Математические гении и их вклад в криптографию

“У общественности сложилось искаженное представление о науке, потому что в школах детям внушают, что наука — это совокупность твердо установленных истин. На самом деле наука — это не совокупность истин. Это непрерывное исследование тайн”.

- Фримен Джон Дайсон

«Математическая интуиция чаще консервативна, чем революционна, чаще навязывает свою точку зрения, чем освобождает».

- Фримен Дайсон

Физик Фримен Дайсон прославился в науке благодаря математическим решениям, настолько передовым, что их можно было применять только к сложным проблемам атомной теории, и пользовался популярностью у публики благодаря идеям, настолько невероятным, что казались немыслимыми.


Только пять математиков в истории достигли высшего признания, получив как «Нобелевскую премию по математике» (премия Абеля), так и самую престижную награду для молодых математиков (медаль Филдса). И все их работы в значительной степени усилили криптографию. Случайно ли это?

Познакомьтесь с легендами:

; Жан-Пьер Серр
• Медаль Филдса (1954)
• Премия Абеля (2003)

; Джон Милнор
• Медаль Филдса (1962)
• Премия Абеля (2011)

; Майкл Атия
• Медаль Филдса (1966)
• Премия Абеля (2004)

; Джон Г. Томпсон
• Медаль Филдса (1970)
• Премия Абеля (2008)

; Пьер Делинь
• Медаль Филдса (1978)
• Премия Абеля (2013)

Жан-Пьер Серр его глубокие работы в теории чисел, особенно по эллиптическим кривым, представлениям Галуа и модулярным формам, предоставили фундаментальные теоретические инструменты, на которые в значительной степени опирается современная криптография с открытым ключом (например, ECC и RSA). Особенно,  в понимании конечных полей и теоретико-числовых проблем, необходимых для безопасных алгоритмов.

Он считал взаимодействие теории чисел с криптографией захватывающим, связывающим абстрактные понятия с практическими приложениями.

Ключевые достижения Серра в области криптографии:
Эллиптические кривые: Его исследования эллиптических кривых и точек их деления (модулей Тейта) напрямую связаны с криптографией на эллиптических кривых (ECC), являющейся важным компонентом современных безопасных коммуникаций.

Теория чисел и конечные поля: Его работы по рациональным точкам на кривых над конечными полями установили глубокие связи между геометрией, теорией чисел и конечными полями, которые имеют решающее значение для построения криптографических систем.

Основные научные работы Джона Милнора относятся к топологии, геометрии и алгебре. Однако, его труды оказали влияние на смежные области, такие как алгебраическая K-теория, которая затрагивает проблемы решеток, актуальные для современной криптографии (особенно криптографии на основе решеток). А его фундаментальные работы по комплексной динамике также легли в основу  доказательств информационной безопасности.

Его работы по алгебраическим структурам обеспечивают теоретическую основу для понимания сложных проблем в решетках, которые являются центральными для криптографии на основе решеток (например, обучение с ошибками, задача о кратчайшем векторе).

Его глубокие результаты в геометрии и топологии вносят вклад в более широкую математическую область, на которой опирается современная криптография.

По сути, следует рассматривать Милнора как фундаментального математика, чьи передовые теории (например, теорема Милнора-Мура) создают абстрактные структуры, которые впоследствии находят неожиданные применения в безопасных вычислениях.

Сэр Майкл Атия заявил о простом доказательстве сложной гипотезы Римана — математической проблемы, имеющей значение для теории чисел и потенциально для криптографии.

Решение гипотезы Римана дает  глубокое понимание распределения простых чисел, повлияв на безопасность криптографических систем, основанных на разложении на простые множители.

Джон Григгс Томпсон (Дж. Г. Томпсон) — известный математик, прославившийся теорией конечных групп, но его имя также связано с криптографией благодаря группам Томпсона (F и T), которые используются в качестве платформ в некоммутативной криптографии с открытым ключом.  Благодаря  своим алгебраическим свойствам, предлагая альтернативы традиционным криптосистемам, основанным на числах, за счет использования сложных словесных задач и задач декомпозиции для обеспечения безопасности.

Джон Григгс Томпсон

Известен своими основополагающими работами в теории конечных групп, доказательством основных теорем и вкладом в «Главную теорему», классифицирующую все конечные простые группы.

Группы Томпсона (F и T) в криптографии
Некоммутативные платформы: Исследователи используют группы Томпсона (например, F или T) в качестве алгебраических структур для новой криптографии с открытым ключом, отличающейся от стандартных систем, использующих теорию чисел (например, RSA).
Основа безопасности: Они основаны на таких задачах, как задача поиска сопряженности или задача разложения, которые являются вычислительно сложными, подобно дискретным логарифмам, но в некоммутативной среде.

Эти группы предлагают эффективные решения своих словесных задач, что делает их подходящими для построения эффективных криптосистем.

Ключевой вывод: Дж. Г. Томпсона исследования, названные в его честь группы обеспечивают теоретическую основу для исследования продвинутой некоммутативной криптографии.

Работы Пьера Делинь в значительной степени лежат в основе современной криптографии, в частности, криптографии на эллиптических кривых (ECC) и теории кодирования, благодаря его доказательствам гипотез Вейля, работам по L-функциям и пониманию подсчета точек на многообразиях. Представляя  теоретические основы для эффективных алгоритмов и доказательств безопасности в таких областях, как гиперэллиптические кривые и циклические коды.

Ключевые связи с криптографией.
Гипотезы Вейля и L-функции: Доказательство Делинье гипотезы Римана для многообразий над конечными полями (последняя гипотеза Вейля) дало глубокое понимание подсчета точек на алгебраических кривых, что имеет решающее значение для безопасности и анализа криптосистем на эллиптических кривых.

Криптография на гиперэллиптических кривых: Его работы связаны с эффективными методами скалярного умножения (Фробениус-и-сложение) и анализом систем счисления с алгебраическими целочисленными основаниями, что актуально для криптографии на эллиптических и гиперэллиптических кривых.


Теорема Делиня об экспоненциальных суммах дает границы для минимального расстояния циклических кодов, улучшая коды коррекции ошибок, используемые в защите данных.

Его фундаментальные работы помогают понять алгебраические структуры, лежащие в основе DLP в группах, что актуально для криптографии на основе кривых и постквантовых схем, таких как суперсингулярная изогения Диффи-Хеллмана (SIDH).

Делиня математические исследования заложили теоретическую основу, доказав фундаментальные свойства математических объектов (таких как кривые и поля), на которые эти алгоритмы опираются для своей безопасности и эффективности, связывая чистую математику с прикладной криптографией.

P. S. К сожалению, среди награжденных математиков нет ни одного российского ученого. Внедряя свои криптографические системы в различные страны мира мне пришлось столкнутся с большим недоверием к представленным мною шифраторам. Заказчики просили представить весомые доказательства того, что российская криптография ведущая в мире. Поэтому мне пришлось сертифицировать разработанный мною крипто алгоритм в Королевском Технологическом Колледже Швеции, который  дает технические заключения о научных исследованиях достойных звания Лауреата Нобелевской Премии. Однако, в области математики и криптографии по указанию Нобеля премий не присуждалось. Несмотря,  на это профессиональный уровень в области математики ученых Коледжа не меньше, чем у математиков , которые выносят решение о премии Абеля. Успешная сертификация моего крипто алгоритма в Королевском Технологическом Колледже Швеции помогло моим шифраторам открыть большой путь для внедрения в различные страны мира на самый высокий уровень.