Магический октаэдр

МАГИЧЕСКИЙ ОКТАЭДР

Открытие, о котором пойдёт речь, произошло у меня ещё ровно сорок лет назад. Я им поделился только с друзьями, но о публикации даже не задумывался. А теперь вот решил им засветиться.
Есть материальный мир. Его мы измеряем в кубических единицах, поскольку используем три пространственные координаты. Если начать построение куба с линии его ребра, величиной в единицу, что и символизирует всякое начало, то в результате очерчивания квадратной грани мы получим основание, площадью тоже равной единице. И последующий объём будет единицей. А вот общая площадь поверхности куба — окажется шестёркой. Заметное число. Оно может символизировать наш временной мир, помимо прочего. Не зря и само время исчисляется у нас шестёрками. Мы в нём живём. А что, если выйти за рамки этого числа бренного мира, дойти, скажем, до семёрки, символизирующей переход в вечность, также помимо прочего? Дерзнём. И для этого, по-видимому, необходимо иметь пространственное тело с гранями более шести, если будем начинать с той же единицы. Уже есть правильный октаэдр из восьми равносторонних треугольников, тоже одно из «Платоновых тел», наряду с кубом. Начиная с единицы, очертив квадратное основание, мы ничего толкового не получим ни с его объёмом, ни с площадью поверхности. Семёрки из него не вытянешь. И вот, давайте попробуем выстроить иной октаэдр, опять же начиная с единицы. Но не с какого-либо ребра, а с диагонали будущего основания. То есть, мы действительно выходим за привычные рамки. Вторую диагональ увеличим вдвое, а третью, соответственно, втрое. Один, два, три. Просто. И вот в этой простоте и кроется особая красота, приводящая к фантастическому итогу. Мы получаем иной октаэдр, состоящий из восьми одинаковых, но неравносторонних треугольников. Итак. Единица (ab) и двойка (cd) образуют ромб в основании, тройка (ef) — задаёт положение вершин. И что ж, измерим свойства полученного тела. Площадь основания окажется равной единице (там четыре треугольника по 0,25). Уже хорошо. А каков объём? Пользуясь формулой исчисления объёма пирамиды, получим 1 х 1,5 / 3 х 2 = 1. Опять единица. Чудо какое-то. Похоже на то, что и у куба. А площадь поверхности? Что ожидает нас там, какой сюрприз? Придётся задержаться в этом процессе исчисления. Здесь 8 треугольников с неравными сторонами. Сначала найдём размер их оснований (ас) и остальных, используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников. И окажется, что они равны корню из пяти пополам (2,23606798… / 2). Теперь необходимо измерить высоту. Треугольники октаэдра наклонены относительно вертикальной диагонали, размер которой нам известен. То есть, мы можем создать вспомогательный прямоугольный треугольник (ghe), с одной известной стороной (ge), равной 1,5. Вторую сторону (gh) находим, пользуясь принципом подобия треугольников в основании октаэдра, где она окажется катетом ещё одного вспомогательного треугольника (gha) с гипотенузой (ga), равной 0,5. Снова нам помогает Пифагор и, зная, что эта диагональ по отношению к длинной стороне (gh) связана с корнем из пяти пополам, производим возвратный расчёт: 1 :  (05 х 2 х 2,23606798…)    и получаем длину этой стороны: 0,447213595… . А там уж ещё раз Пифагор, — и мы находим необходимую сумму квадратов катетов нашего первого вспомогательного треугольника (ghe), состоящей из 0,447213595… в квадрате, удивительным образом обращённый  из иррационального числа в число 0,2 , и 1,5 в квадрате, то есть, 2,25. Итого 2,45. Извлекаем из неё корень и получаем искомую высоту нашего треугольника поверхности октаэдра (аес). Это снова иррациональное число 1,56524758… Далее, размер основания, то есть, корень из пяти пополам помножаем на полученную высоту, делим ещё раз пополам и всё это умножаем на восемь. То есть, выходит 2,23606798… х 1,56524758… х 2.  И получаем фантастический результат, — целое число, да ещё какое, — настоящую семёрку! Ту самую, о которой мечтали.
А попутно, используя числа нашего октаэдра, а именно корень из пяти, единицу и двойку, получим «золотое» число: (2,23606798… + 1) / 2 = 1,61803399…
Таким образом, вышел у нас некий кристалл, символически несущий в себе гармонию, созвучную с божественным камертоном.

1986, 2026