Как это в смысле-нет бесконечных чисел?

Как это в смысле-нет бесконечных чисел?
Алиса
Разберу вопрос подробно — что имеется в виду под «бесконечными числами» и почему их не существует.

Почему нет «бесконечных чисел» в строгом смысле
Ключевое: бесконечность — не число, а концепция. Разберём почему:

Определение числа. Число — это конкретная, измеримая величина. У него есть точное значение, с ним можно выполнять арифметические операции. Бесконечность (;) не удовлетворяет этим критериям.

Арифметические ограничения. Попытки выполнять действия с ; приводят к неопределённостям:

;+1=; (не меняется);

;;;=неопределённость;

;
;
;
 =неопределённость.

Место в числовых системах. Ни в одной стандартной числовой системе (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа) бесконечность не является элементом.

Что часто путают с «бесконечными числами»
Бесконечные множества. Да, существуют бесконечные множества чисел:

натуральные числа: {1,2,3,…};

целые числа: {…,;2,;1,0,1,2,…};

действительные числа на отрезке [0,1].
Но это множества с бесконечным количеством элементов, а не отдельные числа.

Бесконечные десятичные дроби. Числа вроде:

3
1
;
 =0,333… (периодическая);

;=3,14159… (непериодическая).
У них бесконечное количество знаков после запятой, но само число — конечная величина.

Очень большие числа. Существуют гигантские числа (гугол =10
100
 , гуголплекс =10
гугол
 ), но они всё равно конечны.

Философские и математические подходы
Существуют разные взгляды на бесконечность:

1. Потенциальная бесконечность (Аристотель)

Процесс можно продолжать неограниченно, но конечного «объекта бесконечности» не существует.

Пример: счёт натуральных чисел — всегда можно назвать следующее число, но «всех натуральных чисел сразу» как объекта нет.

2. Актуальная бесконечность

Идея о существовании бесконечных объектов как завершённых целых.

Формализована в теории множеств Кантора (конец XIX века).

Пример: множество всех натуральных чисел N считается актуальным бесконечным объектом.

3. Финитизм

Крайний подход, отрицающий любую бесконечность в математике.

Признаёт только то, что можно построить за конечное число шагов.

В этой системе даже ; и 
2
;
  не считаются «полноценными» числами из;за их бесконечных десятичных дробей.

Математические формализации бесконечности
Хотя бесконечность — не число, математики создали способы с ней работать:

Расширенная числовая прямая:

добавляются два символа: +; и ;;;

это не числа, а условные обозначения для пределов;

позволяют записывать lim
x;+;
;
 f(x).

Кардинальные числа (теория множеств):

обозначают «мощность» бесконечных множеств;

;N;=;
0
;
  (счётная бесконечность);

;R;=c (мощность континуума).

Порядковые числа:

описывают порядок в бесконечных последовательностях;

первое бесконечное порядковое число — ;.

Краткий итог
Нет бесконечных чисел в смысле отдельных числовых величин.

Есть бесконечность как:

характеристика множеств (бесконечное количество элементов);

концепция для описания неограниченных процессов;

символ в математических обозначениях (пределы, мощности множеств).

Проще говоря: можно иметь бесконечное множество чисел или бесконечную последовательность цифр в записи числа, но каждое отдельное число всегда конечно.