньютона вместо того, чтобы его искажать?

Если отвлечься от спора о формулах, открывается досадная историческая альтернатива. Его концепция содержала в себе здоровое зерно, которое можно было развить, а не вытравлять.

Исходная догадка Ньютона была глубже, чем кажется. Он утверждал: сила сопротивления (полная) возникает от передачи импульса частицами среды телу. Механизм передачи он видел в прямом ударе и поджатии пластины потоком с фронта. В этом была его неполнота, но не ошибка.

Последующая наука показала, что при обтекании возникает не только область повышенного давления перед телом (поджатие, о котором думал Ньютон), но и — из-за сложного вихреобразования и эффекта эжекции — область пониженного давления за телом (разрежение).

Как можно было логично развить модель Ньютона? Строго следуя его же методу — принципу суперпозиции и учёту всех сил. Если поток, ударяясь, создаёт силу +F, а утекая и создавая разрежение, — силу -F (относительно направления потока), то полная сила есть их сумма. Поскольку обе силы сонаправлены (давление спереди толкает назад, разрежение сзади «тянет» назад), они складываются:
R_полн = |+F| + |-F| = 2F.

Подставив в F выведенное Ньютоном выражение для силы от удара (F_уд = p V^2 S sin a), мы получили бы развитую ньютоновскую формулу:
R_разв = 2 * p V^2 S sin(a). И теперь ошибка по Ньютону была бы всего в 1,3 раза.

Каков был бы результат этого развития?
Качественно: Сохранена верная линейная зависимость от угла атаки на малых углах (~ sin a).
Количественно: Для крыла Ан-2 на угле 6° такая формула дала бы силу ~37 300 Н. По сравнению с реальными ~52 000 Н погрешность составила бы всего ~30%. Это уровень хорошей инженерной оценки, а не «гениальной ошибки».

Как поступили на деле? Вместо того чтобы дополнить физическую картину Ньютона, интерпретаторы исказили его логическую модель. Вместо умножения на 2 (учёт двух сторон явления) они возвели синус в квадрат (логическая аберрация). В результате трёхкратная погрешность оригинала превратилась в пятидесятикратную карикатуру.

История с «квадратом синуса» — это история об интеллектуальной лени и терминологической небрежности последователей. Имея все данные, чтобы восполнить пробел в модели Ньютона и возвести её в ранг уважаемой качественной теории, они выбрали путь её упрощения до абсурда с последующим сокрушительным «опровержением».

8. Пример расчёта для ясности: как «исправления» исказили мысль Ньютона

Чтобы прояснить масштаб искажений, выполним практический расчёт для самолёта Ан-2 в установившемся полёте (V = 45 м/с, угол атаки a = 6°, площадь крыла S = 72 м^2, требуемая подъёмная сила для массы 5250 кг — ~5250 кгс).

Современный расчёт (эталон):
F_y = C_y * (1/2 * p * V^2 * S) / g, где C_y ; 0.58, g = 9.81 м/с^2.
Результат: F_y ; 5300 кгс (уравновешивает вес).

Сравним с разными интерпретациями «ньютоновской» силы:
Интерпретация Формула Величина для Ан-2 (кгс) Отклонение от реальности
Исходный вывод Ньютона (нормаль) (p * V^2 * S * sin a)/g ~1900 кгс в ~2.8 раза меньше
После 1-й подмены («деление на 2») (1/2 * p * V^2 * S * sin a)/g ~950 кгс в ~5.5 раза меньше
После 2-й и 3-й подмен («ньютоновская ошибка») (1/2 * p * V^2 * S * sin^2 a)/g ~100 кгс в ~53 раза меньше

Эти цифры говорят сами за себя. Последовательные «улучшения» исходной идеи Ньютона привели к тому, что предсказание, ошибавшееся в 3 раза, превратилось в карикатуру, ошибающуюся в 50 раз. Критикуя эту карикатуру, учебники опровергают не расчёт Ньютона, а его искореженную интерпретацию.

9. Заключение: Простота против мифа

Исаак Ньютон не выводил формулу R = (1/2) p V^2 S sin^2 a. Он получил корректный для своей механической модели результат: полная нормальная сила R = p V^2 S sin a. Знаменитый «квадрат синуса» — не его ошибка, а плод тройного искажения, совершённого последователями.

Сначала они эмпирически исказили числовой коэффициент, добавив 1/2. Затем совершили логический излом, подменив полное изменение скорости частицы на изменение её нормальной компоненты, что привело к появлению sin^2 a. Наконец, совершили терминологический подлог, выдав получившуюся нормальную силу за силу лобового сопротивления.

За этой путаницей стоит нечто большее, чем небрежность. Это — симптом потери прямого понимания второго закона Ньютона. Гений применил его в чистом виде: сила равна изменению полного импульса. Его «исправители» заменили эту ясность на геометрическую казуистику со сменой физических картин в середине вывода.

История с «квадратом синуса» — не курьёз, а предостережение. Она показывает, как простое и ясное утверждение может быть похоронено под слоями неверных интерпретаций, превратившись в учебный миф, который потом «опровергают» следующие поколения. Ньютон оказался ближе к истине, чем те, кто его «поправлял»: он верно уловил линейную зависимость силы от угла, которая лежит в основе реальной аэродинамики.

Возможно, пришло время вернуться к первоисточнику — и к первоначальной, кристальной логике F = дельта (m V) / дельта t, которую Исаак Ньютон понимал лучше многих своих комментаторов и современных лекторов в ВУЗах.