Конспект на книгу Р. Куранта Что такое математика?

Храбров И.Н. «Конспект на книгу Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика?». 18.03.2016

Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике.

Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой.

Стр. 17 «С другой стороны, следовало бы избегать всего слишком технического или искусственного, делая изложение математики в одинаковой степени свободным от духа школьной рутины и от мертвящего догматизма, отказывающегося от мотивировок и указания целей, — того самого догматизма, который представляет собой столь неприятное препятствие для честного усилия.

Стр. 20. Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Её основные и взаимно противоположные элементы — логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки. Торчат уши диалектики.

Стр. 21 «После периода медленного накопления сил — с возникновением в XVII столетии аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений — открылась бурная революционная фаза вразвитии математики и физики. В XVII и XVIII вв. греческий идеал ак-сиоматической кристаллизации и систематической дедукции потускнел и утерял свое влияние, хотя античная геометрия продолжала высоко расцениваться». Дифференциальное и интегральное исчисление разделяют античную и современную математику.

Стр. 23 «Была выдвинута концепция гипотетической среды—так называемого эфира.,— способной к не вполне понятным механическим передвижениям, представляющимся нам в качестве света или электричества. Постепенно выяснилось, что этот эфир принципиально ненаблюдаем, т. е. что это понятие принадлежит скорее метафизике, нежели физике. Вначале с сожалением, а затем с облегчением идея механического объяснения световых и электрических явлений— а вместе с ней и понятие эфира—была окончательно отброшена. Подобная же ситуация, и даже еще более отчетливая, создалась и в математике. В течение столетий математики рассматривали интересующие их объекты — числа, прямые и т. д. — как некие субстанции, вещи в себе. Поскольку, однако, эти .сущности. упорно не поддавались попыткам точного описания их природы, математики девятнадцатого столетия стали понемногу укрепляться в мысли, что вопрос о значении этих понятий как субстанциальных объектов в рамках математики (да и где бы то ни было) просто не имеет смысла».

Стр. 24 «Вопрос о том, чем .на самом деле. являются точки, прямые и числа, не может и не должна обсуждать математическая наука. Действительно существенными и имеющими непосредственное касательство к .проверяемым. фактам являются структура и взаимосвязи между этими объектами: что две точки определяют прямую, что из чисел по определенным правилам получаются другие числа, и т. п.» «К счастью, творческая мысль забывает о догматических философских верованиях, как только привязанность к ним становится на пути конструктивных открытий. И для специалистов, и для любителей не философия, а именно активные занятия самой математикой смогут дать ответ на вопрос: Что такое математика?»


ГЛАВА I. Натуральные числа.

Стр. 26 «.Бог создал натуральные числа, все прочее — дело рук человека. Этими словами Леопольд Кронекер (1823–1891) определил тот прочный фундамент, на котором может быть построено здание математики.

Стр. 26. «Числа служат для того, чтобы считать объекты, входящие в состав тех или иных объединений или собраний. Числа решительно никак не связаны с индивидуальной характеристикой считаемых объектов. Так, число .шесть. есть результат абстрагирования, производимого при рассмотрении всевозможных совокупностей, состоящих из шести предметов: оно нисколько не зависит ни от специфических свойств этих объектов, ни от употребляемых символов (обозначений). Но абстрактный характер идеи числа становится ясным только на очень высокой ступени интеллектуального развития. В глазах детей числа всегда остаются соединенными с самими осязаемыми объектами — допустим, пальцами или камешками; в языках народов числа также трактуются конкретно: для обозначения предметов различных типов употребляются различные сочетания числительных». Интеллектуальное развитие это понять, что число может обозначать какие угодно предметы в определенном количестве. Главное свойство числа это именно абстрагирование, отвлечение, отрывание от конкретного количества конкретных предметов, то есть всеобщность этого количества без какой-либо особенности и единичности.

Мы воспользуемся тем, что математик (как таковой) не обязан заниматься философской проблемой перехода от совокупностей конкретных предметов к абстрактному понятию числа. Мы примем поэтому натуральные числа как данные вместе с двумя основными операциями, над ними совершаемыми: сложением и умножением.

Стр. 32. «Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерийцам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. Более древние системы нумерации были построены исключительно на аддитивном принципе. Так, в римской нумерации CXVII обозначает .сто + десять + пять + один + один + один. Позиционная нумерация основанная на поместном значении цифр. Интересно, что об этом сказал бы Л. Виттгентшейн.


Стр. 32 «В английском и немецком языках слова, обозначающие 11 и 12, построены не по десятичному принципу, сочетающему десятки с единицами: они лингвистически независимы от слов, обозначающих число 10. Во французском языке слова, обозначающие 20 и 80, позволяют предполагать первоначальное существование системы с основанием 20, используемой для тех или иных надобностей. В датском языке слово halvfirsinds-tyve, обозначающее 70, буквально переводится .полпути от трижды двадцать до четырежды двадцать. Вавилонские астрономы пользовались системой, являвшейся отчасти шестидесятеричной (с основанием 60), и именно в этом обстоятельстве следует искать объяснение того факта, что час и угловой градус подразделены на 60 минут».

НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ФУНКЦИИ

Стр. 299 «Площадь треугольника есть функция длин трех его сторон; она меняется вместе с ними и делается фиксированной, если зафиксированы длины сторон». Если плоскость подвергает- ся проективному или топологическому преобразованию, то координа- ты точки после преобразования зависят от первоначальных координат точки, т. е. являются их функциями. Понятие .функция. выступает каждый раз, как только величины связаны каким-нибудь определенным физическим соотношением. Объем газа, заключенного в цилиндр, есть функция температуры и давления, оказываемого на поршень. Замечено, что давление атмосферы на воздушный шар есть функция высоты шара над уровнем моря. Целая область периодических явлений — движениеприливов, колебание натянутой струны, распространение световых волн, испускаемых накаленной проволокой, — регулируется. простыми три-гонометрическими функциями sin x и cos x.

Стр. 299 «Нет никакой необходимости в том, чтобы область S изменения переменного X была множеством чисел. Например, S может быть множеством всех кругов на плоскости; тогда переменное X будет обозначать любой индивидуальный круг. Или S может быть множеством всех замкнутых многоугольников плоскости, и тогда X —любой индивидуальный многоугольник». Здесь Р. Курант противоречит самому себе, когда говорит на стр. 24 о том, что «не важно чем на самом деле  являются точки, прямые и числа, не может и не должна обсуждать математическая наука». Получается, что достаточно, важно раз Х будет обозначать именно индивидуальный (единичный объект) и именно круг, конкретную геометрическую фигуру!