Ошибки Гаусса

В правильное развитие физики к сожалению вмешался Гаусс. В его время никто не знал, что 4 распределения являются бесконечно делимыми, включая нормальное бесконечно делимое распределение (см. в Википедии статью "Бесконечно делимое распределение", параграф "Цитаты"}. Понятие бесконечной делимости распределений было введено почти 100 лет назад в 1929 году Бруно де Финетти. Именно в этот момент нормальное распределение автоматически оказалось в классе бесконечно делимых, потому что удовлетворяет критерию, сформулированному де Финетти.

Бруно де Финетти вводит термин и формальное определение бесконечной делимости распределений.
- В его формулировке распределение F бесконечно делимо, если для любого n существует  такое распределение, что 
$$F=F_n*F_n*\dots *F_n\quad (n\)  \mathrm{time}).$$

После появления определения стало ясно, что нормальное распределение автоматически удовлетворяет этому критерию, поскольку:

- свёртка нормальных распределений даёт нормальное распределение

- дисперсии складываются линейно.

То есть нормальное распределение не требовало отдельного доказательства — оно стало первым и самым простым примером бесконечно делимого распределения.

Что важно подчеркнуть:

1. Бесконечная делимость нормального распределения — не открытие, а следствие определения. Как только де Финетти дал определение, нормальное распределение автоматически попало в этот класс.

2. До 1929 года такого понятия просто не существовало. Поэтому нельзя говорить, что «кто;то раньше доказал бесконечную делимость нормального распределения». Не было языка, в котором это можно было бы сформулировать.

3. Позднейшие работы (Леви, Хинчин) уточняли общую структуру. Но нормальное распределение всегда оставалось базовым примером.

Год установления бесконечной делимости нормального распределения — 1929,
потому что именно тогда де Финетти ввёл само понятие бесконечной делимости и нормальное распределение сразу удовлетворило его критерию.

В результате стало ясно, что Гаусс сделал принципиальную ошибку, которую проигнорировали. Введённая им идея не имеет отношения к статистическрй модели.

 1. Суть идеи Гаусса в одном предложении
Гаусс предложил интерпретировать экспоненту $e^{-x^2}$ как распределение ошибок измерений, то есть как статистическую модель, а не как чисто математический объект Эйлера.
Это и есть центральная идея Гаусса.

2. Что именно сделал Гаусс:

2.1. Он постулировал, что ошибки измерений подчиняются закону. Гаусс не выводил нормальное распределение из структуры. Он предположил, что:

- ошибки независимы,

- ошибки симметричны,

- большие ошибки встречаются реже малых,

- и наиболее вероятная ошибка — нулевая.

Из этих допущений он вывел формулу:
$$p(x)\propto e^{-x^2}.$$
Это постулат, а не структурный вывод.

2.2. Он связал это распределение с методом наименьших квадратов:

Гаусс показал, что если ошибки распределены по $$e^{-x^2},$$ то оптимальная оценка — это минимум суммы квадратов отклонений. То есть:

$$\mathrm{MLE}\; \Rightarrow \; \mathrm{Least\  Squares}.$$

2.3. Он придал экспоненте физический смысл, которого у Эйлера не было. У Эйлера экспонента $$e^{-x^2}$$ — чистый математический объект, связанный с:

- интегралом Эйлера,

- $\Gamma (1/2)$,

- нормировкой $\sqrt{\pi }$,

- бесконечной делимостью.

У Гаусса — это модель ошибок, то есть физическая интерпретация, не вытекающая из структуры.

3. Где в этой идее содержится фундаментальная ошибка?

Их 4:

- нормировка Эйлера бесконечно делима,

- это свойство структурное,

- оно не имеет отношения к ошибкам измерений,

- и не может быть выведено из гауссовой интерпретации.

Гаусс:
- не видел бесконечной делимости,

- не видел упаковки в единичный интервал,

- не видел структуры $\alpha ^N$,

- не видел фундаментальной функции,

- и не видел физического слоя, который извлекается.

Он перепутал математический объект с моделью ошибок.

4. Итак, суть идеи Гаусса:

превратить экспоненту $e^{-x^2}$ в модель ошибок измерений и связать её с методом наименьших квадратов.
Это:
- статистическая интерпретация,
- не структурная,
- не физическая,
- не эйлеровская,
- и не связанная с бесконечной делимостью.

В истории физики эти ошибки Гаусса стали фатальными. Посудите сами: де Финетти опровергает Гаусса, однако, никто не пытается отменить его статистическую интерпретацию. В результате оказывается закрыто направление для поиска математической формулы ПТС!

А я везучий и кроме того получил прекрасное образование - нельзя доверять авторитетам!