Добрый молодец на перепутье

Сказка для старших школьников и студентов знакомых с основами теорий вероятностей


Сказка — ложь, да в ней намёк,
Добрым молодцам урок.
Не верь лжецам,
По Байесу проверяй всё сам!



В некотором царстве, в тридесятом государстве, стоял на распутье добрый молодец Иван, не дурак, но и не отличник. А перед ним, как водится, камень бел-горюч. Написано на нём:

Налево пойдёшь – в болото угодишь.
Прямо пойдёшь – к Яге в лапы попадёшь.
Направо пойдёшь – клад найдёшь.
Пока путь не пройдешь назад не повернешь.

Только Иван к правой тропке направился, как с шумом и треском из леса вылетает ступа, а в  ней  Баба Яга лихо орудует помелом. Волшебное помело не просто ступу направляет, а вычисляет оптимальный маршрут, учитывая вероятности встречи с путниками и погрешности колдовства. На носу ступы небольшая волшебная консоль, на которой сама собой перелистывается книга электронная «Основы стохастики для тёмных лесных существ».

— Стой, дурачок! — гаркнула Яга. — Камень врун! Я тут дороги по-новому разметила. За одной — клад. За двумя другими — обман. Но какой где — знаю только я да мой сожитель, Леший-вероятностник!

Из-за сосны, кряхтя, выполз Леший, весь во мхах и в очках на носу.
— М-да, распределение равномерное, апостериорно обновляемое… — бормочет он.
— Выбирай дорогу! — командует Яга. — А мы, как существа честные (ха-ха!), один провальный вариант тебе гарантированно уберём!

Иван, недолго думая, тычет в среднюю дорогу:
— Иду прямо!
— О-о-отлично! — заливается Яга. — А теперь, по правилам гостеприимства, я открываю тебе, что дорога налево… ведёт прямиком в трясину! Точно-преточно!
Леший взмахнул ветвистой рукой — и левая тропа затянулась вонючим туманом, откуда доносилось зловещее чавканье и хлюпанье болота.

— Вот, — говорит Яга сладким голоском. — Одна плохая дорога исчезла. Остались твоя («прямо») и другая («направо»). Шансы, кажись, пятьдесят на пятьдесят. Но я добрая! Хочешь — можешь передумать и выбрать «прямо»? А то вдруг я тебя обманываю?..

Иван чешет затылок. Что-то не так. Яга слишком уж услужливо убрала именно «налево». А если клад на самом деле был «налево»? Тогда бы она не могла её открыть — нарушила бы правило «убирать только провал». Значит, клад — не «налево». Но откуда такая уверенность, что он «прямо»?..

И тут Иван вспоминает сказку, которую в детстве слышал от деда-волхва: «Если дух дороги знает правду и один ложный путь тебе показывает — не верь глазам, верь расчёту!»

Мысленно представил он табличку
    • Сначала шанс, что клад «прямо» (его выбор) — 1 из 3.
    • Шанс, что клад «налево» или «направо» — 2 из 3.
    • Яга, зная, где клад, ОБЯЗАНА была убрать дорогу к обману. Если клад «направо» — она могла убрать только «налево». Если клад «прямо» — могла убрать любую («налево» или «направо»).
    • Но она убрала именно «налево». Это действие в два раза более вероятно, если клад «направо»!

Леший, видя, что Иван задумался, начал нервно шишки перебирать.
— Э, путник, не мучь головушку! Интуиция она лучший советчик! Осталось два пути — кидай монетку!

— Меняю выбор, — твёрдо говорит Иван. — Иду направо.

Яга аж подпрыгнула в ступе.
— Ты чего, дурень?! Да я же тебе помогаю! Оставайся на своей дороге! Прямо — отличный вариант!

— Нет уж, — ухмыльнулся Иван. — Коли ты так настаиваешь, чтобы я не менял — значит, менять как раз и надо.

Пришлось Лешему вздохнуть и щёлкнуть пальцами. Правая тропа открылась, засияла светом, а вдали зазеленела поляна с сундуком.

— Уф, — прошипела Яга, разворачивая ступу. — Опять попался грамотный. А ты простофиля Леший не мог задачку потрудней предложить. У Соловья-разбойника и то лучше получается странников грабить.

Поскакал Иван к заветному кладу, а Леший, бормотал в след:
— И где он, спрашивается, байесовский вывод в наших-то лесах подглядел? Непорядок. Надо распределение усложнять… Может, четырьмя дорогами? С зависимыми событиями?..

Мораль: Когда на распутье тебе Баба Яга с Лешим помогают — не слушай их, слушай Байеса. А если Байеса под рукой нет — просто всегда меняй первоначальный выбор. Не слушай лесную нечисть, это вернее.


Сказка иллюстрирует парадокс Монти Холла (Monty Hall problem), который основан на изменении оценки вероятностей выбора при получении дополнительной информации.


Вторая часть.

Радостный Иван шёл по извилистой лесной тропке домой, побрякивая монетами в кошеле.  «Эх, — думал он, — знать бы раньше Байеса, столько бы заработал! Надо будет показать деревенским!»

- Иди, иди, умник… Золото звенит — уши щекочет,… -  шипела Баба-Яга глядя из чащи на весело идущего Ивана.  Она обогнала его,  пролетела на ступе сквозь чащу, прямиком к Соловью-разбойнику. 
 
 - Эй, Соловей! Гость к тебе идёт! С кошелём полным, да с головой глупой! Не обдели парня забавой!

- Встречу, -  потирая руки, радостно просипел Соловей, - не сомневайся, обдеру его как липку, а нет, так кошель отберу.

На опушке, у пня, Соловей-разбойник  ждал Ивана. Увидев его с тугим кошельком, он подмигнул в сторону чащи, откуда донёсся одобрительный сухой смешок.

— Ну что Иван сыграем, в новую игру,  игру иностранную… «Напёрстки с сюрпризом».

Соловей ловко расставил три потёртых, медных  напёрстка на пне. Шарик — не гороховый, а костяной, маленький и с лоском — мелькнул в его пальцах и накрылся средним напёрстком. Всё было честно.

Правила простые, твой выбор, под которым напёрстком шарик угадаешь, выиграешь. Промахнёшься — я ставку забираю.  Игра трудная, но я тебе помогу, пустой напёрсток уберу, и снова можешь выбирать.
 
Соловей разбойник положил шарик под напёрсток и ловко задвигал их по пеньку. Иван видел, куда он его подложил. «Выбираю левый!» — сказал он.
Соловей поднял правый напёрсток — пусто. — Ну что, молодец? Почти угадал. Может сменяешь выбор? С левого на средний?

— Меняю! — уверенно сказал Иван, и оказался прав. Шарик был под средним. Он выиграл медяк.

Сыграли ещё раз. Иван прямо загорелся, радуясь выигрышу, пополняя свой кошелёк.
Баба Яга хихикала в кулак, листая свою волшебную книгу книжку и  ехидно бормотала — Молодец, молодец… Вероятности считает.…  Двум третям верит…
Азарт разгорался. Клад Ивана и его выигрыши лежали внушительной кучей.
— А теперь — на всё! — предложил Соловей, и в его голосе прозвучала металлическая нотка.

Иван, радостно  согласился. Он видел, как шарик закатился под средний напёрсток... Выбрал левый. Соловей, как всегда, открыл пустой правый.
«Меняю выбор! Беру средний!» — уверенно сказал Иван, мысленно благодаря старину Байеса.

— Хм… Интересный выбор», — протянул Соловей.
Баба - Яга щёлкнула пальцами,  словно подавая сигнал, Иван обернулся на звук. Этого мгновения хватило Соловью-Разбойнику.
 Его рука потянулась к левому напёрстку, чтобы открыть его как «пустой». Но в самый миг, когда он приподнял его на палец, случилось едва уловимое движение. Наклон пня был мизерным, почти незаметным. А костяной шарик — идеально круглым и гладким. Пока напёрсток был поднят всего на волосок от поверхности, шарик из-под среднего (того, где он был на самом деле) бесшумно и молниеносно скатился по невидимому желобку коры прямо под только что приподнятый левый напёрсток!
Глаз не успевал уследить — мелькнула тень, шевельнулась былинка. Физика, магия и ловкость рук сделали своё дело.

— Смотри — пусто! — с деланным сожалением сказал Соловей, показывая теперь уже действительно пустой правый напёрсток. Шарик был уже под левым.
— Ну что, меняешь выбор со среднего?
Иван, не видя подлога, торжествовал. — Конечно, меняю! Теперь шанс на правом — две трети! Беру правый!
Под правым напёрстком ничего не было ничего. Под средним — тоже. Соловей с показным удивлением поднял левый — и вот он, костяной шарик, лежал, будто всегда там был.
— Увы, дружище… Теория теорией, а практика — злее, — фальшиво вздохнул Соловей, забирая кошелёк с деньгами и монеты.

—Шарик-то, учёный. Вот и вся наука, дурень! — Захохотала довольная Баба-Яга, тыча в него костлявым пальцем.

— Первый урок для тебя был про честного ведущего! А второй — про то, что в нашем лесу твоя наука не работает! По науке твои две трети, а в лесу — наше всё. Проваливай!

Иван стоял, оторопев от наглости Яги и Соловья.  Он понял всё. Яга с самого начала свела его с мошенником. Они дали ему выиграть в начале, чтобы потом развести. В волшебном лесу, где правила пишутся на лету, а напёрстки имеют двойное дно, самая совершенная теория ничего не стоит.

«Ах вы, шельмы! — завопил он — Над людьми глумитесь!»

Он ринулся на Соловья-разбойника, забыв и про клад, и про вероятности.
Соловей нагло усмехнулся, отскочил на шаг, сделал неестественно глубокий вдох, надув щёки, и засвистел.

Это был не птичий свист. Это был удар. Плотная, невидимая волна звука, выточенная и отточенная в разбоях, ударила Ивану в грудь. Воздух перед Соловьём задрожал и побелел, словно морозный узор на стекле.

Иван почувствовал, как у него захватило дух, будто гигантская рука сжала грудную клетку. Его ноги оторвались от земли. Он отлетел на сажень назад и тяжело рухнул на спину, оглушённый, со звоном в ушах и пустотой в лёгких. Перед глазами поплыли зелёные и багровые круги.

Он лежал, беспомощно хватая ртом воздух, а над ним сомкнулись две тени.

— Вот и весь твой байесовский подход, — хихикнула  Баба Яга.
— Ум — хорошо, — глумливо заметил Соловей-разбойник, — а свист — лучше. И надёжнее. Не в обиду Иван.

Соловей и Яга, переругиваясь из-за дележа, скрылись в лесной чащобе.

Иван медленно поднялся, потирая ушибленную грудную клетку. Звон в ушах постепенно стихал, сменяясь гробовой тишиной опустевшего леса. Кошелька не было.  Зато появилось новое, цельное знание.

Математика — царица наук. Но царство её кончается там, где начинается кривой пень, скользкий шарик и соловьиный свист. Можно сколь угодно точно рассчитать шансы, но если забыть учесть в уравнении подлость мира, ответ всегда будет не в твою пользу.