Учёные о простых числах!

    Желающий творить – даже во сне созидает,
Глубины и высоты науки покоряет!
       // Серж Пьетро 1. 15 февраля 2026. //

Христиан Гольдбах. 1690 -1764.
   Проблема Гольдбаха (гипотеза Гольдбаха, проблема Эйлера, бинарная проблема Гольдбаха) — утверждение о том, что любое чётное число,
начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Является открытой математической проблемой — по состоянию до 2025 года утверждение не доказано (? - См. доказательства 2025-2026 г.г.).
  В совокупности с гипотезой Римана включена в список проблем Гильберта под номером 8.
   Более слабый вариант гипотезы — тернарная проблема Гольдбаха, согласно которой любое нечётное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх ПРОСТЫХ ЧИСЕл, —
в 1937 году  была ДОКАЗАНА ИВАНОМ МАТВЕЕВИЧЕМ ВИНОГРАДОВЫМ
для всех достаточно больших нечётных чисел.
   После этого результат (граница, начиная с которого гипотеза доказана) многократно улучшался, но даже лучшие оценки давали границу не менее 2х(10 в степени 1346), пока в 2013 году Харальд Гельфготт не доказал справедливость гипотезы для границы (10 в степени 29) (им же, совместно с Дэвидом Платтом, была проверена справедливость гипотезы для всех нечётных чисел, меньших 8, [8х(10 в степени 30)], что окончательно доказало тернарную гипотезу).
   Из справедливости бинарной проблемы Гольдбаха очевидным образом следует тернарная:
если каждое чётное число, начиная с 4, — сумма двух ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ, то, добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа, начиная с 7.
  Вообще, проблема представления натурального числа суммой ограниченного количества ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ называется ослабленной проблемой Гольдбаха.
  Эквивалентная формулировка бинарной гипотезы Гольдбаха:
любое целое число больше 1 может быть представлено как среднее арифметическое двух (возможно, одинаковых) ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ.

Леонард Эйлер. 1707-1783.
Эйлер опроверг гипотезу Ферма о том, что все числа вида
[2 в стпени (2 в степени n+1)+1] — ПРОСТЫЕ; -
оказалось, что  при n =5 оно делится на 641.
   Эйлер доказал утверждение Ферма о представлении нечётного простого числа в виде суммы двух квадратов.
// Интернет информация - ?  11=4+9=13 ? //
Уточняющая интернет-информация:
Нечётное простое число ;  представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел
;=( ;  в степени 2) + (в с степени 2)
 тогда и только тогда, когда оно имеет вид
4 k + 1  (при делении на 4 даеё в остатке 1).
Это утверждение известно как рождественская теорема Ферма
Эйлер доказал, что число Мерсенна  (2 в степени 31);1=2147483647 — простое число; в течение почти ста лет (до 1867 года) оно оставалось наибольшим известным простым числом.
«Простое число Эйлера» обычно относится к многочлену
(n в  квадрате) + n + 41
//n squared plus n plus 41 //,
который генерирует простые числа для всех целых n   от 0 до 39.
Это удивительная последовательность, открытая Леонардом Эйлером в 1772 году, включающая 40 таких чисел: 41, 43, 47, ..., 1601. Также Эйлер исследовал простые числа Мерсенна.
  // Источник - интернет- информация по Эйлеру//

Пьер-Симон Лаплас. 1749–1827.
Мысль выражать числа десятью знаками …
настолько простая, что…
трудно понять, насколько она удивительна.
// Пьер-Симон Лаплас //
Выдающийся французский математик, физик и астроном, один из создателей теории вероятностей и небесной механики. Он не делал акцент на ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ, фокусируясь на непрерывных вероятностных моделях и дифференциальных уравнениях.

Пафнутий Львович Чебышёв. 1821 -1894.
   П.Л. Чебышев доказал, что между числами n и 2n существует хотя бы 1 простое число (Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка»).
.
Эдмунд Георг Герман (Ехезкель) Ландау.1877-1938.
   Четыре проблемы Ландау  - четыре теоретико-числовых гипотезы, выделенные в 1912 году Эдмундом Ландау как главные и «неприступные при текущем состоянии математики» в докладе на Международном конгрессе математиков в 1912 году:
  Гипотеза Гольдбаха: можно ли любое целое чётное число, большее 4, записать в виде суммы двух ПРОСТЫХ?
   Гипотеза о числах-близнецах: бесконечно ли число ПРОСТЫХ p таких, что p+2  тоже ПРОСТОЕ?
   Гипотеза Лежандра: всегда ли существует по меньшей мере одно ПРОСТОЕ ЧИСЛО, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?
  Существует ли бесконечно много ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ p, для которых p;1 является полным квадратом?
То есть:
бесконечно ли количество ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ вида [(p в квадрате) +1] ?

Сергей Петрович Емельченков. //13 02 2026//
    Отображение, изображение, выражение …
приведём  алгоритмическое  выражение простого числа.
              Сергей Петрович Емельченков. 15 02 2026
  Простое число – это нечётное число между соседними с ним больщим его и меньшим его составными  нечётными числами  вида С= (2А +- 1)х(2А +- 1), где А и В могут быть чётными (А=2а, В-2в) и нечётными (А=2а +1) либо( 2А=2а-1) при а, в  -целые числа (1 сомножитель не рассматриваем при (2х1)-1 -1).
   То есть простые числа (не учитывая число 2)  – это 3, 5, 7,
11 (между составными С=3х3=9 и С=3х5=15),
13 (междуС= 9 и С=15),
17 (между15 и 21),
19 (между15 и 21),   
23 (между 21и 25),   
//далее составное  С=27//,
29 (между 27 и 33),
31 (между 27 и 33),
//далее С=35//
37 (между35 и 39),
41 (между 39 и 45), 43 (между 39 и 45),
47 (между 45 и 49),
…
// 1 000 001=101 х 9901 (составное между 999999 и 1000005)
1 000 003 ( простое между 1 000 001 и 1 000 005)
//1000005    составное, кратно 5//
// 1000007 = 29х24483 – составное //
// 1000009= 293 х 3413 составное //
// 1000011= составное кратно 3//
//1 000 013 =7х142859 – составное. кратно 7.
//1000015 – составное, кратно 5.
//1000017 – составное, кратно 3.
//1000019 =47х21277– кратно 47.
// 1000021 =11х90911 – кратно 11.
// 1000023 – кратно 3.
// 1000025 – кратно 5.
// 1000027 =7х142861  – кратно 7.
// 1000029 – кратно 3
// 1000031 - кратно 41
1000033 (между 1 000 029 и 1 000 035)
//1000035 - кратно 5
1000037  (между 1 000 035 и 1 000 041)
1000039 (между 1 000 035 и 1 000 041)
//1000041 - кратно 3
//1000043   кратно 11.
//1000045   кратно 5.
//1000047   кратно 3.
//1000049   кратно 353 и 2833
//1000051   кратно 7 и 14 293.
//1000053   кратно 3.
//1000055   кратно 5.
1000057   (между 1 000 055 и 1 000 059)
//1000059   - кратно 3.
//1000061   - кратно 79 и 126659.
//1000063   - кратно 79 и 126659.
//1000067 кратно 5.
//1000067 кратно 11.
1000069 – простое число
…
1000117 – простое чсило  (между 1000115 и 1000119)
//1000119 - составное, кратное 3.