РУП Лицея 31, курс Математическая обработка данных

(2000 г.)

МОУ Лицей №31 г.Челябинска

Двухгодовой спецкурс
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ ФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Горшков Алексей Владимирович
Инженер-физик, вып. МФТИ 1991 г.
сп. "прикладная математика и физика"
и асп. МФТИ 1995 г., сп. "физика и химия плазмы".
Старш. преп. каф. инф. ЮУрГУ с 1998 г.
Формальные подробности о нём см.  в  Internet :
http://inf.susu.ac.ru/~gorshkov/

ЦЕЛЬ КУРСА

Ознакомить старшеклассников ФМЛ № 31 с более или менее современными способами математической обработки данных физического (а также химического, биологического, психологического, социологического) эксперимента. Как получить данные об объекте, который "непосредственно" не доступен ? Как увидеть и измерить сигнал на фоне шума, превышающем его самого ? Как распознать интересующий нас объект среди прочих ? Как получить информацию об объекте исследования с точностью, превышающей точность физического прибора ? Во сколько раз более подробное изображение можно получить, если, не уменьшая длину волны, добавить к телескопу, микроскопу,  радиолокатору или акустическому локатору ещё и вычислительное устройство ?

Как предсказать будущее поведение какой-либо функции ? И, в конце концов, как оценить точность результатов всех вышеупомянутых вычислений по исходным экспериментальным данным ? Не каменный век – пора бы и узнать.

АННОТАЦИЯ

Будет проведён обзор считающихся в настоящее время наиболее распространёнными в практике физического эксперимента математических методов. Статистика, корреляционный анализ, фильтрация, распознавание, решение так называемых "обратных задач", в частности, томография (т.е. получение многомерных функций из набора их проекций меньшей размерности, например, не вскрывая живого человека, видеть, что делается у него внутри), сверхразрешение (это как разглядывать из космоса номера автомобилей, как измерять спектры намного точнее пределя Рэлея, как любоваться подробностями планет в "маленький" телескоп, как в оптический микроскоп разглядывать молекулы и т.д., и т.п., вплоть до того, чтобы усомниться в "фундаментальности" неравенства Гайзенберга).

Автор курса учитывает, что слушателями будут являться в основном школьники 9..11 классов, но математика здесь НЕИЗБЕЖНА. Жду "особо грамотных" школьников, в том смысле, что умеющих уже сейчас дифференцировать, интегрировать, решать хоть какие-нибудь системы уравнений. Впрочем, для "просто грамотных" могу просто показать действующие программы. Умение программировать (Pascal, C, Fortran) весьма приветствуется.

В заключение Вам станет очевидно, что наука едина, а именно,  "математическое исследование экспериментальных данных" связывает воедино плоды труда "истинных экспериментаторов" и "чистых теоретиков".

ПРОГРАММА КУРСА

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. Скаляр, вектор, матрица; тензоры более высоких рангов. Производная, ряд, интеграл. Функции от многих переменных. Скалярное произведение. Свёртка. Векторное произведение. Матрицы со специальными свойствами. Неособенные матрицы. Определитель матрицы, минор, разложение определителя по минорам. Собственные значения. Ряд Тейлора и Маклорена. Комплексные числа. Функции комплексного переменного. Производные и интегралы функций комплексного переменного. Теоремы о вычетах. Методы интегральных преобразований (в том числе аналитической деконволюции свёртки). Ряд Фурье. Преобразование Лапласа. Прямое и обратное преобразования Фурье, Хартли, Уолша. Термин "быстрые" алгоритмы. Частные случаи: наличие симметрий, наличие разделения переменных в функциональном ядре, целочисленные задачи, двоичные задачи и др. Некорректно поставленные по Адамару задачи математической физики. Метод Галёркина–Ритца. Теорема Котельникова о дискретизации и восстановлении функции с ограниченным Фурье-спектром. Метод регуляризации Тихонова. Неособенные и сингулярные (особенные) задачи. Обзор и сравнение методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера. Методы исключения Гаусса. Метод последовательной ортогонализации Грама–Шмидта. Нахождение вектора собственных значений матрицы. Теорема Клюева–Коковкина-Щербака о количестве вычислительных операций неитерационных методов. Понятие о пространстве. Поле. Итерационные методы. Покоординатный спуск. Градиентный спуск. Наискорейший спуск. Метод Монте-Карло. Прямое обращение матрицы. Псевдообратная матрица. Невязка. Критерий наименьших квадратов. Энтропия (в математике). Критерий максимума энтропии. Ряд Неймана. Понятие о теореме Кэли–Гамильтона. Теорема Банаха о сжимающих отображениях. Метод Качмажа. Итерационное обращение матрицы. Итерационное нахождение вектора собственных значений матрицы. Метод Бочека. Метод максимума правдоподобия Тараско. Метод максимума энтропии Фридена. Итерационная ортогонализация. Метод Абрамова. Другие методы.

2. СТАТИСТИКА И ПРОГНОЗ. Основы теории вероятности. Понятие о распределении. Основные параметры функции распределения. Статистический анализ экспериментальных данных. Корреляционный анализ. Проверка гипотез (предположений). Экстраполяция ("продолжение", предсказание). Понятие об информации (в математике). Теорема Шеннона о прохождении сигнала через канал с шумом. Связь с криптологией. Формула Симмонса. Связь с квантовой механикой.  Планирование условий эксперимента.

3. ТОМОГРАФИЯ, СВЕРХРАЗРЕШЕНИЕ, ФИЛЬТРАЦИЯ, РАСПОЗНАВАНИЕ. Принцип реконструктивной томографии (РТ). Теорема Радона. Термины "размерность", "связность", "симметрия". "Фрактальная" размерность Безиковича–Хаусдорфа. Основные типы задач РТ. Метод Бокажа, метод Ван Циттерта, метод Пирса. Многомерная томография. Физические способы получения одномерных проекций. Эмиссионная и трансмиссионная РТ. Схемы "сканирования" (просмотра). Аналоговая и цифровая вычислительная РТ. Оптимальная фильтрация зашумленного сигнала. Теорема Хинчина-Винера. Распознавание сигналов и образов. Методы, алгоритмы и устройства для задач восстановления искаженных данных. Сверхразрешение cигналов и изображений. Пределы Рэлея, Косарева–Шеннона и Горелика–Котельникова. Дискуссия о пределе Гайзенберга.

4. СИНТЕЗИРОВАНИЕ  стационарной апертуры для генерации слаборасходящейся волны. Синтезирование "динамической" апертуры.

5. ПРОЧИЕ ЗАДАЧИ экспериментальной физики, требующие значительной математической обработки исходных данных.

6. ПОЧТИ ФИЛОСОФИЯ. Дискуссия о соотношении между экспериментом и теорией. Дискуссия о "прямых" и "косвенных" измерениях. Система эталонов (образцов) и измерение параметров объекта. О дискуссии "о системах измерений (единиц)".  Дискуссия между "классической" и двумя вариантами "волновой , квантовой" механики об измерении. Дискуссия об отношениях между наукой , философией и др. видами человеческой деятельности.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ И РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

...Слишком велик, чтобы пытаться его привести здесь. Будут названы некоторые доступные Вам книги, журналы, статьи по мере прохождения курса.

Запись на спецкурс – на кафедре физики ФМЛ № 31    (3-й этаж),
следите за объявлениями !

(2000 г.)