Вероятностные характеристики сигналов электросвязи

Все реальные сигналы электросвязи (телефонные сигналы, сигналы радиовещания, телевизионные, факсимильные и т. д.) обладают свойством непредсказуемости их будущих мгновенных значений, так как только сигналы с непредсказуемыми будущими значениями могут служить материальными переносчиками информации. Общее характерное для таких сигналов свойство состоит в том, что их значения меняются во времени непредсказуемым, случайным образом.
Все модулирующие сигналы, которые содержат передаваемые сообщения, не являются детерминированными и, следовательно, не могут быть описаны с помощью детерминированных моделей. Это же замечание относится и к модулированным высокочастотным сигналам, поступающим на вход линии передачи или на вход приемника любой системы передачи информации. Невозможность использовать детерминированные модели для модулированных сигналов, обусловлена в первую очередь тем, что модуляция обычно осуществляется сигналами, для которых детерминированное описание непригодно. Кроме того, в процессе распространения от передатчика к приемнику высокочастотные сигналы обычно подвергаются непредсказуемым преобразованиям, которые также невозможно описать детерминированными моделями.
Вместе с тем необходимость математического описания непредсказуемых (недетерминированных) сигналов по-прежнему остается. Необходимо уметь рассчитываться спектр модулирующих сигналов при передаче тех или иных сообщений, ширину спектра этих сигналов, ширину спектра высокочастотных сигналов, модулированных недетерминированными сигналами. Математические модели таких сигналов необходимы для того, чтобы иметь возможность решать задачи их преобразования в различных радиотехнических устройствах (линейных, нелинейных, параметрических), т. е. модели по-прежнему нужны, чтобы правильно и наилучшим образом проектировать, строить и эксплуатировать системы передачи информации с помощью сигналов электросвязи.
Как следует подходить к проблеме математического описания недетерминированных сигналов, что следует взять в качестве математической модели таких сигналов, какими методами необходимо пользоваться при описании основных физических процессов? Ответы на эти вопросы были найдены в теории вероятностей. Только воспользовавшись идеями и методами этой теории, удалось четко сформулировать понятие математической модели недетерминированного сигнала и указать методы решения  задач, которые рассматриваются в теории передачи информации.  Методы описания недетерминированных сигналов и методы решения задач радиотехники при таких сигналах составляют раздел статистической радиотехники , из курса Теория связи. Современная теория  электросвязи в значительной своей части базируется на этих методах.
Сущность перехода к математическим моделям сигналов, не являющихся детерминированными, состоит в том, что в его основу положен вероятностный подход ко всем рассматриваемым сигналам. Согласию этому под-ходу в качестве модели любого недетерминированного сигнала предлагается использовать случайный процесс с подходящим образом выбранными вероятностными характеристиками.
Случайный процесс, который будем использовать в качестве математической модели некоторого недетерминированного сигнала, обозначим символом X(t). Если этот сигнал рассматривается на интервале времени от 0 до Т, то и процесс X (t) будем описывать на таком же интервале. Этот интервал обычно называют интервалом наблюдения; T—длительность интервала на-блюдения. В частном случае T может быть неограниченно большим. Из введенного обозначения X(t) следует, что любой случайный процесс в дальнейшем будем рассматривать как функцию времени. Предположим, что проводится одно наблюдение (испытание) над процессом X(t), если на интервале времени от О до Т.н. наблюдаются и регистрируются мгновенные значения функции X(t). В результате такого наблюдения будет получен график функции времени на данном интервале, которую называют реализацией случайного процесса X(t). Обозначим эту функцию символом х(1) (t), где верхний индекс, в круглых скобках указывает, что реализация получена при первом испытании.
Так, если провести второе испытание, наблюдая процесс X(t) и регистрируя его мгновенные значения на том же интервале времени, то получим вторую реализацию х(2)(t) этого процесса. При k-м испытании будет получена k-я реализация х(к) (t) и т. д. На рисунке 2.1, а) изображены графики реализаций процесса, полученные при проведении трех испытаний.
В теории вероятностей считается, что любой  случайный  процесс  можно  наблюдать (а значит и регистрировать его реализации) неограниченно большое число раз.
При таких испытаниях, как правило, появляются разные реализации; однако не исключено, что одна и та же реализация может поя-виться в разных испытаниях.
Мысленно можно представить себе совокупность разных реализаций, которые могут появиться при наблюдении над процессом X(t); такую совокупность называют ансамблем реализаций этого процесса. Каждая реализация процесса является детерминированной функцией времени. Случайность процесса X(t) проявляется в том, что до проведения испытания (наблюдения) нельзя предсказать, какая именно реализацию из ансамбля появится в данном испытании. Можно считать, что при испытании случайным образом «выбирают» одну из них.
Разные процессы могут иметь разные ансамбли реализаций; примеры таких ансамблей будут приведены ниже, когда будут обосновываться вероятностные модели некоторых реальных сигналов. Однако следует сразу под-черкнуть, что разные процессы могут иметь одинаковые ансамбли реализаций, т. е. один и тот же набор функций времени может быть выбран в качестве ансамбля реализаций разных процессов; такие процессы отличаются друг от друга вероятностными характеристиками, к рассмотрению   которых   теперь   можно   перейти.
Ансамбль реализаций – это совокупность разных реализаций, которые появляются при наблюдении над случайным процессом X(t).  Сделав такие подсчеты, по окончании многократных на-блюдений (апостериори) можно построить график, кривая которого будет показывать, как распределяются значения случайной величины x(t).

Плотность распределения вероятностей мгновенных значений характеризует частоту появления разных значений случайной величины при многократных наблюдениях.
Математическое ожидание и дисперсия. Это важные простейшие вероятностные характеристики любой случайной величины. Их называют часто параметрами плотности распределения вероятностей, которая задает вероятностное описание случайной величины.
Математическое ожидание определяет собой некоторую среднюю функцию, около которой группируются все возможные значения случайного процесса (по своему смыслу является средним значением случайной величины) и определяется
                ;
                m=  ; x*W(x)dx=M [ X] (2.1)
                - ;
Дисперсия является мерой разброса значений случайного процесса около его среднего значения. Чем больше дисперсия, тем сильней рассеиваются значения случайной величины, тем ближе закон распределения к равомерному, т. е. такому, при котором все значения процесса имеют одинаковую частоту появления. Дисперсию можно определить
                ;
                ;2=;( x-m)2*W(x)dx=D [ X] (2.2)
                - ;
Спектральная плотность характеризует распределение энергии процесса по оси частот. Случайный процесс, у которого спектральная плотность — величина постоянная, называется белым шумом. Например, флуктуационную помеху, в частности, внутренние шумы приемника, можно считать в первом приближении белым шумом.

ПОНЯТИЕ ЭНТРОПИИ. ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ИСТОЧ-НИКА И ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛА

 Для техники электросвязи характерно наличие большого разнообразия источников сообщений, существенно отличающихся друг от друга. Для пере-дачи сообщений, создаваемых этими источниками, могут быть применены различные каналы передачи. Чтобы, конкретный канал можно было приме-нить для передачи сообщений конкретного источника, канал должен удовлетворять определенным требованиям, которые зависят от характеристик источника. Важнейшей характеристикой, необходимой для этого, является скорость создания информации источником или производительность источника. Именно эта характеристика источника является основой выбора канала, обеспечивающего передачу сообщений данного источника. Введем определение этой характеристики на примере источника дискретных сообщений.

Рассмотрим дискретный источник с ансамблем возможных сообщений               
                а1,а2..., am

Любой источник при создании сообщений формирует последовательность символов (букв), каждый из которых он выбирает из этого ансамбля в соответствии с некоторым вероятностным правилом. Простейшим будет источник, который очередное сообщение выбирает независимо от результатов предыдущих выборок. Это так называемый источник без памяти. Вероятностная модель такого источника будет полностью задана, если заданы вероятности выбора отдельных сообщений
                Р(а1), Р(а2), ..., Р(am)                (2.4)
Количество информации, создаваемое источником при выборе символа аj (т. е. при выдаче этого символа на выход источника), обратно пропорционально вероятности Р(аj). Следовательно, если вероятности P(аj),      j =1…m , различны, то различные сообщения несут разное количество информации. Поскольку сообщения на выходе источника появляются случайно, то создаваемая источником информация I(аj), бит при выдаче разных сообщений оказывается дискретной случайной величиной, возможные значения которой определяются
                I(аj)= - log2 Р(аj)
        Математическое ожидание этой величины является важнейшей вероятностной характеристикой источника, называемой энтропией, Н, бит определяется
                m
                H=; P(a/)log2(1/P(аj))               
                j=1

Энтропия есть среднее количество информации, создаваемое источником при выдаче одного сообщения.


Многие реальные дискретные источники создают сообщения с постоянной скоростью, затрачивая время Т на формирование каждого очередного сообщения. Если источник без памяти имеет энтропию Н, бит, то производи-тельность такого источника Rи, бит/c определяется
                Rи = Н/T
 Производительность   источника и пропускная способность канала должны находиться в определенном отношении друг с другом, которое устанавливается фундаментальной теоремой теории информации. Сущность утверждения этой теоремы состоит в следующем:  если производительность источника дискретных сообщений Rи меньше пропускной способности    ка-нала С  (Rи < С) то существуют такие способы кодирования (преобразования сообщения в сигнал на входе канала) и декодирования (преобразования сигнала в сообщение на выходе канала), при которых вероятность ошибки пере-дачи одного сообщения может быть сколь угодно малой. Если же Rи  > С, то таких способов не существует.
Таким образом, пропускная способность канала С — это максимально возможное значение скорости безошибочной передачи сообщений по каналу с шумами.
                Rи < С
Неравенство является условием неискаженной передачи сигнала по каналу связи.

Заключение 

1 Все сигналы электросвязи являются случайными.
2 Случайный процесс используется в качестве математической модели сигнала электросвязи.
3 Вероятностными характеристиками сигналов электросвязи являются:
- ансамбль реализаций;
- плотность распределения вероятностей мгновенных значений;
- математическое ожидание;
- дисперсия;
- спектральная плотность мощности.
4 Энтропия есть среднее количество информации, создаваемое источником при выдаче одного сообщения.
5 Количество информации в дискретном сообщении вычисляется, как логарифм величины, обратной вероятности сообщения.
6 Наиболее распространенная единица количества информации – бит.
7 Максимальная скорость передачи информации по каналу ограничивается пропускной способностью канала.