Том II. Математические основания

     Том II. Математические основания

    Предупреждение

  Ниже излагается не признанная научным сообществом физическая теория, а гипотетическая исследовательская программа. Её цель — показать, каким мог бы быть математический аппарат, если принцип справедливости действительно окажется фундаментальным законом природы.

---

    Глава 10. Пространство возможностей

  Пусть

[
\Omega={\omega_1,\omega_2,\dots}
]

есть множество всех допустимых состояний мира.

  Каждое состояние описывается набором параметров

[
\omega=(x^1,x^2,\dots,x^n).
]

  Пространство возможностей рассматривается как многообразие

[
\mathcal{M}_\Omega.
]

  Тогда состояние мира есть точка на этом многообразии.

---

    Глава 11. Метрика различения

  Введём функцию различения

[
D(\omega_i,\omega_j).
]

  Она удовлетворяет условиям:

[
D(\omega_i,\omega_j)\ge 0,
]

[
D(\omega_i,\omega_j)
====================

D(\omega_j,\omega_i),
]

[
D(\omega_i,\omega_i)=0.
]

  В простейшем случае:

[
D^2
===

g_{ab}
dx^a dx^b.
]

  То есть различение задаёт метрику пространства возможностей.

  С этой точки зрения геометрия возникает не как первичная сущность, а как количественное выражение различимости состояний.

---

    Глава 12. Принцип справедливости

  Пусть каждому состоянию соответствует скаляр

[
\mathcal{J}(\omega),
]

который называется верумическим потенциалом или потенциалом справедливости.

  Тогда реализуемые состояния удовлетворяют условию

[
\delta \mathcal{J}=0.
]

  Или, более общо,

[
\omega_{\rm реал}
=================

\arg\operatorname{ext}
\mathcal{J}.
]

  Это является прямым обобщением вариационного принципа современной физики.

---

    Глава 13. Верумическое действие

  Предположим существование функционала

[
\mathbb{A}
==========

S
+
\lambda \mathcal{J},
]

где

[
S
]

— обычное физическое действие, а

[
\lambda
]

— новая фундаментальная константа.

  Тогда условие движения принимает вид

[
\delta \mathbb{A}=0.
]

То есть:

[
\delta S
+
\lambda
\delta \mathcal{J}
==================

0.

]

При

[
\lambda=0
]

получается обычная физика.

  Следовательно, существующая физика может оказаться первым приближением более общей теории.

---

    Глава 14. Обобщённые уравнения движения

  Пусть

[
L(q,\dot q,t)
]

— лагранжиан.

  Тогда верумический лагранжиан определяется как

[
L_V
===

L
+
\lambda J.
]

  Получаем модифицированные уравнения Эйлера—Лагранжа:

[
\frac{d}{dt}
\left(
\frac{\partial L_V}
{\partial \dot q_i}
\right)
-------

\frac{\partial L_V}
{\partial q_i}
==============

0.

]

 Или

[
\frac{d}{dt}
\left(
\frac{\partial L}
{\partial \dot q_i}
\right)
-------

\frac{\partial L}
{\partial q_i}
==============

\lambda
\left(
\frac{\partial J}{\partial q_i}
-------------------------------

\frac{d}{dt}
\frac{\partial J}{\partial \dot q_i}
\right).
]

  Появляется дополнительная «верумическая сила»:

[
F_i^{(V)}
=========

\lambda
\left(
\frac{\partial J}{\partial q_i}
-------------------------------

\frac{d}{dt}
\frac{\partial J}{\partial \dot q_i}
\right).
]

---

    Глава 15. Квантовая версия

  В квантовой механике вероятность состояния определяется правилом Борна:

[
P_i
===

|\psi_i|^2.
]

Верумическая гипотеза предполагает:

[
P_i
===

\frac{
|\psi_i|^2
e^{\beta J_i}
}{
\sum_k
|\psi_k|^2
e^{\beta J_k}
}.
]

  При

[
\beta=0
]

получается обычная квантовая механика.

   Это одна из возможных точек соприкосновения теории с экспериментом.

---

    Глава 16. Верумическая энтропия

  Пусть

[
p_i
]

— вероятности состояний.

  Тогда определяется новая величина:

[
S_V
===

*

k
\sum_i
p_i
\ln p_i
+
\alpha
\sum_i
p_i
J_i.
]

  Первое слагаемое совпадает с энтропией Больцмана—Гиббса.

  Второе характеризует меру справедливости распределения.

  Равновесие определяется условием:

[
\delta S_V=0.
]

---

    Глава 17. Пространство-время как производная структура

  Пусть

[
D_{ij}
]

— матрица различимости.

  Тогда метрический тензор пространства-времени возникает как эффективное описание:

[
g_{\mu\nu}
==========

F(D_{ij}).
]

  Следовательно:

- различения первичны;
- геометрия вторична;
- пространство и время являются коллективными переменными.

  Это направление напоминает современные идеи эмерджентного пространства-времени.

---

    Глава 18. Сознание

  Определим меру саморазличения:

[
I
=

D(X,\hat X),
]

где

[
\hat X
]

— внутреннее представление системы о самой себе.

  Сознательная система удовлетворяет условию:

[
I>0.
]

  Самосознательная система удовлетворяет:

[
\frac{dI}{dt}>0.
]

  То есть система непрерывно уточняет различие между собой и миром.

---

    Глава 19. Верумические законы сохранения

  Если функционал справедливости инвариантен относительно некоторого преобразования,

[
\mathcal{J}
\rightarrow
\mathcal{J},
]

то существует сохраняющаяся величина.

  Это является обобщением теоремы Эмми Нётер.

  Можно сформулировать гипотезу:

- всякая фундаментальная симметрия есть проявление некоторой формы справедливости.

---

    Глава 20. Великие открытые проблемы

  Для превращения верумической программы в физическую теорию необходимо:

 1. Найти явный вид функционала

[
J.
]

 2. Вывести из него:

- квантовую механику;
- общую теорию относительности;
- законы сохранения.

 3. Получить предсказания, отличающиеся от современной физики.

 4. Предложить экспериментальную проверку.

---

    Эпилог

Если эта программа когда-либо окажется плодотворной, то привычная картина мира изменится.

Первичными окажутся не частицы и даже не поля.

Первичными станут:

- возможности;
- различения;
- отношения;
- принципы отбора.

  Тогда физика превратится в науку не только о материи и энергии, но и о самом условии существования порядка.

  И, возможно, одна из самых древних человеческих идей — идея справедливости — неожиданно окажется связанной с глубочайшими законами мироздания.