Эффект смещения центра равновесия

Данная публикация предназначена для российской блог-платформы «Дзен» и для распространения на других платформах.

Наука – это когда что-то можно посчитать.

Помню, когда в школе на уроках математики начали решать задачки с иксами, отец подсунул набольшую книжицу с названием «Занимательная математика». У него была личная библиотека художественной литературы, – там и развивающие книги. Многие упражнения и задачи давались легко, но запомнилась такая:
«Летела стая гусей. Навстречу ей гусь: - Здравствуйте, сто гусей! - Нас не сто! – отвечал вожак стаи, – Если взять столько, сколько нас в стае, ещё столько, да полстолька, да четверть столька, да ещё тебя одного, вот тогда будет ровно сто!
Так сколько же в стае летело гусей?»

Когда я решил эту задачку методом подбора, был просто счастлив! А позже уже сообразил, как можно записать уравнение с использованием икса. Нужно было уметь ещё и преобразовывать дроби, складывая (1+1+1/2+1/4), иначе не решить.

А затем, спустя много лет, когда мой сын начал “проходить” в школе иксы и дроби, я ему продиктовал эту задачку. Он долго мучился, и в итоге выдал уникальнейший результат: в стае летело 36,5 гусей! Мы хохотали вместе до упаду!

Видимо, анализируя ситуацию, он никак не мог представить летящего гуся в двух ипостасях: вне стаи, “разговаривая” с вожаком, и внутри стаи, присоединившись абстрактно для решения математической задачки: вот его ум и «раздвоился».

Это ещё что. Бывает, кто-то просто не понимает условия задачи. Представляете, насколько можно “расщепить” мозг доверчивого третьеклассника, которого только начинают знакомить с иксами, а о дробях он ещё ничего не знает? Или заменить в условиях задачи какое-то одно слово? Если, например, пролетающего мимо стаи гуся поменять на утку? Или перефразировать так: «Летела стая гусей. Навстречу ей крокодил: - Здравствуйте сто гусей!...» – и так далее. Юный математик не сразу сообразит, что складывать гусей с уткой или крокодилом невозможно, даже если это [по чьей-то глупости] записано в условиях математической задачи.

Ясно, кто-то в этом месте улыбнётся и смекнёт, что крокодил МОЖЕТ пролетать мимо стаи гусей, если его сбросили на землю из корзины воздушного шара! А вот “складывать” летящего крокодила совершенно невозможно с иными “летающими объектами”, кроме как с такими же крокодилами. Причём, в абстракционизме, куда в основном “прикладываются” математические изощрения, вовсе не обязательно уточнять, в каком направлении движутся те или иные “исчисляемые объекты”.

Ещё удивительней бывает, когда те же математические приёмы распространяют на астрофизику, биохимию и другие науки, руководствуясь абстракциями и не придавая маломальского значения сути явлений или процессов. Например, всем теперь уж известно, что энергетические потоки в Природе развиваются только по пути с наименьшими потерями. Энергия вообще «ленива» и не расходуется зря.

Для исчислений и решения математических задач различного уровня необходимо удостовериться в корректности изначально постановочных условий!

Особенно в вопросах, касающихся мироздания. Кто придумал «гелиоцентризм»?

Прежде, чем утверждать о «гелиоцентрическом устройстве мира», надобно было подумать, зачем Земле “лететь” вокруг Солнца с большой скоростью? Хотя в те времена не существовало понятия “скорости” в его современном понимании, не было известно и расстояние от Земли до Солнца (его установили позже). Будет ли Земля “лететь” непонятно зачем относительно остальных звёзд на небесном купле? Земля ведь не может «раздвоиться» (как ум моего сына в вышеописанной задачке) и мимо какой-то одной звезды (условно – мимо «солнца») “лететь” со скоростью 30 км/с, а относительно других звёзд с той же скоростью “не лететь”? Или может? Что творится в «умах» учёных и педагогов?

Перечитайте, на всякий случай, мой “разговор” с Алисой AI:
http://proza.ru/2026/02/08/792

Ясно одно: Коперник ошибся! Либо преднамеренно, в угоду математикам, решил выдвинуть идею о «гелиоцентризме». Открою читателям «тайну»: в те времена (XVI-XVII века) математики не умели решать задачки с овалами. Они не научились описывать их до сих пор, считая овалы не математической кривой. Математика в Европе развивалась без учёта реальной картины и закономерностей в движении небесных тел. Однако, без реалий в мировоззрении невозможно было составлять календари (II тысячелетие до н.э.) – по суточному движению солнца и луны относительно наблюдателя на земле. Но даже этот фактор точного составления календарей не озадачил математиков и философов XVII века (Ньютона и прочих).

Надо отдать должное древним наблюдателям и естествоиспытателям в развитии геометрии и тригонометрии. Подтверждением тому является сочинение Ньютона «Математические начала натуральной философии», которое представляет собой, по сути, “учебник по геометрии”, куда включены примеры решения большинства известных геометрических задач эпохи Возрождения. С изобретением телескопов и микроскопов науки кардинально поменялись. Хотя небесная механика нисколько не изменилась за последние 3-4 тысячелетия, – моё субъективное мнение.

Итальянский и французский астроном Джованни Доменико Кассини (1625-1712) создал точную теорию атмосферной рефракции, основанную на законе синуса, установил периоды вращения Юпитера и Марса, открыл четыре спутника Сатурна и щель в кольцах Сатурна, изучал либрации Луны и составил наиболее точную на тот момент карту лунной поверхности. В 1672 году совместно с Жаном Рише измерил расстояние от Земли до Марса, а также приблизительное расстояние до Солнца (около 146 млн. км, по современным данным – около 150 млн. км).

Но его основные выводы, о которых старались умалчивать нерадивые философы, заключались в том, что он описал явление зодиакального света, выдвинул идею о конечности «скорости света», но отказался ввиду того, что это не соответствовало наблюдениям, раскритиковал гипотезу Рёмера о конечности «скорости света» и выгнал его из своей обсерватории, отвергал теорию Коперника, не признавал теорию «тяготения» Ньютона, предлагал заменить эллипсы Кеплера кривыми четвёртого порядка (овалами Кассини).

Главным тормозом прогрессивного естествознания в XVII веке стали математики! Заявление, что «математика ум в порядок приводит», действует в одном случае: когда исходные данные соответствуют достоверным природным процессам.

* * *
А теперь перейдём к теме настоящего урока “математической физики”. Сначала обратимся к картинкам и фото, что размещены перед текстом. Часть из них взята из свободного доступа в интернете, другая часть снимков сделана мной. Как все уже поняли, речь пойдёт о китайском волчке (фото в правом верхнем углу – такой волчок я подарил шестилетней внучке). Но давайте рассматривать по порядку.

На первой картинке – «шахматная доска» – с помощью лупы выделен фрагмент. Зрительно, похоже, фрагмент круглый, но есть ощущение, что форма лупы будто напоминает скруглённый квадрат. Хотя, может быть, это иллюзия. Поэтому такие эксперименты лучше проверять у себя дома. И если у вас нет шахматной доски, то наверняка найдётся тетрадь или тетрадный лист в клеточку. Следующие опыты проведены мной, – кроме тетради в клеточку мне понадобилась двояковыпуклая линза. Фрагменты раскрывают, что таким простейшим способом можно увидеть своими собственными глазами то, о чём не пишут в учебниках и не рассказывают учителя в школах и вузах.

Важно “уловить” кадры неподвижными, для чего лучше всего располагать линзу на подпорках. Фрагмент 1 – линза лежит прямо на тетрадном листе, отчётливо видны вогнутые клеточки; фрагмент 2 – линза опирается на кромки двух стаканов на 200 мл, – видим выпуклые клеточки. Итак, двояковыпуклая линза имеет два фокусных расстояния, при которых можно рассматривать отчётливо как вогнутые клеточки, так и выпуклые. Чёткость определяется расстоянием до фокусов.

Но что же будет, если линзу поместить между двух фокусов? Для рассмотрения фрагментов я расположил её на кромки двух рюмок на 30 мл (фрагменты 3-6).

Приближая и отдаляя фотокамеру планшета, удалось сделать разные снимки, на которых вместо клеточек тетрадных листов образуются поразительные картины “межклеточного пространства”. Почти на всех видны радужные оттенки вблизи изогнутых линий. Фрагменты 3 и 5 напоминают крылья бабочек, на фрагменте 4 – дольки апельсина, а на фрагменте 6 – человеческий глаз, вернее – сетчатку глаза изнутри. Если максимально приблизить картинки на экране, можно увидеть нити тонкоматериального мира! А это, на секундочку, новое ОТКРЫТИЕ МИРОВОГО УРОВНЯ! Присмотритесь повнимательнее!

Удивительно, в который раз  убеждаюсь, что все, абсолютно все, преобразования в Природе, а это значит, в Мироздании, происходят ВНУТРИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ФАЗ! Только пока об этом мало кто упоминает. Я не встречал информации ни в учебниках, ни в научной общепризнанной литературе. Находиться между двумя фокусами двояковыпуклой линзы – это всё равно, что попасть в межзеркалье, где действуют совершенно иные законы, пока что не известные человечеству.

А что станет с межклеточной картинкой, если процессы внутри границы раздела фаз возбудить? Фрагментарные изображения начнут одновременно двигаться – плавно или импульсивно вращаться, перемещаться, вибрировать… Непонятно становится, не правда ли? А вдруг волчок поможет разобраться? Волчок получил своё название в честь английского физика Томсона (лорда Кельвина), который впервые обратил внимание на его необычные динамические свойства (1891 год).

Внутри волчка происходят некие процессы, рассчитать которые математически не удаётся с 1891 года, – с тех пор, когда на одну из форм китайского волчка под названием «Wendekreisel» был выдан германский патент, однако в нём были указаны неправильные параметры – если им следовать, волчок не будет переворачиваться. В 1950 году волчок переоткрыл датский инженер Вернер Остберг, который также получил на него патент. С тех пор китайские волчки приобрели большую популярность.
 
Волчок Томсона – это игрушка, которая обладает свойством переворачиваться в процессе вращения и вставать на «ножку» (ось). Обычно он представляет собой усеченный шар с осью, расположенной в центре среза. При раскручивании такой волчок сначала вращается как обычная юла, затем постепенно или очень быстро заваливается на бок, упирается ножкой в поверхность и, переворачиваясь, встаёт не неё, продолжая вращение. Встаёт на ножку скачкообразно, при этом центр равновесия смещается вверх (поднимается). Игрушку ещё называют «тип-топ».

Исследования процесса вращения волчка проводили многие математики. Вот некоторые имена, названные в «быстрых ответах» Алисой AI:
– М.К.Чоччи и соавторы – в работе 2012 года изучали создание прототипа сферического китайского волчка. Они рассматривали механическую модель, где волчок представлялся как абсолютно твёрдый шар с осевой симметрией распределения масс, движущийся по горизонтальной плоскости с учётом силы вязкого трения.
– В.Ф.Журавлёв и Д.М.Климов – ввели в точке контакта силы сухого трения и полностью объяснили необычное движение китайского волчка.
– А.В.Карапетян и В.Н.Рубановский – провели наиболее полный анализ существования и устойчивости стационарных движений волчка тип-топ на основе модифицированной теории Рауса.

Также исследованиями китайского волчка занимались зарубежные авторы, которые анализировали его стационарные движения с помощью функций Ляпунова из убывающей функции энергии и интегралов Джеллетта.
Изучение китайского волчка остаётся предметом исследований, так как его динамика сложна и зависит от множества факторов, включая распределение массы, трение и параметры поверхности.

* * *
Я пересмотрел многие из работ вышеуказанных авторов исследований. Ниже в отзыве к данной публикации даю ссылку на комментарии к работе М.К.Чоччи и других «К созданию прототипа сферического китайского волчка» под редакцией А.А.Зобовой (МГУ им. М.В.Ломоносова, 2012, 4 стр.), опубликованные в журнале «Нелинейная динамика» (2012. Т. 8. №2. С. 427-430).

Данная статья А.А.Зобовой не содержит новых теоретических результатов. Тем не менее, эта статья представляет определённый методологический интерес (раздел 6 – создание прототипа, раздел 7 – результаты численных исследований) и предлагает интересную для работы со студентами идею о создании прототипов различных механических систем при помощи современных технологий.

Богатый список используемой литературы, в том числе зарубежной, подтверждает интерес студентов и учёных во всём мире к исследованию подобных систем. 

Для того, чтобы понять, откуда такой живой интерес к китайскому волчку, я задал вопрос искусственному интеллекту: «Имеет ли китайский волчок смещение оси симметрии?»

Получил подробный отчёт от Алисы AI: ///Китайский волчок (также известный как волчок Томсона или tippe-top) действительно демонстрирует необычное поведение, связанное с осью симметрии и центром масс, но сама ось симметрии не смещается – она жёстко закреплена в теле волчка.
Однако во время вращения происходит следующее:
– В начальный момент времени волчок вращается на сферическом основании, при этом центр масс находится ниже геометрического центра сферы, что обеспечивает устойчивость (как у неваляшки).
– При раскручивании ось симметрии постепенно наклоняется, и волчок, используя силы трения и гироскопический эффект, переворачивается на 180°.
– После переворота он продолжает вращаться уже на короткой оси-ручке. И в этом положении центр масс оказывается выше, чем в начальном.

Таким образом:
– Ось симметрии как физическая линия, проходящая через тело волчка, не смещается и не изгибается – она остаётся неизменной.
– Точка опоры перемещается с поверхности сферы на конец оси, и это создаёт впечатление, что волчок «меняет» своё равновесие.
– Центр масс относительно точки опоры смещается вверх, что и делает поведение волчка парадоксальным с точки зрения классической механики.

Это явление объясняется сложной динамикой вращающегося тела с учётом:
– гироскопических сил,
– сил трения (особенно трения качения и верчения).
– перераспределения энергии между вращательными и поступательными движениями.

Интересный факт: при перевороте направление вращения, если смотреть со стороны, остаётся тем же (например, по часовой стрелке), но собственное вращение тела (если отметить точку на поверхности) фактически инвертируется из-за изменения ориентации оси.

Вывод:
Смещение оси симметрии как таковой нет, но происходит динамическое изменение положения точки опоры и ориентации волчка, из-за чего создаётся эффект «самопереворачивания».///

Та же самая Алиса AI в «быстрых ответах» выдала следующее:
///Да. Китайский волчок (волчок Томсона, тип-топ) может иметь смещение центра масс относительно оси симметрии. Это связано с его формой и распределением массы.
Китайский волчок представляет собой усечённую сферу с короткой осью (стержнем), перпендикулярно закреплённой в центре круглой площадки усечения. В «идеальном исполнении» центр масс такого волчка лежит на оси вращения, и смещение центра масс относительно оси равно нулю. Однако в реальных условиях из-за неоднородности материалов, трения и других факторов это смещение может возникать.

Смещение центра масс приводит к возникновению центробежной силы. Которая стремится отодвинуть центр масс от оси вращения. Это создаёт момент сил, который может вызвать прецессию и переворачивание волчка в процессе вращения.
Поведение китайского волчка, включая его способность переворачиваться и  устойчиво вращаться в непривычном положении, объясняется сложной динамикой, включающей взаимодействие сил трения, гироскопического эффекта и момента инерции. Физика этого явления до сих пор изучена частично.///

* * *
Кто очень внимательно прочитал и вник в тексты «искусственного интеллекта» под названием «Алиса AI», возможно, уже догадался, зачем я привёл в начале задачку про стаю летящих гусей. Неверная постановка, либо опрометчивое слово приводит не к искажению условий задачи, а к полному их “недопониманию”!

Итак, можно до бесконечности сосредотачивать свой «раздвоившийся» ум над фразами и предложениями, где, БЕЗ ФОРМУЛ, «описывается» парадоксальное поведение китайского волчка, или попытаться самостоятельно cформулировать условия наукоёмкой задачи, чтобы хоть как-то что-то посчитать или сравнить с результатами других исследователей, а можно просто продолжить рассматривать картинки, фото и фрагменты видео перед настоящим текстом.

Вольфганг Паули и Нильс Бор – физики-теоретики, оба лауреаты Нобелевской премии по физике, демонстрировали переворачивание китайского волчка на открытии Института физики в Лунде (Швеция) в 1954 году (чёрно-белое фото).

В верхнем ряду [картинок] я представил формулы для определения сил инерции для различных геометрических фигур, причём распределение по различным осям у некоторых фигур отличается в разы. Данные картинки можно найти в интернете в большем количестве. Они удобны тем, что можно легко сравнивать как формы, так и различие в инерционных моментах для различных фигур и для одной и той же фигуры – по разным осям вращения. Даже третьеклассник и дилетант легко справится, составляя соотношения, потому что в этих соотношениях «масса» и «квадратный радиус» для одной и той же формы или фигуры сократится – останется значение возрастания или уменьшения инерционного момента при изменении положения во вращении.

Начинающий математик сообразит, можно ли сравнивать инерционный момент, например, для шара и сферы с одинаковыми радиусами, но разными массами? Или можно ли сравнивать инерционный момент вращения для одного и того же стержня, если за центр оси вращения выбрать сперва центр равновесия, а затем один (любой) край стержня?

Однако, изучение инерционного момента вращения – это лишь первый серьёзный шажок при постановке условий задачи для ведения расчётов китайского волчка.

В нижнем ряду, собственно, показаны фрагменты видео, где приоткрыты нюансы для более детального изучения данного явления-процесса с переворачиванием и прецессионным вращением не только волчка, но и подобных систем. Ссылку на видео даю также ниже настоящей публикации в отзыве.

У каждого уважающего себя математика есть шанс если не решить до конца эту замечательную задачу, то хотя бы попытаться грамотно составить условия для её успешного решения. Попытайтесь, может это получится именно у вас!

(Покуда математики пребывают в своём абстракционизме, где "Зенон" веками "гоняется" за черепахой и не может никак настигнуть, где "подпружиненная масса" совершенно случайным образом меняет свой "центр масс", где "квадратный радиус" описывет то ли окружность, то ли квадрат, то ли эллипс... , но уж точно не овал).

Продолжение следует…