Занимательная арифметика от Элефантова. 3

Магия чисел: от любимых циферок до монстров, которые взрывают мозг

Часть четвёртая. Гугол и гуголплекс: когда числа становятся вселенной

---

Вступление: границы воображения

В предыдущей части мы путешествовали по уютному миру маленьких чисел — от нуля до десяти, где каждая цифра имеет свой характер, свою историю и свою магию. Мы говорили о культовых числах вроде 42 и 73, которые стали легендами благодаря поп-культуре. Мы остановились на десятке — числе завершения и нового старта.

Но математика не заканчивается на десяти. Она только начинается. И теперь, когда мы простились с уютным миром маленьких чисел, пора отправиться в путешествие по землям, где цифры теряют человеческий масштаб и становятся чем-то большим, чем просто инструмент счета.

Добро пожаловать в мир очень больших чисел. Здесь не работают привычные мерки. Здесь атомы Вселенной — это песчинки, а возраст Вселенной — мгновение. Здесь числа существуют только в головах математиков, потому что в реальности для них нет места. И тем не менее, они есть.

---

Гугол: единица со ста нулями

Начнем с числа, у которого есть имя, известное даже тем, кто математику не любил. Гугол — это 10 в 100-й степени. Единица со ста нулями.

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Выглядит внушительно, но даже эта запись не передает масштаба. Сто нулей — это много, но это всего лишь сто знаков. Мы можем написать гугол на бумаге. Он займет пару строк. Но осознать его — не можем.

История появления гугола трогательна и немного абсурдна. В 1938 году американский математик Эдвард Казнер гулял со своим девятилетним племянником Милтоном Сироттой. Ученый объяснял мальчику, что существуют очень большие числа, у которых нет названий. И предложил придумать название для числа 10 в 100-й степени. Милтон, недолго думая, выпалил: "Гугол!".

Так девятилетний ребенок вошел в историю математики. Позже Казнер ввел и понятие "гуголплекс" — 10 в степени гугол. На вопрос, сколько это, Милтон ответил: "Это единица, после которой нужно писать нули до тех пор, пока не устанешь". Ученый объяснил племяннику, что так не годится — ведь можно устать в разное время. Тогда мальчик уточнил: "Пиши нули, пока не надоест, а потом еще столько же". Гениальное детское определение, которое, впрочем, математикам пришлось уточнять.

Но вернемся к гуголу. Чтобы понять его масштаб, нужны сравнения.

Во всей видимой Вселенной содержится примерно 10 в 80-й степени атомов. Это атомы всех звезд, всех планет, всей межзвездной пыли, всего, что мы можем увидеть в телескопы. Десять в восьмидесятой степени. А гугол — это десять в сотой степени. Разница — в 10 в 20-й степени раз. Это сто квинтиллионов раз. Если каждый атом Вселенной умножить на сто квинтиллионов, мы только тогда приблизимся к гуголу.

Если попытаться записать гугол цифрами, понадобится сто знаков. Это не так уж много — обычный абзац текста. Но если каждую секунду записывать по одной цифре, чтобы написать гугол полностью, потребуется сто секунд? Нет. Сто секунд — это всего сто цифр. Мы говорим о времени, за которое можно записать гугол цифр. Если писать по одной цифре в секунду, понадобится 10 в 100-й степени секунд. Возраст Вселенной — примерно 10 в 17-й степени секунд. То есть в 10 в 83-й степени раз меньше. Если бы мы начали писать гугол цифр в момент Большого взрыва, сегодня мы не написали бы даже ничтожной доли.

Вся информация, накопленная человечеством, все книги, все сайты, все базы данных, весь интернет — это примерно 10 в 24-й степени байт. Для гугола это пылинка. Даже не пылинка, а пылинка от пылинки.

Зачем нужно такое число? Ни для чего практического. Гугол не применяется в физике или инженерии. Он существует чисто для математического любопытства, чтобы показать, как легко придумать число, превышающее любые реальные величины. Это способ сказать: математика больше Вселенной.

Кстати, компания Google названа именно в честь гугола — с намеренной ошибкой в написании. Основатели хотели показать, что их поисковик может обработать невообразимые объемы информации. Правда, они немного просчитались: гугол все-таки больше, чем весь интернет. Но название прижилось, и теперь мы каждый день произносим имя числа, которое не может существовать в реальности.

---

Гуголплекс: когда одного гугла мало

Если гугол кажется вам большим, познакомьтесь с его старшим братом. Гуголплекс — это 10 в степени гугол. Единица, после которой идет гугол нулей.

Это число невозможно записать в десятичной форме. Даже если каждый атом во Вселенной превратить в чернила, чернил не хватит. Даже если на каждом атоме разместить по одной цифре, атомов не хватит. Даже если записывать цифры на уровне планковской длины (самом маленьком расстоянии, которое имеет физический смысл), места во Вселенной не хватит.

Гуголплекс существует только в воображении математиков. Мы можем определить его формулой: 10^(10^100). Мы можем рассуждать о его свойствах. Мы можем использовать его в доказательствах. Но представить его — не можем.

Философский вопрос: если число существует в математике, но его нельзя записать, нельзя представить, нельзя использовать в реальных расчетах — существует ли оно на самом деле? Математики отвечают: да. Потому что математика — это мир идей, а мир идей не обязан соответствовать физической реальности.

Если где-то во Вселенной есть цивилизация, использующая гуголплекс в расчетах, — насколько же они безумны? Насколько мощными должны быть их компьютеры, чтобы оперировать числами, которые невозможно записать? Насколько велика должна быть их Вселенная, чтобы вместить такие числа? Ответ: их Вселенная должна быть больше нашей. Или они оперируют символами, не расписывая числа полностью — как это делаем мы.

---

Миллион, миллиард, триллион... дальше

Прежде чем двигаться к совсем уж чудовищным числам, давайте вспомним иерархию больших чисел, с которыми мы сталкиваемся в жизни.

Миллион — 10 в 6-й. Миллиард — 10 в 9-й. Триллион — 10 в 12-й. Квадриллион — 10 в 15-й. Квинтиллион — 10 в 18-й. Секстиллион — 10 в 21-й. Септиллион — 10 в 24-й. Октиллион — 10 в 27-й. Нониллион — 10 в 30-й. Дециллион — 10 в 33-й.

И так далее. Каждое следующее название добавляет три нуля. Есть даже центиллион — 10 в 303-й степени. Но все эти числа меркнут перед гуголом. Центиллион — это всего лишь 10 в 303-й, а гугол — 10 в 100-й. Центиллион больше? Нет, 303 больше 100? Подождите, я запутался. Давайте разберемся.

10 в 100-й — это гугол. 10 в 303-й — это центиллион. 303 больше 100, значит, центиллион больше гугола. Правильно? Нет, неправильно. Я ошибся. 10 в 303-й действительно больше, чем 10 в 100-й. То есть центиллион больше гугола. Но центиллион — это не самое большое число в этом ряду. Есть еще дуцентиллион (10 в 603-й), трецентиллион (10 в 903-й) и так далее. Все они меньше гуголплекса, но некоторые больше гугола.

Я запутался в собственных рассуждениях, и это нормально. Когда имеешь дело с большими числами, запутаться легко. Главное помнить: гугол — это 10 в 100-й. Любое число, которое можно записать как 10 в степени больше 100, больше гугола. Но таких чисел бесконечно много. И все они меньше гуголплекса.

---

Скьюз и его чудовище

В 1933 году южноафриканский математик Стэнли Скьюз доказывал теорему, связанную с распределением простых чисел. И в доказательстве у него появилось число, которое потом назвали его именем — число Скьюза.

Оригинальное число Скьюза выглядит так: e в степени e в степени e в степени 79. Если записать это в более понятном виде, это примерно 10 в степени 10 в степени 10 в степени 34. То есть башня из степеней высотой в три этажа, где наверху 34.

Позже Скьюз уточнил свою оценку, и появилось второе число Скьюза — примерно 10 в степени 10 в степени 10 в степени 963. Еще больше, еще чудовищнее.

Для чего нужно это число? Скьюз использовал его, чтобы показать, где гипотеза Римана (одна из самых знаменитых нерешенных математических проблем) начинает давать сбой. В реальной жизни это число не встречается. Оно просто есть — где-то там, в математической вселенной, куда нет доступа ни физикам, ни инженерам, ни простым смертным.

Число Скьюза настолько велико, что даже гугол рядом с ним — карлик. Гугол — это 10 в 100-й. А число Скьюза — это 10 в 10 в 10 в 34-й. То есть сначала 10 в 34-й, потом 10 в эту степень, потом 10 в эту степень. Каждый следующий шаг взрывает масштаб.

---

Число Грэма: король больших чисел

Если числа Скьюза известны только специалистам, то число Грэма — настоящая звезда среди математических монстров. В 1970-х годах Рональд Грэм решал задачу из теории Рамсея (раздел математики, изучающий условия появления упорядоченных структур в хаосе). И в доказательстве у него появилось число, которое потом вошло в Книгу рекордов Гиннесса как самое большое число, использованное в серьезном математическом доказательстве.

Число Грэма настолько огромно, что для его описания обычных степеней недостаточно. Математики используют так называемую стрелочную нотацию Кнута. Выглядит это так:

Одна стрелка — обычное возведение в степень. 3;3 = 3 в степени 3 = 27.
Две стрелки — башня степеней. 3;;3 = 3 в степени 3 в степени 3 = 3 в степени 27 = 7 625 597 484 987. Уже семь триллионов.

Три стрелки — это башня из степеней, высота которой равна результату двух стрелок. 3;;;3 = 3;;(3;;3) = 3;;7 625 597 484 987. То есть башня из степеней высотой в семь с лишним триллионов этажей. Если каждую степень записывать на бумаге, высота стопки листов превысит размеры Вселенной.

Четыре стрелки — это уже полный кошмар. 3;;;;3 = 3;;;(3;;;3). А число Грэма — это башня из таких стрелок высотой в 64 этажа. Первый этаж: G1 = 3;;;;3 (четыре стрелки). Второй этаж: G2 = 3;;...;;3, где количество стрелок равно G1. Третий этаж: количество стрелок равно G2. И так далее, до G64.

G64 — это и есть число Грэма.

Самое удивительное: последние цифры числа Грэма известны. Оно заканчивается на ...2464195387. Математики вычислили их, хотя само число полностью неизвестно. Никто не знает, чему равно число Грэма. Мы знаем только, что оно есть, и что оно чудовищно велико.

Число Грэма настолько большое, что если представить всю Вселенную заполненной цифрами, в ней не хватит места для его записи. Если каждую цифру записывать на атомном уровне, атомов не хватит. Если каждую цифру записывать на уровне планковской длины (самом маленьком возможном расстоянии), пространства не хватит.

Число Грэма существует только в воображении. И это воображение не может его вместить.

---

TREE(3): когда число Грэма — ноль

Если число Грэма кажется вам большим, познакомьтесь с TREE(3). Это число из теории графов, и оно делает Грэма карликом.

TREE(3) появилось в комбинаторике, в задаче о построении деревьев (особых графов) с определенными свойствами. Функция TREE(n) растет невероятно быстро. TREE(1) = 1. TREE(2) = 3. TREE(3) = невообразимо.

Настолько невообразимо, что число Грэма по сравнению с TREE(3) — как ноль по сравнению с гуголом. Даже не ноль, а что-то еще меньшее. TREE(3) нельзя выразить даже стрелочной нотацией Кнута. Для него нужны свои, еще более мощные способы записи.

Математики шутят: если где-то есть вселенная, где TREE(3) — это количество атомов, то насколько же она безумна? Ответ: она бесконечно безумна, потому что TREE(3) больше любой мыслимой величины.

И TREE(3) — не предел. Есть еще SSCG(3), SCG(13) и другие чудовища, которые растут еще быстрее. SSCG(3) больше, чем TREE(TREE(TREE(...TREE(3)...))) с TREE(3) вложениями. Это уже запредельные высоты.

---

Число Райо: абсолютный рекордсмен

И наконец, самое большое именованное число (по состоянию на 2024 год). Число Райо было придумано в 2007 году математиком Агустином Райо на конкурсе "больших чисел" в Массачусетском технологическом институте. Правила конкурса: нужно назвать самое большое число, которое можно определить на языке теории множеств, используя не более 10 в 100-й степени символов.

Райо победил. Его число определяется так: "Наибольшее число, которое можно определить на языке теории множеств, используя не более 10 в 100-й степени символов".

Звучит как тавтология, но это гениальная тавтология. Число Райо — это число, которое нельзя описать никакой формулой короче, чем 10 в 100-й степени символов. Оно настолько огромное, что делает TREE(3) и все остальные числа пренебрежимо малыми.

Число Райо нельзя вычислить никаким конечным способом. Оно просто есть — как математический объект, как идея, как предел нашего воображения. Математики шутят: если вы думаете, что понимаете число Райо, — вы его не понимаете.

---

Бесконечность — но это уже жульничество

В конце любого разговора о больших числах кто-нибудь обязательно скажет: "А бесконечность больше!". И будет прав. Но бесконечность — это не число. Это концепция, это идея, это способ мышления.

В математике есть разные бесконечности. Есть счетная бесконечность (количество натуральных чисел). Есть несчетная бесконечность (количество действительных чисел). Есть бесконечности более высоких порядков. Этим занимается теория множеств, и там свои чудовища — ординалы, кардиналы, недоступные кардиналы и прочие конструкции, от которых голова идет кругом.

Но это уже другая история. Для нашего путешествия достаточно знать: числа, о которых мы говорили, конечны. Они невероятно, чудовищно, абсурдно велики, но они конечны. Их можно определить. Им можно дать имя. Их можно использовать в доказательствах. И в этом их величие.

---

Вместо послесловия: зачем все это нужно

После знакомства с этими монстрами естественно спросить: а зачем? Зачем придумывать числа, которые невозможно записать, невозможно представить, невозможно использовать? Какая польза от гуголплекса или числа Грэма обычному человеку, который считает деньги в кошельке и дни до зарплаты?

Ответ прост: математика — это не только про практику. Это еще и про игру ума. Про границы человеческого воображения. Про то, как далеко мы можем зайти, отталкиваясь от простых аксиом.

Числа от 0 до 10 окружают нас каждый день. Гугол и гуголплекс показывают, что можно придумать число, большее всего, что существует в реальности. А числа Скьюза, Грэма, TREE(3) и Райо доказывают: воображение математика не имеет границ. Если есть задача, для которой нужно очень большое число, математик его придумает — даже если это число нельзя записать, но можно определить.

И в этом есть что-то утешительное. На фоне таких чисел наши повседневные проблемы кажутся мелкими. Наши тревоги — ничтожными. Наша жизнь — мгновением между двумя бесконечностями.

Так что любите свои маленькие числа. 13, 27, 42 — неважно. Они ваши. А огромные чудовища пусть живут своей жизнью в математических статьях, которые никто не читает. Им там хорошо.

---

P.S. Если после этой статьи вы почувствовали себя ничтожным — попробуйте представить TREE(3). У вас не получится, но сам процесс очень смиряет гордыню.

P.P.S. Говорят, что где-то в параллельной вселенной есть цивилизация, у которой число Райо — это количество пальцев на руке. Но это непроверенная информация.

---

Вадим Элефантов (hobboth),
исследователь числовой вселенной