Математика в открытии физических законов

Ю.П.Хапачев, А.А.Каирова (Недова)

"Vita brevis, ars vero longa, occasio autem praeceps,
experientia fallax, judicium difficile"
Hippocrates
"Жизнь коротка, путь искусства долог,
удобный случай скоропреходящ, опыт обманчив,
суждение трудно. "
Гиппократ

Владимир Игоревич Арнольд (12 июня 1937 — 3 июня 2010) утверждал, что «математика нужна для открытия новых законов природы, а не для “строгого” обоснования очевидных вещей»

 «В физике доказательств практически нет. Всякое утверждение в физике можно показать. Это более слабое утверждение, чем доказать, хотя оно тоже содержательно".С.П.Капица [1].
 В данной статье на некоторых примерах мы покажем, как Показательство, благодаря математике, превращалось в Доказательство Закона природы.

Философы полагают, что факты рождают идеи,
и в некотором смысле это верно.
Но я нахожу в истории естествознания следующее:
для того, чтобы понимать факты, необходимо
иметь в голове определенные идеи, и что глазами
можно не увидеть того, что увидит разум. Ю. фон Либих

Электричество и магнетизм были осознаны как единое поле и закон природы с появлением уравнений Джеймса Клерка Максвелла в XIX веке. Уравнения Максвелла объединили ранее установленные опытные факты электрических и магнитных явлений и придали им чёткую математическую форму.
Уравнения Максвелла представляют собой пример фундаментального физического закона, явно УГАДАННОГО, а не «выведенного», в ригористическом смысле слова, из экспериментальных данных. Электромагнитные волны были предсказаны Максвеллом и лишь через 25 лет обнаружены в опытах Герца. Замечательно при этом, что включение в уравнения знаменитого дополнительного члена — тока смещения — никакой решительно необходимостью не вызывалось: ни известными в то время фактами, ни господствовавшими физическими идеями, ни требованиями математической непротиворечивости аппарата теории [2].

Нулевое начало термодинамики. Для каждой термодинамической (ТД) системы существует состояние термодинамического равновесия, которого она при фиксированных внешних условиях с течением времени самопроизвольно достигает. Это свойство специфично для ТД систем и является для них обязательным без исключений. Понятие ТД равновесия – это такое состояние, когда макроскопические параметры системы не изменяются с течением времени и когда отсутствуют потоки любого типа. В макроскопической теории нулевое начало – это обобщение повседневного опыта и наблюдений за ТД системами. Однако, с микроскопической точки зрения, это утверждение далеко не самоочевидно. Анри Пуанкаре в 1890 г было доказано, что механическое состояние, например, изолированной системы вовсе не переходит с течением времени в некое «устойчивое» состояние, принимаемое за равновесное, а воспроизводится с заранее обусловленной точностью через конечный промежуток времени. Правда, этот промежуток времени для системы из моля вещества, по самым грубым оценкам, составляет 10^N (N –число Авогадро), так что возраст Вселенной, по сравнению с этой величиной, только миг. Кроме того, фиксируемые посредством макроскопических приборов состояния уже не представляют собой чисто механических состояний. Тем не менее, эта проблема, связанная с теоремой возврата, имеет несомненный теоретический и принципиальный интерес. Время возврата Пуанкаре показывает не время точного возврата к предыдущему состоянию системы, а время возврата к статистическому состоянию. Т.е. сгоревшая спичка целой сама по себе не станет и умершие люди не воскреснут. Просто энтропия системы вернётся в прежнее меньшее значение. А это «немного другое». Время возврата Пуанкаре – это так же колоссально много, как и расстояние до ближайшей копии нашей Вселенной. И с этой "копией" тоже не всё так просто (это тоже "немного другое")[3,4, 5].

Макс Планк. Далее, Доклад 14 февраля 1900 г. «Об излучательной способности черного тела».На нем Планком впервые была введена константа, определяющая величину минимального действия h = 1,05 10^–34 Дж с. В чем же смысл этой фундаментальной величины? Дело в том, что в классической физике такие величины, как, например, импульс – p, энергия – E, действие (есть и такая величина, ее размерность энергия ; время), могут принимать любые, сколь угодно малые значения. Однако, как только мы «заходим в микромир», т.е. интересуемся объектами, размеры которых ~ 10^–7 см, ситуация в корне меняется. Так, например, действие уже не может быть сколь угодно малым. Равным нулю – пожалуйста, но первое, его самое малое значение оказывается равным именно этой постоянной Планка. Следующее по величине значение действия будет 2h, затем 3h и т.д. В аналогичном положении оказываются и другие физические величины, например, энергия. Таким образом, оказывается, что дискретной является не только материя, но и ряд физических характеристик, описывающих ее.
Несмотря на то, формула Планка сразу получила экспериментальное подтверждение, но идея дискретности энергии не сразу стала приобретать характер закона, так как это противоречило сложившемуся к началу ХХ века представлению, и поэтому требовало детального анализа. Анри Пуанкаре в 1911-1912гг., проведя математическое исследование этого вопроса, показал, что гипотеза квантов (т.е. точная дискретность энергии резонаторов E=nhf,где f – частота излучения) – это единственная принципиальная гипотеза, которая приводит к закону Планка. Если же дискретность чуть-чуть нарушена, т.е. n не равно натуральному числу, то не будет и формулы Планка, и вообще целый класс задач по теории излучения просто нельзя решить. В этих работах Пуанкаре фактически показал, что гипотеза квантов является не только НЕОБХОДИМОЙ, но и ДОСТАТОЧНОЙ не только для вывода формулы Планка, но и для построения всей последующей квантовой теории.
Вывод! Гипотеза квантов оказалась не просто удобной моделью, а её математическое обоснование, сделанное Пуанкаре ,закрепило квантовую природу действия как фундаментальный ЗАКОН  физики [6] .

Теория Относительности.В конце XIX  века пристрастие к «очевидным» преобразованиям Галилея (заодно и скорости сложения скоростей) было столь сильно, что никто не хотел всерьез обращать внимания, а значит, и анализировать с других позиций тот факт,  что уравнения Максвелла не остаются неизменными при этих преобразованиях. Указанное несоответствие со временем было  разрешено А.Пуанкаре.Так в 1898 г. в работе «Измерение времени» он. утверждал, что абсолютного времени и абсолютной одновременности в природе не существует. То, что какие-то события считаются происходящими одновременно, — лишь условность, на самом деле у каждого участника событий может быть своё время. Далее Пуанкаре утверждал, что если принять в качестве постулата постоянство скорости света в пустоте, то автоматически получается определение одновременности,
Кроме того, Пуанкаре в 1889 г сформулировал и следующий постулат, так называемый принцип относительности,– все физические явления при одинаковых начальных условиях протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Первая аксиома, о постоянстве скорости света, фактически отражает соблюдение фундаментального физического принципа – принципа причинности. Обе аксиомы были позже положены А. Эйнштейном в основу специальной (в оригинале частной) теории относительности (СТО), приведшей к глубокому переосмыслению понятий пространства и времени. Работы Пуанкаре были опубликованы либо в философском журнале, либо в математических журналах. Наверное, поэтому на них не обратили должного внимания и впоследствии почти не ссылались. Эйнштейн же послал свою работу в известный немецкий журнал, и она сразу стала достоянием широкой научной общественности.
Выше мы уже говорили, что так как уравнения Максвелла не остаются неизменными при преобразованиях Галилея. то возникает вопрос. каковы должны быть другие, «неочевидные», преобразования, чтобы уравнения Максвелла оставались неизменными.
Пуанкаре получил эти преобразования и назвал их в честь Лоренца преобразованиями Лоренца. В этих новых преобразованиях (согласно первой аксиоме) появилась универсальная константа c ; 3·10^8м/с – это скорость света в вакууме. Из преобразований  Лоренца непосредственно следовали два, на первый взгляд, совершенно «абсурдных» результата. Оказывается, что линейные размеры тела вдоль направления движения сокращаются по сравнению с теми, какие они для неподвижного тела, а время в движущейся системе замедляется.
Эти лоренцевские результаты (сокращение расстояния и замедление времени) являлись вопиющим противоречием представлениям о свойствах пространства и времени, сложившимся в науке к началу XX века. Однако никаких дальнейших концептуальных выводов сразу же сделано не было. Слишком сильно было пристрастие к парадигме Г. Галилея и И. Ньютона – пространство и время являются абсолютными категориями, существуют сами по себе и не зависят от внешних обстоятельств.
С учетом результатов Пуанкаре и Лоренца по исследованию симметрии уравнений Максвелла и после публикации в 1905г. основополагающей работы Эйнштейна, его учителем Г. Минковским в 1908 г. была предложена геометрическая интерпретация результатов этой новой теории, названной специальной теории относительности (СТО). В СТО был введен четырехмерный пространственно-временной интервал (идея, также впервые предложенная Пуанкаре).
Потребовался математический гений Пуанкаре и физическое осмысление его идей Эйнштейном, чтобы полностью осознать эту связь и понять, что пространство и время не существуют независимо друг от друга, они неразрывно связаны между собой посредством определенной симметрии. Эта симметрия Лоренца–Пуанкаре – не просто абстрактная математика, она происходит в реальном мире, осуществляясь через движение. Теперь ясно, что существование четырехмерного пространственно-временного континуума является следствием конечности скорости любого взаимодействия, которое ограничено сверху скоростью света. Одним из фундаментальных достижений СТО явилась знаменитая формула, связывающая массу и энергию: E =mc^2. Удивительно, но эту формулу независимо от А. Пуанкаре и за 15 лет до А. Эйнштейна получил О. Хевисайд. Впрочем, это далеко не единственный результат О. Хевисайда, намного опередивший свое время, который был получен им из неизвестных нам соображений.
Специально обратим внимание на то, что урок, преподнесенный Лоренцем и Пуанкаре, состоит в том, что математическое исследование, в данном случае на основе анализа симметрии, может стать источником выдающихся достижений в науке. Даже если математическую симметрию невозможно представить наглядно, она может указать путь к выявлению новых фундаментальных принципов природы. Вот что говорит об участии математики в проблемах СТО и ОТО академик В.И.Арнольд:
«Между прочим, мало кто знает, что за три года до проблем Гильберта и лет за десять до Эйнштейна Пуанкаре сформулировал основную задачу, оставленную XIX веком в наследство двадцатому в области математики. В формулировке Пуанкаре основная задача такова: построение математической теории для релятивистских и квантовых явлений. Ну он, кстати, это и сделал для релятивистского случая — правда, почему-то странным образом Эйнштейн до 1945 года на него забывал ссылаться. В 45-м году упомянул, что Минковский ему посоветовал прочитать, что за десять лет до Эйнштейна напечатал друг Минковского Пуанкаре.»[7].Посмотрите отрывок передачи "Очевидное - невероятное", в котором Арнольд В.И. рассказывает о роли Анри Пуанкаре в открытии специальной теории относительности.

СПИН
Один из величайших теоретиков в истории науки почти столетие назад открыл одну из главных формул в физике XX века. Авторитет учёного общепризнан, важность его формулы неоспорима, но при этом подлинная ценность Уравнения Дирака для понимания устройства мира до сих пор наукой так и не постигнута. Следуем далее [8].
В дни 1995, когда британская нация увековечила, наконец, память о своём великом учёном, в Лондоне прошла научно-мемориальная конференция – небольшая по масштабам, но весьма представительная по докладчикам.Нам важна последняя из опубликованных в этом сборнике лекций, «Уравнение Дирака и геометрия», Автор её великий английским математик Майкл Атья Тогда он был  президентом самого престижного в Мире Научного Ощества  - Лондонского Королевского общества («The Dirac equation and geometry,» by Michael F. Atiyah).
Главное в том, что вторжение уравнения Дирака в область чистой математики произошло благодаря совместным работам Майкла Атьи и Изадора Зингера . Они в 1960-е годы доказали знаменитую теперь «теорему об индексе», или теорему Атьи-Зингера. Сейчас она считается если одним из наиболее важных достижений в области математики второй половины XX века.
Но что самое интересное! Оказалось, что объединение далёких друг от друга математических областей удалось осуществить благодаря специфической конструкции. Она то и оказалась  крайне неожиданной!. В физике эта математическая конструкция известна уже свыше четверти века и называется она релятивистское уравнение Дирака.!
Таким образом, Атья и Зингер переоткрыли уравнение Дирака абсолютно по иной траектории, и обнаружили, что лежащий в основе данного уравнения «оператор Дирака» — это в определенном смысле «генератор» всей их математики. Потому что все главные результаты их теоремы могут быть выражены в терминах этого оператора…
Можно сказать и иначе. Фундаментальное уравнение Дирака, объединяющее пространство, время и материю, оказывается фундаментально важным ещё и для объединения существенно разных областей математики. Или- оператор Дирака, в компактном виде согласовавший волновую природу материи, феномен спина частиц и эффекты искривления пространства-времени, работает ещё и как «порождающий генератор» в фундаментальных основах всей абстрактной математики…
Вот цитата из Дирака из его первой «философской» лекции 1939 года. «Отношение между математикой и физикой» (The Relation between Mathematics and Physics):
«Чистая математика и физика становятся связанными все теснее, хотя их методы и остаются различными. Можно сказать, что математик играет в игру, в которой он сам изобретает правила, в то время как физик играет в игру, правила которой предлагает Природа.Однако с течением времени становится все более очевидным, что правила, которые математик находит интересными, совпадают с теми, которые избрала Природа.»
В 2028году исполнится сто лет открытию Дираком волнового релятивистского Уравнения. Если целый век спустя – мировая наука не разберётся, наконец, с подлинным смыслом и масштабом его великой формулы, то это будет, выражаясь по-русски, - позорище …

Открытие Дирака.
В.И.Арнольд говорил: «Но я всю жизнь следую рецепту Дирака, который учил, как создавать Новую Физику, следующими словами: «Прежде всего,— говорил Дирак, — нужно отбросить все так называемые "физические представления", ибо они — не что иное, как термин для обозначения устаревших предрассудков предшествующих поколений».
Начинать, по его словам, следует с красивой математической теории. «Если она действительно красива,— говорит Дирак,— то она обязательно окажется прекрасной моделью важных физических явлений. Вот и нужно искать эти явления, развивать приложения красивой математической теории и интерпретировать их как предсказания новых законов физики», — так строится, по словам Дирака, вся новая физика, и релятивистская, и квантовая.
Еще менее известно, что релятивистские электронные уравнения Дирака возникли у него из древней математической теории кос. А именно: Дирак заметил, исходя из топологии семейства эллиптических кривых в алгебраической геометрии, что в группе сферических кос из четырех нитей существует элемент второго порядка, и интерпретировал это свое открытие в виде теории спина электрона, имеющего 2 значения (это означает, что для того, чтобы частица вернулась в прежнее положение, ей нужно повернуться не на 360  градусов, а720  ).
Это было никому не понятно, и поэтому ему не верили. Чтобы убедить физиков в справедливости соответствующей странной математической теоремы (утверждающей, что фундаментальная группа группы SO(3) вращений трехмерного пространства состоит из двух элементов), Дирак продемонстрировал соответствующий эксперимент, изготовив физически свою сферическую косу второго порядка.
Эта коса делается так: берется сфера и другая концентрическая с ней меньшая сфера и соединяются четырьмя веревками. Четыре гвоздя вбиваются в наружную сферу, четыре во внутреннюю, и четыре веревки их соединяют, но так, чтоб эти веревки не по радиусу шли, а переплетались между собой. Вторая, точно такая же, коса (это называется «сферическая коса»)— вторая коса, совершенно так же устроенная, соединяет меньшую сферу с еще меньшей.
А теперь, элемент второго порядка— это вот что такое. Это значит, что, если убрать среднюю сферу, получится четыре веревки, связывающие самую большую с самой маленькой. Так вот, они оказывались незапутанными, они были запутаны между большой и средней, запутаны между средней и малой таким же способом. А если среднюю убрать, то между большой и малой их можно непрерывным преобразованием перетащить на радиальные незапутанные. Получается тривиальная коса.
Это и есть та математическая теорема, о которой идет речь, которую Дирак и доказал. Дирак изготовил эти сферы и среднюю сжег. Сферы оказались соединенными незавязанными веревками, и физики поверили в теорию спина. Так он это и доказал.
Между прочим, сейчас ни физики, ни математики этого уже не знают. Может, один я прочитал у Дирака, как это делается и как он это придумал. А в спин физики верят, потому что провозглашено там, дают за это нобелевские премии, значит, что уже это всем известно, что это знаменитая, великая вещь. И все верят, просто потому, что это провозглашено, что это так.
Ну так вот. На самом деле, это открытие Дирака— теория спина— было основано на эксперименте, ДОКАЗАВШЕМ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ТЕОРЕМУ.[9]

N.B.Воспоминания В.И.Арнольда. [10]
Спин
 «d-функция Дирака» является простейшим частным случаем обобщённых функций, теория которых была построена Н. М. Гюнтером в 1916 году под названием «теории функций от областей»: эти «обобщённые функции» не определяются своими значениями в точках, но определяются своими интегралами по всевозможным областям. Гюнтер построил эту теорию ради доказательства теорем существования (и единственности) решений уравнений гидродинамики, Навье—Стокса. С наступлением революции Гюнтер стал подвергаться обвинениям в аристократизме своей «антипролетарской» дворянской науки. Чтобы защититься, он организовал семинар для коммунистов и комсомольцев. Его участник, ученик Гюнтера С. Л. Соболев, исследовал его методом обощённые решения линейного волнового уравнения (где разрывные, обобщённые решения нужны пролетариату, например, в сейсмологии). Работы Соболева были переведены (с французского) на американский язык Л.Шварцем, построившим этим путём свою «теорию распределений», удостоенную филдсовской медали. В 1965 году Лоран Шварц рассказал мне, что «филдсовскую медаль дали ему за то, что он исправил ошибки в замечательной работе Соболева». Я эту работу читал и никаких ошибок в ней не видел, а потому попросил указать их. Шварц ответил: «Соболев опубликовал свои результаты на языке, которого никто не понимал, в городе, где никто не интересовался наукой, да ещё в журнале, который никто не читал». Хотя я знал, где была опубликована статья Соболева, я это скрыл и попросил назвать язык, город и журнал, и Шварц ответил: «По-французски, в Париже, в Докладах Парижской академии наук» (Comptes Rendus de l’Acad;emie des Sciences). Вернувшись к 1966 году в Москву, я вытащил Сергея Львовича Соболева из ямы, в которую он заехал на своей машине около рынка в Звенигороде (поехав за молоком), и рассказал ему о теории Шварца. Сергей Львович ответил: «Лоран— чудесный человек, и очень хорошо относится к нам обоим, но он тебе наврал: в своей работе, награждённой филдсовской медалью, он не только перевёл мою статью, но ещё и добавил свои теоремы о преобразованиях Фурье моих обобщённых решений, которых я и не знал!» Вопрос о взаимоотношении работ Шварца и Соболева решал тогда Адамар, съездивший ради этого в Москву, чтобы посоветоваться с Сергеем Львовичем. Это ему не удалось, так как С. Л. Соболев был тогда в Лос-Арзамасе (Сарове) заместителем Курчатова. Адамар обратился за  советом к Колмогорову, и тот предпочёл обоим «истинного автора» — Гюнтера (работы которого о «функциях от областей» привели Колмогорова к его теории когомологий). Дирак ввёл свою d-функцию около 1930 года. При своём построении теории спинов электронов Дирак столкнулся со следующей трудностью: физики не могли понять, почему эти спины допускают два значения (+1/2 и ;1/2), хотя описывают одно и то же «вращение электрона». Сущность дела состоит здесь в содержательной топологической теореме: фундаментальная группа группы вращений трёхмерного пространства состоит из двух элементов, т. е. (SO(3)) ; Z2. Это значит, что поворот на 360^o не возвращает соответствующую физическую характеристику вращения на место. Чтобы она вернулась к исходному состоянию, надо продолжить вращение так, чтобы угол поворота составил не 360^o , а 720^o . Эта трудная теорема была непонятна физикам и вызывала недоверие к теории спинов. Тогда Дирак нашёл её (тоже неочевидное) следствие в математической теории кос: он построил «сферическую косу из четырёх волос», доставляющую в группе сферических кос элемент второго порядка. Обычные косы «плоские», их группа есть фундаментальная группа  пространства конфигураций n различных точек на плоскости (для кос из n нитей). В этой группе плоских кос элементов конечного порядка нет: завязав на конце косы вторую такую же, мы её не развяжем. А для сферических кос такое развязывание Дираку удалось продемонстрировать физикам в эксперименте (его нити соединяли 3 концентрических сферы и развязались, когда он сжёг среднюю из них). Чтобы придумать этот физический эксперимент, Дирак использовал понятную ему (красивую и нетривиальную) математическую теорию эллиптических функций. А именно, рассмотрим на сфере Римана CP1 четыре (различные) точки. Двулистное накрытие сферы, ветвящееся в этих точках, является двумерным тором (римановой поверхностью функции y = (x4 + ax2 + bx)^1/2, т. е. эллиптической кривой). Это обстоятельство определяет представление группы сферических кос из 4 нитей в группу автоморфизмов группы Z 2 гомологий эллиптической кривой. Вычисляя эти автоморфизмы, Дирак и нашёл сферическую косу из 4 нитей, доставляющую в группе кос элемент второго порядка. Если бы Дирак не любил этой математики, физики не получили бы теории спинов электронов.

Неинтегрируемые системы.
«Здесь я должен остановиться и снова выступить от имени широкого всемирного братства тех, кто занимается математикой. Мы все глубоко сознаем сегодня, что энтузиазм наших предшественников по поводу великолепных достижений ньютоновской механики побудил их к обобщениям в этой области предсказуемости, в которые до 1960 г. мы все охотно верили, но которые, как мы теперь понимаем, были ложными. Нас не покидает коллективное желание признать свою вину за то, что мы вводили в заблуждение широкие круги образованных людей, распространяя идеи о детерминизме систем, удовлетворяющих законам движения Ньютона, – идеи, которые, как выяснилось после 1960 г., оказались неправильными».[11].
Сделанное признание вызвано экспоненциальным разбеганием траекторий сильно неустойчивых хаотических систем, описываемом положительными показателями Ляпунова. Однако, это еще не все, чем вызвано столь необычное признание. На одном из аспектов данной проблемы, связанных с самоорганизацией, мы сейчас и остановимся. Основной проблемой в динамике является проблема интегрирования. Поскольку мы располагаем уравнениями движения Ньютона или Гамильтона, то естественно, хотелось бы иметь явные аналитические выражения для переменных, т.е. координат или скоростей, как функций времени. В конце XIX века А. Пуанкаре показал, что не все динамические системы похожи друг на друга, как до него считалось. Оказывается, существуют системы двух типов: интегрируемые и неинтегрируемые. Для первых мы можем исключить взаимодействие и свести задачу к задаче о свободном движении. Для вторых – неинтегрируемых необходимо отказаться от описания в терминах траекторий (т.е. фактически от детерминизма) и перейти к вероятностному описанию. Посмотрим, как это получается в рамках гамильтоновой динамики, где центральной, основополагающей величиной является функция Гамильтона H = E + U, или гамильтониан, равный сумме кинетической E и потенциальной U энергий. Для консервативных систем, где гамильтониан H явно от времени не зависит [12], он выражается через обобщенные pi импульсы и координаты ri следующим образом: H = E(p1 , ..., pN) + U(r1,...., rN). Эта запись гамильтониана в так называемых канонических переменных, где кинетическая энергия зависит только от импульсов, а потенциальная только от координат частиц. Каноническое представление уравнений движения считается по праву апофеозом классической динамики, поскольку в этом представлении они выражаются через единственную величину – гамильтониан. Чтобы понять, что такое интегрируемая система, мы используем самый простой пример, приводимый в каждом учебнике по теоретической механике. Это одномерный гармонический осциллятор. Для него гамильтониан имеет вид: Р = р^2/2m + kr^2/2, где k – некая упругая постоянная, m – масса. Для данной системы существует, оказывается, так называемое каноническое преобразование, при котором гамильтониан принимает вид: H = w·J, где J – переменная действия, а w определяется через угловую переменную U следующим образом: U = wt + const. Таким образом, движение выражается теперь в терминах циклических переменных J и w Этот результат очень характерен. В новых переменных действие-угол, гамильтониан зависит только от нового импульса – переменной действия. В результате dJ/dt = -dH/dU=0. То есть переменная действия J является инвариантом движения. Аналогичный результат получается для свободной частицы, когда dp/dt =-dH/dr=0.
Как видим, в данном случае уравнения Гамильтона легко интегрируются, поскольку отсутствует потенциальная энергия. Возможность исключить потенциальную энергию с помощью канонического преобразования к новым циклическим переменным – это и есть основная характеристика интегрируемых динамических систем в смысле Анри Пуанкаре. Значит, для интегрируемых систем после преобразования гамильтониана в соответствующий вид отсутствует член с потенциальной энергией, т.е. фактически исключается взаимодействие между частицами. До 1889 г. предполагалось (правда, молчаливо), что все динамические системы интегрируемые, а проблемы, связанные с задачей трех и более тел – чисто технические, вычислительные. Однако, А. Пуанкаре в 1889 г. показал [4], что в общем случае невозможно получить каноническое преобразование, сохраняющее вид гамильтоновых уравнений, которое приводило бы к циклическим переменным причем, большинство систем как раз неинтегрируемые.
 В чем же смысл столь сильного математического утверждения? Что было бы если бы  Пуанкаре доказал интегрируемость всех динамических систем?
Это означало бы, что все без исключения динамические системы с любым числом частиц, по существу, изоморфны движению свободных, не взаимодействующих никак друг с другом частиц. Это означало бы, что эти частицы никогда не могут выступать как коллектив, то есть когерентно!
А это значит, что не может быть самоорганизации в принципе! Не может, значит, в интегрируемом мире возникнуть и жизнь!
Однако этого мало. А. Пуанкаре не только доказал неинтегрируемость, но и указал причину неинтегрируемости систем. Это существование резонансов между степенями свободы и возникновение проблемы так называемых «малых знаменателей». Надо сказать, что эта проблема была известна в астрономии и до А. Пуанкаре. Но именно его теорема показала, что основная трудность, связанная с расходимостью (малые знаменатели стремятся к нулю, а обратная им величина стремиться к бесконечности) в решении задач динамики не может быть устранена и делает невозможным введение циклических переменных для большинства динамических систем, начиная с системы трех тел. Вот как эту проблему в свое время оценивал М. Борн: «Было бы весьма странно, если бы Природа укрылась от дальнейшего прогресса познания за аналитическими трудностями проблемы многих тел».
С появлением работ А.Н. Колмогорова, продолженных В.И. Арнольдом и Ю.Мозером и появлением КАМ теории (Колмогорова – Арнольда – Мозера), проблема неинтегрируемости и малых знаменателей стала рассматриваться как отправная точка нового развития динамики, и в том числе динамики как когерентных движений, так и хаотических. КАМ теория рассматривает влияние резонансов на траектории. В разных точках фазового пространства динамической системы существуют резонансы, в других их нет. Резонансы соответствуют рациональным соотношениям между частотами. Поскольку (это классический результат теории чисел объясняется тем, что множество рациональных чисел счётно, а множество иррациональных чисел имеет мощность континуум) мера рациональных чисел по сравнению с мерой иррациональных чисел равна нулю, то резонансы встречаются крайне редко, большинство точек в фазовом пространстве нерезонансные. Резонансы приводят к периодическим движениям, отсутствие резонансов – к квазипериодическому движению. Следовательно, периодические движения, как правило, исключение из общего случая движений более сложного вида. Основной результат КАМ теории состоит в том, что существует два принципиально различных типа траекторий. Первые – слегка изменившиеся квазипериодические траектории. Вторые – стохастические траектории, возникающие при разрушении резонансов. КАМ теория не приводит к динамической теории хаоса, но она показывает, что при малых значениях некоторого параметра получается промежуточный режим, в котором сосуществуют траектории двух типов – регулярные и стохастические.

Открытия совершаются неожиданно
Остановимся еще на одной важной проблеме. Хорошо известно, что в области естественных наук наиболее фундаментальные открытия совершаются неожиданно. Так в ряде случаев происходит научный поиск некого «А», а в результате находят совершенно неожиданное – «В». Чем неожиданней это «В», тем более значим новый результат. В области математических открытий все обстоит аналогичным образом. В качестве примера приведем с некоторыми купюрами отрывок из статьи В.И. Арнольда, посвященной А.Н. Колмогорову [13] «Андрей Николаевич заметил, что в «интегрируемых» задачах надлежащим образом определение фазы на торе меняется со временем равномерно. Он же поставил себе вопрос: так ли это, если система на торе не интегрируема, а лишь имеет интегральный инвариант? Этот вопрос он решил в работе 1953 г. о системах на торе – первой, где появляются малые знаменатели. Вывод А.Н. таков: почти всегда можно ввести равномерно меняющиеся со временем фазы, но иногда возможно перемешивание. Замечание о перемешивании, относящееся к патологическому случаю, не кажется особенно важным. Но именно оно-то («благодаря») и стало источником знаменитой работы А.Н. Колмогорова о малых знаменателях, опубликованной в 1954 г., где доказано сохранение инвариантных торов при малом изменении функции Гамильтона. Рассуждения А.Н. Колмогорова, упомянутые им в докладе на Международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 г., состояли в следующем. В интегрируемых системах движение по инвариантным торам всегда условно периодично. Следовательно, перемешивание в интегрируемых системах не встречается (а значит, не может быть никакой самоорганизации). Чтобы узнать, имеет ли открытое им явление механические приложения, А.Н. Колмогоров решил отыскать движение по торам в неинтегрируемых системах, где в принципе перемешивание могло бы наблюдаться. Естественно начать с теории возмущений, рассмотрев систему, близкую к интегрируемой. Различные варианты теории возмущений многократно обсуждались в небесной механике, а потом в ранней квантовой механике. Но все эти теории возмущений приводят к расходящимся рядам. А.Н. Колмогоров понял, что расходимость можно преодолеть, если вместо разложений по степеням малого параметра использовать метод Ньютона в функциональном пространстве. Таким образом, «метод ускоренной сходимости» А.Н. Колмогорова был придуман вовсе не ради (но «вопреки») тех замечательных приложений в классических проблемах механики, к которым он приводит, а ради исследования возможности реализации специальной теоретико-множественной патологии в системах на двумерном торе. Поставленную им себе задачу о реализации перемешивания на слабо возмущенных инвариантных торах А.Н. Колмогоров при этом не решил («А» не найдено), так как на найденных им торах его метод автоматически строит равномерно меняющиеся при движении фазовой точки угловые координаты. Вопрос о перемешивании, из которого выросла вся работа ученого, остается нерешенным и сегодня. Значение этого технического вопроса (поиск «А») по сравнению с полученными результатами (найдено неизвестное «В») ничтожно. Сейчас о нем уже никто и не вспоминает, но новая математика возникла при уточнении мелких технических деталей предшествующих работ. Уже из этого ясно, что планирование фундаментальных исследований – бюрократическая бессмыслица, а зачастую – просто обман».

 «Ещё одно, последнее сказание»
Для случайного распределения k точек на целочисленной окружности были определены два «параметра стохастичности» Колмогорова - K[14] и Арнольда - A[15].Эти параметры независимо друг от друга ввели А.Н.Колмогоров в 1933 году и В.И. Арнольд в 2003 году. Поразительно следующее. Эти параметры (получены из совершенно различных соображений) кажущиеся независимыми характеристиками поля случайных точек, но они становятся функционально зависимыми, когда их значения усреднены по малым флуктуациям точек поля. А значит, как и настаивал В.И.Арнольд, их зависимость обусловлена каким-то Законом Природы! Каким – не ясно. Арнольд проделал многочисленные эмпирические наблюдения (много расчетов, почти миллион) и установил следующее. Зависимость A и K оказывается в плоскости (AK) параболической. Такое вот эмпирическое открытие. Арнольд говорил, что он побоялся и не стал называть это теоремой, так как доказательства нет, а только Эмпирика. То есть, (по С.П. Капице) имеем (пока!) не доказательство, а Показательство.
Критерий Колмогорова основан на вычислении по заданной последовательности значения некоторого параметра стохастичности K, вероятность случайности зависит от его величины. Среднее значение параметра Колмогорова K - K(ср) приблизительно =0.87. Если наблюденное значение K сильно меньше или сильно больше, чем K(ср), то случайность изучаемой последовательности маловероятна. Среднее значение параметра Арнольда A - близко к двойке A(ср) =2. Аналогично теории Колмогорова, если наблюденное значение A сильно меньше или сильно больше, чем A(ср), то случайность изучаемой последовательности маловероятна. В теории Арнольда (в отличие от теории Колмогорова), есть одно чрезвычайно интересное свойство (расталкивание или притяжение точек на окружности). Связано это с тем, каково наблюденное значение A меньше оно или больше, чем A(ср).
Вывод. В приведенных Колмогоровым и Арнольдом примерах параметр стохастичности для геометрической прогрессии K=0,7(что близко к 0,87), а для арифметической K=0,3(что далеко от 0,87). Поэтому геометрическая прогрессия  как показывает соответствующий расчет [15], примерно в 300 раз более случайна, чем арифметическая прогрессия. Странно,да? Но такова математика. Аналогично может быть и во многих других ситуациях. Там, где события описываются наборами чисел, которые выглядят как закономерные последовательности, но на самом деле (по критериям Колмогорова и Арнольда) могут оказаться, в той или иной степени, случайными. С другой стороны, якобы случайные последовательности, могут оказаться закономерными. Пример. «Последовательность квадратичных вычетов, для нее вероятность случайности по критерию Колмогорова чрезвычайно мала. Квадратичные вычеты не случайны. Они выбираются по какому-то принципу, который никому пока не известен. Несмотря на то, что в теории чисел опубликованы десятки работ о случайности квадратичных вычетов, всё это ошибочная теория. Они не случайны, они ведут себя иначе»[15].
Все эти поразительные результаты позволили нам в [16] сформулировать Теорему.
В ряде случаев, закономерность - недопознанная случайность, а случайность - недопознанная закономерность.

Источники информации:
1. «Очевидное-невероятное. В. Арнольд о постановке задач» – видео из телепроекта «Очевидное – невероятное». Беседа С.П. Капицы с академиком В.И. Арнольдом о постановке задач. https://ya.ru/video/preview/17829931208764422636
2. И. С. Шапиро К истории открытия уравнений Максвелла33. УФН 1972 г. Октябрь Том 108, вып. 2. с.319-333.
3. Poincare H. Methodts nouvelles de la mecanique celeste. – Paris: Gauthies Villars, 1882.
4.Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Избранные труды. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1971–1972.
5.Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Изд. 5-е стереотипное. М.: Едиториал УРСС, 2003. С. 62. ISBN 5-354-00341-5).
6. Пуанкapе А. Избp. тpуды. M.: Haукa, «Математика. Теоретическая физика. Анализ математических и естественно-научных работ Анри Пуанкаре», год издания — 1974. Т.3. 769 стр. Издание выпущено под ред. акад. Н. Н. Боголюбова (гл. ред.) , с комментариями В. И. Арнольда и В. М. Алексеева.
7. Передача "Очевидное - невероятное". Арнольд В.И. о роли Анри Пуанкаре в открытии специальной теории Если интересует вся передача (25 минут) то смотрите здесь: https://www.youtube.com/watch?v=135WkxG57wI
8. Дирак как предчувствие. 9 августа, 2020. https://kiwibyrd.org/2020/08/09/20h81/
9. В. И. Арнольд в публичной лекции  «Сложность конечных последовательностей нулей и единиц и геометрия конечных функциональных пространств», прочитанной 13 мая 2006 года в концертном зале «Академический» по приглашению фонда «Династия», Владимир Игоревич Арнольд упоминал, что релятивистские электронные уравнения Дирака возникли у него из древней математической теории кос. https://elementy.ru/nauchno 10.В. И. Арнольд Математическое понимание природы Очерки удивительных физических явлений и их понимания математиками (с рисунками автора) Издание третье, стереотипное Москва Издательство МЦНМО 2011.с.99-102.
11.сэр Д. Лайтхилл.Президент Международного союза теоретической и прикладной механики. 1986г. Ligthill J. The Recognized Failure of Predictability in Newtonian Dynamics // Proceedings of the Royal Society. – 1986. – P. 35–50.
12. Тейбор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной механике. – М.: Эдиториал УРСС. 2001. – 320 с
13. Арнольд В.И. Об А.Н.Колмогорове . https://ega-math.narod.ru/LSP/ANK.htm.
14. Kolmogoroff A. Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione // Guornale dell’ Instituto Italiano degli Attuari. 1933. V.4. №1. P.83-91. А.Н. Колмогоров «Об эмпирическом определении закона распределения».
15.В.И.Арнольд.Видео. Измерение объективной степени случайности конечного набора точек - Владимир Арнольд. Цикл лекций: Летняя школа «Современная математика», 2009. 19 июля 2009 г. 11:15, г. Дубна.
16. Ю.П.Хапачев. Проза.ру.Случайность – закономерность. естествознание, 31.08.2025.