Бесконечность, делённая на бесконечность почему он

 «БЕСКОНЕЧНОСТЬ, ДЕЛЁННАЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТЬ: ПОЧЕМУ ОНО — НЕ 21 И ДАЖЕ НЕ ЧИСЛО»
ФРАЗА «БЕСКОНЕЧНОСТЬ, ДЕЛЁННАЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТЬ, РАВНА 21» ЗВУЧИТ ПАРАДОКСАЛЬНО И ПОЭТИЧНО — СЛОВНО СТРОЧКА ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИРИКИ. НО ЧТО СТОИТ ЗА ЭТОЙ ФОРМУЛОЙ? ПОПРОБУЕМ РАЗОБРАТЬСЯ, ПОЧЕМУ В СТРОГОМ СМЫСЛЕ ТАКОЕ РАВЕНСТВО НЕВЕРНО — И В ТО ЖЕ ВРЕМЯ ПОЧЕМУ ОНО МОЖЕТ ОКАЗАТЬСЯ ВЕРНЫМ ПРИ ОПРЕДЕЛЁННЫХ УСЛОВИЯХ.
БЕСКОНЕЧНОСТЬ — НЕ ЧИСЛО
КЛЮЧЕВАЯ ПРОБЛЕМА ВЫРАЖЕНИЯ ;; В ТОМ, ЧТО БЕСКОНЕЧНОСТЬ (;) — НЕ ОБЫЧНОЕ ЧИСЛО. ЭТО ПОНЯТИЕ, ОПИСЫВАЮЩЕЕ НЕОГРАНИЧЕННЫЙ РОСТ ИЛИ БЕЗГРАНИЧНОСТЬ. У НЕЁ НЕТ КОНКРЕТНОГО ЗНАЧЕНИЯ, ПОЭТОМУ К НЕЙ НЕПРИМЕНИМЫ ПРИВЫЧНЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ. ДЕЛЕНИЕ ; НА ; НЕ ДАЁТ ОДНОЗНАЧНОГО РЕЗУЛЬТАТА — ЭТО ТАК НАЗЫВАЕМАЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ.
ПОЧЕМУ ВОЗНИКАЕТ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ?
ПРЕДСТАВЬТЕ ДВЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ:
• AN=N (РАСТЁТ «МЕДЛЕННО»: 1,2,3,…);
• BN=2N (РАСТЁТ ВДВОЕ БЫСТРЕЕ: 2,4,6,…).
ОБЕ СТРЕМЯТСЯ К БЕСКОНЕЧНОСТИ ПРИ N;;, НО ИХ ОТНОШЕНИЕ:
N;;LIMBNAN=N;;LIM2NN=21.
ТЕПЕРЬ ВОЗЬМЁМ ДРУГИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ:
• CN=N2 (РАСТЁТ БЫСТРО);
• DN=N (РАСТЁТ МЕДЛЕННЕЕ).
ИХ ОТНОШЕНИЕ:
N;;LIMDNCN=N;;LIMNN2=N;;LIMN=;.
А ЕСЛИ ВЗЯТЬ EN=N И FN=N3, ТО:
N;;LIMFNEN=N;;LIMN3N=N;;LIMN21=0.
ВЫВОД: РЕЗУЛЬТАТ ДЕЛЕНИЯ «БЕСКОНЕЧНОСТЕЙ» ЗАВИСИТ ОТ ТОГО, КАК БЫСТРО ОНИ РАСТУТ. ВОЗМОЖНЫЕ ИСХОДЫ:
• КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО (НАПРИМЕР, 21, 1, 3);
• НОЛЬ;
• БЕСКОНЕЧНОСТЬ.
КАК «РАСКРЫТЬ» НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ
В МАТЕМАТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ДЛЯ РАБОТЫ С ;; ИСПОЛЬЗУЮТ МЕТОДЫ РАСКРЫТИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ. ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ:
1. ДЕЛЕНИЕ НА СТАРШУЮ СТЕПЕНЬ. ЕСЛИ В ЧИСЛИТЕЛЕ И ЗНАМЕНАТЕЛЕ — МНОГОЧЛЕНЫ, ДЕЛЯТ НА X В НАИБОЛЬШЕЙ СТЕПЕНИ. ПРИМЕР:
X;;LIMX2;5X3X2+X+1=X;;LIM1;X53+X1+X21=1;03+0+0=3.
2. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ. ЕСЛИ ПРЕДЕЛ ДАЁТ ;;, МОЖНО ВЗЯТЬ ПРОИЗВОДНЫЕ ЧИСЛИТЕЛЯ И ЗНАМЕНАТЕЛЯ:
X;;LIMXLNX=[;;]=X;;LIM(X);(LNX);=X;;LIM1X1=0.
3. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. СРАВНЕНИЕ СКОРОСТЕЙ РОСТА ФУНКЦИЙ: ЭКСПОНЕНТА РАСТЁТ БЫСТРЕЕ МНОГОЧЛЕНА, ТОТ — БЫСТРЕЕ ЛОГАРИФМА.
КОГДА ;; МОЖЕТ БЫТЬ 21?
РАВЕНСТВО ;;=21 ИМЕЕТ СМЫСЛ ТОЛЬКО КАК КРАТКАЯ ЗАПИСЬ ПРЕДЕЛА:
ЕСЛИ X;;LIMF(X)=; И X;;LIMG(X)=;, ПРИЧЁМ X;;LIMG(X)F(X)=21,
ТО ГОВОРЯТ, ЧТО «ОТНОШЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОСТЕЙ РАВНО 21». НО ЭТО НЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ, А ХАРАКТЕРИСТИКА ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ.
ФИЛОСОФСКИЙ ПОДТЕКСТ
ПАРАДОКС ;; НАПОМИНАЕТ О ГРАНИЦАХ ИНТУИЦИИ. МЫ ПРИВЫКЛИ, ЧТО AA=1, НО БЕСКОНЕЧНОСТЬ ЛОМАЕТ ЭТОТ ШАБЛОН. ОНА УЧИТ НАС:
• РАЗЛИЧАТЬ АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА (ВАЖНО НЕ «СКОЛЬКО», А «КАК БЫСТРО»);
• ВИДЕТЬ ЗА СИМВОЛАМИ ПРОЦЕССЫ (ПРЕДЕЛЫ ВМЕСТО ЧИСЕЛ);
• ПРИНИМАТЬ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ КАК ЧАСТЬ ПОЗНАНИЯ.
________________________________________
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ВЫРАЖЕНИЕ ;;=21 — ЭТО НЕ ОШИБКА, А МЕТАФОРА. В СТРОГОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ ОНО НЕВЕРНО: БЕСКОНЕЧНОСТЬ НЕЛЬЗЯ ДЕЛИТЬ КАК ЧИСЛО. НО КАК СПОСОБ ОПИСАТЬ СООТНОШЕНИЕ ДВУХ НЕОГРАНИЧЕННО РАСТУЩИХ ВЕЛИЧИН — ВПОЛНЕ ДОПУСТИМО. ГЛАВНОЕ — ПОМНИТЬ: ЗА ЗАГАДОЧНЫМ СИМВОЛОМ ; ВСЕГДА СТОИТ КОНКРЕТНЫЙ ПРОЦЕСС, КОТОРЫЙ И ОПРЕДЕЛЯЕТ РЕЗУЛЬТАТ.
«БЕСКОНЕЧНОСТЬ — ЭТО ДВЕРЬ. ЗА НЕЙ — НЕ ОТВЕТ, А ВОПРОС: КАК ИМЕННО МЫ К НЕЙ ПРИБЛИЖАЕМСЯ?»