Роковая ошибка Гаусса

Меня всегда удивляли высказывания о том, что в России ничего не изобрели. Однако, надо сказать, что если это и есть, то как подражания другим странам. Например, небезызвестный здесь Рома утверждает, что немец Гаусс был королём математики. А ведь он сделал фантастическую ошибку, которую все последователи Гаусса до сих пор игнорируют.

Однако, сначала я должен сказать, что приведённые формулы на языке ЛаТех можно игнорировать.

Во времена Гаусса никто не знал, что существует 4 распределения, которые являются бесконечно делимыми, включая нормальное распределение (См. в Википедии статью "Бесконечно делимое распределение", параграф "Цитаты"). Понятие бесконечной делимости распределений было введено почти 100 лет назад в 1929 году Бруно де Финетти. Он вводит термин и формальное определение бесконечной делимости распределений.

В его формулировке распределение F бесконечно делимо, если для любого n существует  такое распределение, что 
$$F=F_n*F_n*\dots *F_n\quad (n)  \mathrm {time}.$$

После появления определения стало ясно, что нормальное распределение автоматически удовлетворяет этому критерию, поскольку:

- свёртка нормальных распределений даёт нормальное распределение

- дисперсии складываются линейно.

То есть нормальное распределение не требовало отдельного доказательства — оно стало первым и самым простым примером бесконечно делимого распределения. 

Здесь важно подчеркнуть, что бесконечная делимость нормального распределения — не открытие, а следствие определения. Как только де Финетти дал определение, нормальное распределение автоматически попало в этот класс.

До 1929 года такого понятия просто не существовало. Поэтому нельзя говорить, что «кто;то раньше доказал бесконечную делимость нормального распределения». Не было языка, в котором это можно было бы сформулировать.

Позднейшие работы (Леви, Хинчин) уточняли общую структуру. Однако, нормальное распределение всегда оставалось базовым примером.


Год установления бесконечной делимости нормального распределения — 1929, потому что именно тогда де Финетти ввёл само понятие бесконечной делимости и нормальное распределение сразу удовлетворило его критерию.

В результате стало ясно, что Гаусс сделал принципиальную ошибку, которую проигнорировали. Введённая им идея не имеет отношения к статистической модели.

Суть идеи Гаусса в одном предложении: Гаусс предложил интерпретировать экспоненту $e^{-x^2}$ как распределение ошибок измерений, то есть как статистическую модель, а не как чисто математический объект Эйлера. Это и есть центральная идея Гаусса.

Гаусс постулировал, что ошибки измерений подчиняются закону. Гаусс не выводил нормальное распределение из структуры. Он предположил, что:

- ошибки независимы,

- ошибки симметричны,

- большие ошибки встречаются реже малых,
- и наиболее вероятная ошибка — нулевая.

Из этих допущений он вывел формулу:
$$p(x)\propto e^{-x^2}.$$
Это постулат, а не структурный вывод.

Гаусс связал это распределение с методом наименьших квадратов: он показал, что если ошибки распределены по $$e^{-x^2},$$ то оптимальная оценка — это минимум суммы квадратов отклонений. То есть:

(Метод максимального правдоподобия)\begin{math}
$$\mathrm{}\; \Rightarrow \; \mathrm{Least\  Squares}.$$
\end{math}

Он придал экспоненте физический смысл, которого у Эйлера не было. У Эйлера экспонента $$e^{-x^2}$$ — чистый математический объект, связанный с:

- интегралом Эйлера,

- $\Gamma (1/2)$,

- нормировкой $\sqrt{\pi }$,

- бесконечной делимостью.

У Гаусса — это модель ошибок, то есть физическая интерпретация, не вытекающая из структуры.

В этой идее содержатся фундаментальные ошибки:

- Гаусс просто не знал, что нормировка Эйлера бесконечно делима,

- делимость - это свойство структурное,

- оно не имеет отношения к ошибкам измерений,

- и не может быть выведено из гауссовой интерпретации.

Таким образом, Гаусс:

- не видел бесконечной делимости,

- не видел упаковки в единичный интервал,

- не видел структуры $\alpha ^N$,

- не видел фундаментальной функции $\mathbb{R}\left(x\right)$,

- и не видел извлекаемого физического слоя.

Он перепутал математический объект с моделью ошибок.

Итак, суть идеи Гаусса:

превратить экспоненту $e^{-x^2}$ в модель ошибок и связать её с методом наименьших квадратов. Это:

- статистическая интерпретация,

- не структурная,

- не физическая,

- не эйлеровская,
-
 и не связанная с бесконечной делимостью.
 
 
 Математически описать показанные выше рисунки можно с помощью нового математического объекта - структурного множества. Структурное множество — это множество, на элементах которого задана явная внутренняя структура (отношения, операции, геометрия), так что оно рассматривается не как простой набор, а как организованная решётка.
 В АТВ распределение ; структурное множество, структурное множество ; кристалл, кристалл ; спектр актов.
 
Новизна состоит во введении перехода: функция  ;
кристалл. Такого в физике не было. Это фундаментально сильнее, чем:
 
 преобразование Фурье,
 
 интеграл Фейнмана,
 
 спектральный анализ.
 
Потому, что в АТВ спектр = структура, структура = кристалл, кристалл = носитель новой физики.

Зачем Гаусс это сделал? Да просто крепко выпил. Как и небезызвестный Рома пишет здесь крепко выпивши. Сплошь ошибки в грамматике, нецензурные высказывания и полное неумение вести дискуссии.

Да, кстати, Рома ещё и врун. Утверждает, что закончил университет.