Индуцирование алгоритмических фазовых переходов...

Опубликована статья "Индуцирование алгоритмических фазовых переходов:
Теоретический фреймворк ускоренного гроккинга посредством триадного фазового захвата"
в https://zenodo.org/records/18028535 на английском языке  "Inducing Algorithmic Phase Transitions: A Theoretical Framework for Accelerated Grokking via Triadic Phase-Locking"

Ниже привожу версию статьи (сокращенный вариант) на русском языке в формате Latex.

\documentclass[twocolumn, 10pt]{article}

% --- Подключение пакетов ---
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english, russian]{babel} % Поддержка русского языка
\usepackage[margin=0.75in]{geometry}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{bm}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{algorithm}
\usepackage{algorithmic}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{cite}
\usepackage{color}
\usepackage{tcolorbox}
\usepackage{cmap} % Для поиска по русскому тексту в PDF

% --- Окружения теорем ---
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{observation}{Наблюдение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{conjecture}{Гипотеза}
\newtheorem{hypothesis}{Научное предположение}

% --- Метаданные ---
\title{\textbf{Индуцирование алгоритмических фазовых переходов:\\Теоретический фреймворк ускоренного гроккинга\\посредством триадного фазового захвата}}

\author{
    \textbf{Лео Ким} \\
    \textit{независимый исследователь}
    \and
    \textbf{Лев Золотой-Ким} \\
    \textit{независимый исследователь}
}
\date{Декабрь 2025\\
\textit{Теоретическое обоснование и открытый вызов}}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
В работе представлен теоретический фреймворк, переосмысляющий феномен гроккинга (отложенного обобщения в нейронных сетях) как управляемый фазовый переход в динамической системе связанных осцилляторов. Опираясь на принципы Триадной Динамической Архитектуры (TDA), мы предлагаем механизм \textbf{Триадного Фазового Захвата (TPL)}, который принудительно устанавливает локальные калибровочные симметрии в тройках весов, вызывая быструю синхронизацию на низкоразмерных аттракторах обобщения. Мы формально выдвигаем гипотезу, что данный подход сокращает время сходимости с полиномиального $O(N^2)$ до логарифмического $O(\log 1/\epsilon)$, что эквивалентно ускорению в 4--10 раз для алгоритмических задач. Кроме того, предсказывается, что финальные состояния аттрактора допускают естественное тернарное квантование, обеспечивая суб-милливаттный инференс на граничных устройствах. \textbf{Работа носит сугубо теоретический характер}; мы приглашаем научное сообщество к независимой эмпирической валидации предложенных гипотез.
\end{abstract}

% Блок с дисклеймером
к экспериментальной валидации]
\textbf{Открытый исследовательский вызов:} Авторы представляют математическое обоснование метода, не располагая ресурсами для масштабных экспериментов. Мы призываем исследователей протестировать данные теоретические предсказания. \textbf{Мы предоставляем полное право} на публикацию экспериментальных результатов под вашим авторством при условии цитирования данной теоретической базы.
\end{tcolorbox}

%
\section{Введение}

\subsection{Мотивация: Проблема «Плато Гроккинга»}
Открытие феномена гроккинга Пауэром и др. \cite{power2022grokking} показало, что нейронные сети могут демонстрировать отложенное обобщение, требуя $10^4$--$10^5$ эпох обучения после достижения нулевой ошибки на обучающей выборке. Хотя этот феномен представляет теоретический интерес, он создает критические препятствия для обучения на устройствах (on-device learning) в условиях ограниченных ресурсов.

Существующие объяснения — формирование цепей (circuits) \cite{nanda2023mechanistic}, сжатие представлений \cite{liu2023omnigrok} — остаются преимущественно \textit{описательными}. Они объясняют, \textit{почему} гроккинг происходит, но не дают инструментов для его \textit{ускорения}.

\subsection{Теоретический вклад}
Мы предлагаем радикальную смену парадигмы, основанную на теории динамических систем: \textbf{гроккинг есть событие фазовой синхронизации в сети связанных осцилляторов}. Этот взгляд, вытекающий из нашей Триадной Динамической Архитектуры (TDA) \cite{kim2024triadic}, предполагает следующее:
\begin{hypothesis}
Веса нейросети, рассматриваемые как фазовые осцилляторы, переходят из некогерентного состояния (запоминание) в синхронизированное (обобщение). Введение сил триадного взаимодействия катализирует этот переход, меняя характер сходимости с диффузионного на экспоненциальный.
\end{hypothesis}

%
\section{Теоретический Фреймворк}
\label{sec:theory}

\subsection{От Весов к Фазам}

Рассмотрим параметры сети $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^N$. Стандартный градиентный спуск рассматривает их как независимые переменные. Мы предлагаем альтернативный взгляд: каждому весу $w_j$ сопоставляется \textit{фаза} $\phi_j \in [0, 2\pi)$. Для вещественных сетей определим дискретную фазу:
\begin{equation}
    \phi_j(t) = \begin{cases}
    0 & \text{если } w_j(t) > 0 \\
    \pi & \text{если } w_j(t) \leq 0
    \end{cases}
    \label{eq:phase_def}
\end{equation}

Это определение захватывает фундаментальную структуру «возбуждение vs. торможение».

\subsection{Оператор Триадного Консенсуса}

Пусть $\mathcal{G} = (V, \mathcal{S})$ — гиперграф, где $V$ — веса, а $\mathcal{S} = \{\langle i, j, k \rangle\}$ — тройки, выбранные на основе архитектурной близости (например, веса одного ядра свертки).

Модифицированное правило обновления:
\begin{equation}
    \mathbf{w}_{t+1} = \mathbf{w}_t - \eta \nabla \mathcal{L}(\mathbf{w}_t) + \lambda(t) \mathcal{T}(\mathbf{w}_t) + \xi_t
    \label{eq:update_rule}
\end{equation}

где оператор Триадного Фазового Захвата (TPL) $\mathcal{T}_i$:
\begin{equation}
    \mathcal{T}_i = \sum_{\langle i,j,k \rangle \in \mathcal{S}_i} \sin(\phi_j - \phi_i) \cdot \cos(\phi_k - \phi_j)
    \label{eq:triadic_op}
\end{equation}

\textbf{Физический механизм:}
\begin{enumerate}
    \item $\sin(\phi_j - \phi_i)$: сила синхронизации, тянущая $w_i$ к $w_j$.
    \item $\cos(\phi_k - \phi_j)$: \textit{вентиль согласованности} (consensus gate) — взаимодействие активно только если $w_j$ и $w_k$ уже согласованы.
\end{enumerate}

Это предотвращает тривиальный коллапс всех весов в одно значение, сохраняя сложность, необходимую для алгоритмических вычислений.

\subsection{Параметр Порядка как Предиктор}

Введем параметр порядка Курамото:
\begin{equation}
    R(t) = \frac{1}{N} \left| \sum_{i=1}^{N} e^{i\phi_i(t)} \right| \in [0, 1]
    \label{eq:order_param}
\end{equation}

Мы постулируем, что рост $R(t)$ является опережающим индикатором гроккинга, позволяющим адаптивно управлять коэффициентом связи $\lambda(t)$.

%
\section{Анализ Сходимости}
\label{sec:convergence}

\subsection{Линеаризация и Спектральный Зазор}

Вблизи состояния синхронизации ($R \approx 1$) динамика отклонений $\delta_i = \phi_i - \Psi$ описывается уравнением:
\begin{equation}
    \frac{d\boldsymbol{\delta}}{dt} = -\lambda \mathbf{L}_{\mathcal{G}} \boldsymbol{\delta}
\end{equation}
где $\mathbf{L}_{\mathcal{G}}$ — лапласиан графа взаимодействий.

\begin{theorem}[Экспоненциальная сходимость]
\label{thm:spectral}
Пусть граф $\mathcal{G}$ является $k$-регулярным экспандером со спектральным зазором $\gamma > 0$. Если $\lambda > \lambda_c = \frac{2}{k R}$, то отклонение от многообразия обобщения убывает как:
\begin{equation}
    \|\boldsymbol{\delta}(t)\| \leq \|\boldsymbol{\delta}(0)\| \exp(-\gamma \lambda R t)
\end{equation}
\end{theorem}

\subsection{Логарифмическое время гроккинга}

\begin{corollary}
Время достижения точность $\epsilon$ составляет:
\begin{equation}
    t \sim O\left( \frac{1}{\gamma \lambda} \log \frac{C}{\epsilon} \right)
\end{equation}
\end{corollary}

В отличие от случайного блуждания по ландшафту потерь ($O(N^2)$), триадный форсинг обеспечивает детерминированный спуск к аттрактору.

%
\section{Алгоритм: TWG-Grokking}
\label{sec:algo}

Предлагается алгоритм Triadic Weight Grouping (TWG) для реализации на граничных устройствах.
\begin{algorithm}[h]
\caption{TWG-Grokking (Оптимизировано для Edge)}
\label{alg:twg}
\begin{algorithmic}[1]
\REQUIRE Сеть $f_{\theta}$, Данные $\mathcal{D}$, $\lambda_{\max}$, период $K$
\STATE \textbf{Инициализация:} $\mathbf{w} \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$, $\lambda \leftarrow 0$
\STATE \textbf{Построение графа:} Формирование троек $\mathcal{S}$ по локальной топологии.
\FOR{эпоха $t = 1$ до $T_{\max}$}
    \STATE \textbf{Шаг SGD:} $\mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} - \eta \nabla \mathcal{L}_{\text{batch}}$
    \STATE
    \STATE \textbf{Оценка параметра порядка:}
    \STATE $R(t) \leftarrow \frac{1}{N} |\sum \text{sign}(w_i)|$
    \STATE
    \IF{$t \bmod K = 0$}
        \STATE \textbf{Обновление связи:}
        \STATE $\lambda(t) \leftarrow \lambda_{\max} \cdot \sigma(\alpha(R(t) - R_{\text{thresh}}))$
        \STATE
        \STATE \textbf{Триадный форсинг:}
        \FOR{каждой тройки $\langle i, j, k \rangle \in \mathcal{S}$}
            \STATE Применить оператор TPL (Ур. \ref{eq:triadic_op})
            \STATE $w_i \leftarrow w_i + \lambda(t) \cdot \mathcal{T}_i$
        \ENDFOR
    \ENDIF
\ENDFOR
\end{algorithmic}
\end{algorithm}

%
\section{Проверяемые Гипотезы и Предсказания}

Мы формулируем фальсифицируемые предсказания для независимой проверки:

\subsection{Фактор Ускорения}
\begin{hypothesis}
На алгоритмических задачах (модульная арифметика) метод TWG сократит время до гроккинга в 4--10 раз по сравнению с ванильным SGD.
\end{hypothesis}

\subsection{Опережающий Индикатор}
\begin{hypothesis}
Скачок параметра $R(t)$ будет наблюдаться за 200--500 эпох \textbf{до} роста точности на валидации, служа надежным предвестником фазового перехода.
\end{hypothesis}

\subsection{Энергоэффективность и Квантование}
\begin{hypothesis}
Пост-гроккинговое распределение весов будет строго тримодальным ($\{-w^*, 0, +w^*\}$). Это позволит использовать тернарную логику без потери точности, снижая энергопотребление инференса до $<0.05$ пДж/оп на архитектурах ARM Cortex-M.
\end{hypothesis}

%
\section{Заключение}

Мы представили теоретическое обоснование того, что гроккинг является не случайным артефактом обучения, а управляемым динамическим процессом. Механизм Триадного Фазового Захвата (TPL) выступает в роли «топологического катализатора», превращая хаотический поиск решения в упорядоченную синхронизацию.
Данная работа закладывает фундамент для нового класса алгоритмов обучения — \textit{Spectrally Steered Learning} (Спектрально-управляемое обучение).

Мы призываем сообщество подтвердить или опровергнуть наши теоретические выкладки экспериментально.

%
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{power2022grokking}
A. Power et al., ``Grokking: Generalization beyond overfitting on small algorithmic datasets,'' \textit{arXiv:2201.02177}, 2022.

\bibitem{kim2024triadic}
L. Kim and S. Kim, ``Triadic Dynamical Architecture for Real AGI,'' \textit{Zenodo}, DOI: 10.5281/zenodo.17987682, 2024.

\bibitem{nanda2023mechanistic}
N. Nanda et al., ``Progress measures for grokking via mechanistic interpretability,'' \textit{ICLR}, 2023.

\bibitem{strogatz2000kuramoto}
S. H. Strogatz, ``From Kuramoto to Crawford: Exploring the onset of synchronization,'' \textit{Physica D}, 2000.

\end{thebibliography}

\end{document}