О способе построения Маг. Квадратов Б. Франклина

Реконструкция способа построения Магических Квадратов Франклина

Из автобиографии Бенджамина Франклина (1706 – 1790) и его биографии, написанной Уолтером Айзексоном, мы узнаем, что он был заядлым читателем, имел типографию, издавал газету и сам писал книжки и статьи в газеты, часто под вымышленными именами. Он был очень любознательным, наблюдательным и прагматичным человеком, любящим все делать своим руками и придумывать своей головой. Прочитав ряд книг о магических квадратах, он решил составить свои, но с дополнительными замечательными свойствами. О магических квадратах Б. Франклину стало известно, когда один из его старых друзей, Логан, показал ему несколько книг о магических квадратах, заметив при этом, что не верит в то, что кто-либо из англичан мог бы сделать что-либо замечательное в этой области. «Логан показал мне в одной из этих книг несколько необычных и довольно любопытных случаев, но ни один из них не мог сравниться с теми, которые, как я помню, были сделаны мною. Он попросил меня показать их. И в следующее свое посещение я принес ему квадрат 8 ; 8, который я нашел среди своих старых бумаг и который я предлагаю вам с описанием его свойств».
Возможно, что по ошибке, но Франклин принес не магические квадраты 8-го порядка, а полумагические, известные из старых источников [Сезиано Ж.Магические квадраты на средневековом Востоке / Пер. с фр. О. Рей-Белле. — СПб. : Нестор-История, 2014](рис. 429 – 430).
«Потом Логан показал мне старую книгу по арифметике и написанную, я думаю, неким Штифелем (Михаил Штифель, «Arithmetica integra», Нюренберг, 1544). В этой книге был помещен квадрат 16 ; 16, в который, по его мнению, был вложен колоссальный труд. Но если я не ошибаюсь, он имел лишь обычное свойство, т. е. обладал постоянной суммой, равной 2056 в каждом ряду: горизонтальном, вертикальном и диагональном.
Не желая уступить Штифелю даже в размерах квадрата, я, вернувшись домой, в тот же вечер составил квадрат 16 ; 16, который помимо всех свойств моего квадрата 8 ; 8, т. е. наличия постоянной суммы 2056 во всех аналогичных рядах и диагоналях, имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4 ; 4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 квадратиков большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма 16 чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее ни положили, на большом квадрате будет одна и та же, и равна тому же самому числу 2056».
 Наталья Макарова опубликовала ряд работ о таких квадратах, их удивительных свойствах, назвав их дьявольски полумагическими квадратами за их дополнительные свойства и построила много таких и пандиагональных квадратов разных порядков с помощью своего способа качелей.
Позже Франклин принес уже пандиагональный МК-16 и вы можете сами проверить его замечательные свойства.
Б. Франклин по праву гордился своим творением, что видно из продолжения его письма: «На следующее утро я послал этот квадрат нашему другу, который через несколько дней вернул его в ответном письме со следующими словами: „Я возвращаю тебе твой удивительный, а может быть, самый изумительный магический квадрат, в котором…", но этот комплимент слишком экстравагантен, и поэтому ради него, а также ради самого себя, мне не следует его повторять. К тому же это и необязательно, так как я не сомневаюсь, что вы охотно согласитесь, что этот квадрат 16 ; 16 является самым магически-магическим из всех магических квадратов, составленных когда-либо каким-либо магом». Заметим, что Франклин видимо принципиально не раскрыл ни одного из своих алгоритмов по построению МК.
Cамое удивительное, что Франклин составлял эти квадраты без арифмометра и калькулятора (их еще не было). Не забудем, что он был великолепным мистификатором и любил фокусы. Например, он успокаивал волнения в озере с помощью своей тросточки (заполненной маслом). Поэтому, пользуясь свойствами  пандиагональности своих квадратов, он показывал квадраты циклически измененными, чтобы не было понятно как они получены.
Мы попробуем реконструировать способ, которым Франклин строил свои квадраты. Первыми замечательными квадратами, с которыми он встретился в книжках, были пандиагональные МК-4 (их еще называли дьявольскими, а сейчас называют совершенными). У них, кроме главных диагоналей, магическими являются и разломанные диагонали. См. пример на рис. 1.

За счет своей пандиагональности из него получаются еще 15 МК с помощью циклических перестановок его строк и (или) столбцов. Т.е. если состыковать четыре таких квадрата в большой квадрат 8х8, то в нем будут находится 16 различных пандиагональных МК-4. Еще Франклин заметил, что в квадрате рис. 1. суммы чисел в любом из девяти квадратиков 2х2 тоже равны М=34.
Видимо зная или установив, что пандиагональных МК-6 не существует, Франклин решил строить магические квадраты 8-го порядка с таким же свойством, что сумма чисел любого его квадратика 2Х2 равна половине магической константы МК-8, т.е. R=М/2=130. Мало этого, он добивался того, чтобы и суммы первых полстроки и полустолбца тоже были равны R, а тогда это будет иметь место для всех полу строк и полустолбцов.  Кроме того, чтобы упростить задачу, он стал строить две-оси-симметричный МК-8, т.к. в этом случае по столбцам уже выполняются условия магичности.
           Мы предполагаем, что Франклин строил свои Квадраты с помощью ЕЧК-8, как это показано на рис. 2.1-4.

Мы предлагаем свой алгоритм построения КвадроМК-8 на примере осе-симметричного ЧК-8 с номерами взаимно-дополнительных пар чисел рис. 3.


1) Выполняем условие магичности 1-ой строки.
2) Выполняем условие магичности 1-го столбца.
3) Выполняем условие квадричности верхнего левого квадрата 2х2, подбирая сумму его
чисел равной R=130.
4) Затем строим продолжение 2-й строки, пристраивая квадратик с номерами 2, 10, 3, 11 с такой же суммой чисел и т.д. Причем суммы чисел с номерами 3+11, 5+13, 7+15 должны равняться сумме чисел с номерами 1+9, а суммы чисел с номерами 4+12, 6+14, 8+16 должны равняться сумме чисел с номерами 2+10.
5) Аналогично строим 3-ю и 4-ю строки.
6) 5-ю, 6-ю, 7-ю и 8-ю строки заполняем взаимно-дополнительными числами соответствующих пар.
7) Накладываем условие магичности на главную диагональ.               
Последний пункт Франклину осуществить не удалось (возможно за недостаточностью времени и сложности подбора) и поэтому квадрат у него получился полумагическим.
Выполняя все пункты мы и построили пандиагональный магический квадрат рис. 8, на котором пары взаимно-дополнительных (до m=65) чисел (1 + 64, 2 + 63, …32+33) расположены симметрично относительно горизонтальной оси симметрии квадрата.

Аналогичным образом мы построили пандиагональный магический квадрат МК-16, но с другим видом симметрии (чтобы показать силу алгоритма), чем Франклин.
Можно строить эти пандиагональные МК с помощью компьютера и нашего алгоритма, который легко распространяется на МК любого четно-четного порядка (4-го, 8-го, 12-го и т.д.). И чем больше порядок, тем больше таких квадратов будет (миллионы).               
 Замечание. В силу числовой симметрии и условий квадричности, общее решение таких Квадратов содержит минимальное количество независимых параметров.