Глава 6. Эвристические методы решения

Глава 6. Эвристические методы поиска решения

Эвристика – это некое не обязательно верное, но вполне разумное предположение, на основании которого, можно попытаться найти решение поставленной задачи. Смысл эвристического допущения в том, что оно существенно упрощает поиск решения, если есть возможность поступиться некоторой частью точности и соответствия заявленному условию или неудача в решении не будет иметь слишком уж серьезных последствий. Например, некоторое время назад, вы нашли необходимую для вас вещь в определенном магазине. И вот опять возникла потребность в этой же вещи. Разумно предположить, что ее снова можно будет купить в том же магазине. Это предположение совершено не очевидно, но оно разумно и в случае неудачи можно продолжить поиск в других магазинах.

Это простой пример эвристики, демонстрирующий роль опыта. Но опыт в этом деле не всегда хороший  советчик. Например, опыт говорит, что при вычислении квадратного корня из числа 4, достаточно 4 поделить на 2. Но с числом заметно большим 4 предположение, что корень с некоторой точностью можно получить делением на два очень сильно не соответствует действительности. То есть опыт опыту рознь. Вернемся к примеру с покупкой в магазине. На самом деле, в этой ситуации было использовано опытное знание, но несколько иное, более глубокое. Известно, что товар на прилавках появляется не случайно. Для каждого магазина есть номенклатура товаров и даже поставщиков товара. Следовательно, даже разовая покупка может означать то обстоятельство, то интересующее нас наименование с заметной долей вероятности может быть в списке обычных для магазина товаров.

Сказанное выше означает, что опыт не всегда имеет чистую статистическую закономерность. Зачастую даже разовый эксперимент вскрывает закономерность, в которой мы не уверены как в законе, но она вполне разумна и может быть использована в принятии решения.

Пример первый

Классический пример, с которого часто начинают обсуждение основ теории вероятностей – бросок монетки. Вопрос как кажется очень простой – какова вероятность выпадения орла или решки. Первое эвристическое предположение, с которого начинается анализ - наша монетка «честная», в том смысле, что ее стороны весят одинаково и рисунок обоих сторон не влияет на результат. Тогда очевидно вероятность орла равна вероятности решки. И если принять вероятность достоверного события за 1 (что-то выпало), то вывод следует сразу – вероятность орла – 0.5, вероятность решки – 0.5.          

Рассуждение очевидное и не слишком содержательное. Но его можно усложнить. Посмотрим, что дает эвристическое предположение о равенстве сторон монетки и о равенстве вероятностей, если речь идет о серии испытаний. Например, монетку бросают 10 раз. Каждый бросок независим от предыдущего. Монетка не помнит результатов, следовательно, и на длинной серии наше допущение о равенстве должно работать, то есть мы ожидаем 5 орлов и 5 решек. Но реально это не происходит. Почему, что не так с нашим допущением?

На самом деле все в порядке, просто необходимо немного более тонкое суждение. Честность монетки означает, что она «не помнит» результата предыдущих испытаний. О чем это говорит? Допустим, 5 решек на 5 испытаний будет всегда. Это означает странную вещь – если монетка выпала решкой 5 раз, то должно быть гарантировано выпадение орла, а каков механизм? Ведь тогда монетка просто обязана помнить результаты предыдущих бросков! А это нелепо. В бросках монетки нет и не может быть ничего гарантированного, этот процесс строго вероятностный.
Более того, тогда монетка должна знать и будущее, а именно сколько будет произведено испытаний, и за какой промежуток испытаний необходимо компенсировать орлом выпавшую решку. Следовательно, из «честности» монетки следует возможность любого результата.

Но мы ведь знаем, что возможности могут иметь различное численное значение. Попробуем продолжить наши неточные рассуждения. Итак, в принципе в десяти испытаниях   возможны любые результаты. Например, в десяти  испытаниях возможно 10 решек. Можем ли мы оценить вероятность этого события без строгой теории, просто из соображения честности монетки. Да можем. Для упрощения ситуации рассмотрим не 10 а четыре испытания. Возможны следующие результаты:

1. решка, решка, решка, решка
2. орел, орел, орел, орел
3. решка, орел, орел, орел
4. решка, решка, орел, орел
5. …….

Всего 16 комбинаций. А наше допущение «честности» монетки требует равноправия всех возможностей. Следовательно, вероятность каждого из них равна шестнадцатой части от вероятности достоверного события (выпала любая возможная комбинация). Напомню, что для удобства достоверная вероятность считается равной 1. А это означает, что при 10 испытаниях выпадение 10 решек крайне маловероятное событие. Это в свою очередь означает, что если в N испытаниях выпало много решек, существенно больше половины, то можно ожидать с заметной вероятностью выпадения орла, но не требовать, а именно ожидать с определенной вероятностью. Этого требует равноправие всех имеющихся возможностей. Обратите внимание, как много дало достаточно простое разумное допущение о равенстве сторон монетки.

Эвристическая  закономерность

Пример приведенный выше имеет вероятностную природу. Отметим его фундаментальный смысл. О чем он говорит? Пусть проведено множество экспериментов по вычислению некоторой величины, и если ничего закономерного о процессе изменения этой величины не известно, то разумно предположить, что все исходы равновероятны. И как мы уже видели из этого простого соображения можно делать довольно серьезные выводы. Интересные выводы  из аналогичных статистических соображений можно получить в физике. Известно, например, что плотность атмосферы нашей планеты уменьшается с высотой. Этот факт также легко объясним идеей равной вероятности.

Атмосфера это газ, молекулы которого, двигаются с разными скоростями в разных направлениях. Общий закон распределения скоростей следует из того же соображения, что и закон распределения орлов и решек. А именно, разумно предположить, что выделенных скоростей и направлений не существует. Это разумное допущение следует из того наблюдения, что газ во всех направлениях имеет одни и те же свойства. Это свойство называется изотропией. Есть молекулы, двигающиеся  с самыми разными скоростями во всех возможных направлениях.

Выделим тонкий пласт газа лежащий недалеко от поверхности Земли. Посчитаем молекулы, имеющие вертикальную составляющую скорости. Наше исходное соображение утверждает, что вертикальные составляющие распределяются в некотором интервале скоростей, то есть эти вертикальные составляющие имеют разные численные значения. И чем точнее мы определим нужный нам интервал скоростей, тем меньше в нем будет молекул, ведь мы уже договорились, что выделенных скоростей, «более любимых» молекулами нет.   

 Но дело в  том, что молекула, летящая вверх, должна преодолеть силу тяготения. И чем больше высота, тем меньше молекул могут достигнуть этой высоты, так как тем меньше есть молекул имеющих необходимую для этого скорость. Согласитесь, это очень интересная ситуация, чисто вероятностное предположение о скоростях молекул объясняет очень существенное физическое явление.
Статистические соображения сегодня не просто интересный казус, а довольно развитый метод позволяющий развивать содержательные и очень продуктивные теории и молекулярная теория газа,  не единственный пример использования статистики.    

   Конечно же, вероятность и статистика не единственные области в которых возможны плодотворные эвристические допущения. Довольно часто эвристики появляются не на базе опыта или вероятностных допущений, бывает возможно  выделить идею выглядящую как вполне закономерную. Не будем повторяться, но в предыдущей главе этой книги рассматривался метод поиска решения в некотором заданном виде. Этот метод выражался фразой «Будем искать решение в виде…». Это немного не то, о чем мы сейчас рассуждаем. Попытка искать решение в некотором заданном виде действительно основывается на некотором разумном предположении, но она допускает и полную неудачу. Желателен же сорт эвристических допущений гарантирующих решение, может быть не столь качественное и не столь точное, как возможно в идеале. Но если точностью и качеством можно в какой-то мере пожертвовать, то это выход, и неплохой.

Пример второй

Пусть дана куча камней, возможно разного веса. Необходимо раскидать их на две кучи таких, что их вес будет отличаться минимально. Эта задача используется, как пример комбинаторного взрыва, то есть, столь быстрого увеличения количества возможных вариантов, что их множество становится необозримым. Действительно при куче в 100 камней, что как кажется не так уже много, задача становится нерешаемой. Алгоритм перебора всех возможных раскладок известен, но этих раскладок астрономически много. А чтобы найти идеальное решение необходимо перебрать все возможные варианты.

А теперь положим, что нет необходимости в идеальном решении, но есть необходимость получить его за ограниченное время. И вот здесь эвристический метод выходит на первый план, как единственно возможный. Сформулируем разумное предположение.
Камни в куче имеют разный вес. При одинаковых весах задача не содержательна, и даже если одинаковых камней просто достаточно много, то вполне может сработать и обычный комбинаторный алгоритм. Итак, будем исходить из наиболее сложной ситуации – все камни имеют уникальный вес. Все что мы придумаем исходя из этого, будет очевидно работать и при наличии одинаковых камней. Сказав такие вводные слова начнем процесс генерации идеи.

В качестве решения необходимы две кучи камней с минимальной разницей в весе. Каждый камень, положенный в кучу, изменяет эту разницу. Заметим, что наибольшее изменение дают наиболее тяжелые камни. Причем два тяжелых камня могут отличаться сильнее, чем два легких. Сказанное достаточно тривиально, но дает интересную идею. Если тяжелые камни дают наибольшую разницу в весе, то легкие можно использовать для компенсации появившейся разбалансировки. И есть вполне разумное предположение – необходимо сначала раскидать наиболее тяжелые, посмотреть на получившуюся разницу и попытаться сбалансировать ее легкими камнями.

Это базовая идея. Ее можно существенно уточнить. Выше мы решили, что все камни имею разные веса. То есть понятие тяжелый – легкий весьма относительно и размазано по всему множеству камней. Ясно только одно, более тяжелые камни имеют приоритет при раскладке. Думаю, окончательная формулировка уже очевидна. Берем все множество камней. Упорядочиваем их в порядке убывания весов и затем формируем ровно одну раскладку по следующему правилу.
Назовем целевые кучи камней – Левой и Правой кучей. На первом шаге самый тяжелый камень положим в Левую кучу (или в Правую если она вам больше нравится). Затем пока в Исходной куче есть хотя бы один камень, берем очередной наибольший и кладем его в кучу меньшего веса. Таким образом, каждый взятый камень компенсирует предыдущий, более тяжелый. Таково наше эвристическое правило. Оно строго не обосновано, более того оно и не доказуемо, в том смысле, что нет никаких оснований утверждать, что действуя так, мы получим идеальную раскладку, но ясно также и то, что раскладка будет не самой плохой. Посчитаем пример.
Пусть дана куча: 17, 12, 11, 7, 6, 2, 1. Этап сортировки опущен как несущественный. Таблица ниже показывает процесс:

Исходная            Левая          Правая
17, 12, 11, 7, 6, 2, 1
12, 11, 7, 6, 2, 1    17
11, 7, 6, 2, 1             17                12
7, 6, 2, 1            17                12, 11
6, 2, 1                17, 7          12, 11
2, 1                17, 7          12, 11, 6
1                17, 7, 2          12, 11, 6
                17, 7, 2, 1           12, 11, 6
Сумма                27                29
               
Согласитесь, что разница очень даже близка к идеальной. При таких исходных данных можно получить решение лучше, но не намного. И вопрос только в том устраивает ли нас в качестве решения разница в две единицы веса. Если устраивает, то в нашем распоряжении очень быстрый алгоритм, практически не требующий ресурсов, в задаче не решаемой традиционными комбинаторными методами.    
Кстати эту задачу мы уже рассматривали в предыдущих главах, но ее повторный анализ более детален, и более содержателен.   

Сужение множества допустимых вариантов 

Очень полезное эвристическое допущение лежит в основе всевозможных социологических опросов. На самом деле, для того, чтобы составить более, менее точное представление об общественных трендах и мнениях, необходимо опросить значимое количество населения. Для крупной страны, это количество может выражаться миллионами и десятками миллионов человек. Поэтому любое объективное, действительно доказательное социальное исследование на самом деле невозможно. И здесь на помощь приходит эвристическое допущение. Даже два.

Первое из них выражается методом фокус-групп. Этот метод представляет собой выявление целевой аудитории, то есть группы людей в интересы которых, и даже возможно в профессиональные интересы входит рассматриваемый вопрос. Предполагается, что фокус-группа состоит из людей наиболее типичных в рамках рассматриваемой проблемы. Например, в качестве покупателей предметов роскоши есть смысл рассматривать людей, только с определенным достатком. Если вам необходимо оценить туристические шансы той или иной местности есть смысл опрашивать людей регулярно участвующих в турпоездках. О проблемах городского транспорта нет смысла говорить с жителями сел или небольших провинциальных городков. Это конечно понятно. Эвристическое допущение состоит в том, что собирая фокус-группу из определенной целевой аудитории, мы допускаем, что эти люди выражают общее мнение. Допущение как и все эвристики вполне разумное и как все эвристики неочевидное, но позволяющее делать невозможно – выполнять социологические исследования.

Второе допущение основано на уверенности в существовании усредненного мнения. Если есть желание опросить несколько десятков миллионов человек, то достаточно выделить представителей разных профессий, социальных слоев, возрастов и т.д. То есть взять срезы общества по разным «осям координат». Это, можно полагать, обеспечит справедливый и объективный вклад людей могущих иметь различное мнение по исследуемому вопросу.      

Сужение исследуемой выборки до разумных размеров используется не только в социологии. Точно также поступают исследователи, пытающиеся посчитать количество возможных инопланетных цивилизаций. Во-первых, жизнь ограничивается ее белковой формой. Не потому, что иная форма невозможна. Мы про это ничего не знаем. Просто если выйти за рамки белковой жизни, мы попадаем на совершенно безграничное поле возможного на котором для нас нет никаких ориентиров. Кроме того, небелковая жизнь это что-то слишком далекое от человека и психологически трудно воспринимаемое, поэтому проще дать определение жизни как формы существования белковых молекул.
Приняв это допущение, мы можем принять Землю за образец планеты пригодной для жизни, а Солнце, как звезду пригодную энергетически. Эти допущения резко сокращают объем поиска жизни вообще и ее разумных форм в частности. Ясно, что допущение форм жизни на основе не углерода, а кремния или германия резко изменит весь возможный расклад.   

Пример третий. Построение производственного плана 

Пусть на предприятии есть в наличии некоторое количество ресурсов: энергия, материалы, комплектующие части, работники определенных специальностей и т.д. И есть номенклатура изделий, которые можно изготавливать и получать от их реализации доход. Требуется сформировать план, дающий максимально возможную прибыль от реализации продукции. 
Разумеется, у этой задачи есть переборное решение, но если ресурсов много и номенклатура достаточно велика, то перебор может оказаться плохим вариантом поиска решения. Впрочем, эта задача уже решена. Существует хорошо разработанный метод ее решения называемый симплекс – методом. Суть его рассматривать мы не будем, если кто  заинтересуется, может воспользоваться специальной литературой. Здесь отметим только то обстоятельство, что симплекс-метод, при всей его математической разработанности выглядит слишком академическим и рафинированным. Он требует не просто полноты информации о ресурсах и качествах продукции, но и точности в определении их количеств и стоимостей, что реально может быть известно в только некоторых пределах. Проблема в том, что точное решение большой системы неравенств, которая строится в рамках метода, требует и точных исходных данных. Погрешности в данных ведут к неконтролируемому увеличению погрешности результата, что резко уменьшает полезность симплекс-метода.

В рамках же эвристической модели можно найти допущение, такое что, оно будет использовать перебор, как универсальное решение, но ограничит его в разумных пределах.  И если мы решили отказаться от строгой математики, то можем использовать сразу два диаметрально противоположных допущения.

Первое, коньюктура рынка такова, что вероятность получения максимальной прибыли велика в отношении одного товара на производство которого, можно бросить все имеющие ресурсы (точнее те в которых этот товар нуждается). Этот так называемая жадная стратегия полагающая, что риск провала не очень велик, а возможный выигрыш значителен. В отношении производственного плана жадная стратегия имеет существенный недостаток. Структура производственных фондов и вообще имеющихся материальных ресурсов может быть такова, что не все их можно будет задействовать на дорогостоящую продукцию, что приведет к простою части оборудования и неиспользованию части ресурсов. Пусть например на дорогую продукцию нужен материал А и рабочие специалисты, на дешевую материал В и те же самые специалисты. Возможно,  выпуск дорогостоящей продукции потребует весь коллектив рабочих, тогда материал В окажется неиспользованным, то есть фактически будет формировать неполученную прибыль.

Вторая стратегия. Вполне разумно предположить, что максимальное использование всех имеющихся ресурсов обязательно повлечет получение прибыли, хотя быть может и не максимально возможной. Тогда разумно в план, прежде всего, включать продукцию, использующую самый большой неиспользованный ресурс, на каждом шаге планирования уменьшая общий запасы всех ресурсов. Такая стратегия обещает минимальные остатки по каждому ресурсу. Конечно, это предположение разумно, но точный расчет даст только строгая математика, от которой мы по понятным причинам решили отказаться.            

Поиск необходимого объекта

Есть интересный класс задач, требующих найти объект с некоторыми заданными свойствами. Если особенно не задумываться о проблеме ресурсов, то все такие задачи решаются перебором. Классический пример – найти наибольшее число на заданном множестве чисел. Для решения есть простой алгоритм:

Наибольшее = Первому
Для всех чисел
Выбираем Очередное
Если Очередное больше Наибольшего
То Наибольшее = Очередному
Наибольшее найдено

По всей видимости, алгоритма более эффективного в общем случае, чем этот простейший просто не существует, ну или скажем мягче – автору этих строк более эффективный алгоритм неизвестен. Действительно существуют задачи поиска для которых простой перебор – это единственно возможное решение. Характерное свойство таких задач - это предельная простота условия. Но как только в условии появляются какие-то дополнительные свойства исходного множества, становится возможным многое. Иногда такое условие даже дает возможность полностью уйти от перебора.

Например, дано множество камней и один из них тяжелее остальных, имеющих точно одинаковый вес, в пределах точности имеющихся весов, и есть весы без шкалы, то есть позволяющие только сравнивать  взвешиваемое.  Найти этот один тяжелый камень. Идея решения проста. Разделим кучу на две. Если камней нечетное количество, то получится две количественно одинаковых кучи и еще один камень. Взвесим большие кучи. Если их вес одинаков, то отдельно отложенный камень и есть тяжелый. Иначе тяжелый находится в куче имеющий больший вес и с ней можно повторить описанную процедуру. Понятно, что искомая куча всегда будет уменьшаться вдвое и довольно быстро взвешивающий дойдет до ситуации с одним камнем, он и будет искомым.    

Пример четвертый         

Алгоритм, изложенный выше, потеряет всю свою силу, если немного изменить условие задачи. Пусть камней больших по весу ровно два. И пусть они оба одинаковые. Изменение небольшое, но оно дает качественно иную ситуацию. Это очень интересный эффект. Достаточно часто мы в условиях задач видим обратную картину, изменение количественных значений не ведет к необходимости изменять способ решения. Например, корень квадратный из большого числа вполне можно вычислять точно также как и из малого. Но иногда даже небольшое количественное изменение дает качественный скачок.

Действительно, разделим опять кучу камней на две. Существует значительная вероятность, что эти два камня окажутся в разных кучах, и  взвешивание не даст никакой информации. Точно вычислять вероятность этого события не будем, интуитивно ясно, что она достаточно велика. Можно конечно, в этом случае кучи перемешать и опять взвесить. Если это сделать некоторое количество раз, то рано или поздно камни лягут в одну кучу. Но вполне возможно эффективность такой процедуры окажется сопоставимой с простым перебором.

Кстати о полном переборе. Он как раз всегда возможен и всегда одинаково эффективен. Для его организации достаточно найти один стандартный камень. Возьмем три любых. Если они одинаковы по весу, то они стандартны. Если не одинаковы, то вспомним, что нестандартных по новому условию только два, и небольшим количеством взвешиваний на весах пригодных для сравнения камней, стандартный обнаружить несложно, после чего останется все камни сравнить со стандартным. Но вернемся к нашей задаче

Проблема состоит в том, что мы не знаем как  расположатся камни по кучам, но есть очевидное предположение, что вероятность их попадания в большую кучу выше чем в небольшую. Это допущение выглядит как эвристическое. Действительно мы не можем определенно утверждать, что попадание одного нестандартного камня или двух в одну кучу имеет нулевую вероятность, то интуитивно ясно, что чем куча больше, тем вероятность этого события больше.

Из этого допущения следует красивая идея. Разобьем общую массу камней на три кучи. А – большая куча. В и С – две одинаковые по количеству камней и небольшие. Если оба камня в А то, В и С окажутся одного веса и их можно просто отбросить, упростив дальнейший поиск. Если В и С не одного веса, то местоположение по крайней мере одного нестандартного камня определено и теперь его можно выбрать простым перебором, если размер кучи невелик, или повторить указанную выше процедуру.

Этот пример иллюстрирует еще одну важную особенность поиска эвристических решений. Было сказано, что две кучи В и С относительно невелики. Здесь будет справедлив вопрос о том, насколько они невелики. Чем они меньше, тем меньше наш эвристический алгоритм будет отличаться от простого перебора, а чем они больше, тем больше станет неопределенность в распределении камней по кучам. Но эвристические допущения тем интересны, что они часто допускают улучшения, если провести дополнительный анализ. В нашей случае необходимо более тонко оценить вероятность попадания камней в кучи с разным количеством камней. Эту работу можете проделать самостоятельно, если будет интерес.         

Задачи на доказательство          

Еще раз отметим, суть эвристического предположения состоит в упрощении ситуации, в своего рода ее профанации на грани фола, но профанации вынужденной, так как речь идет о ситуации, когда какое-то осмысленное решение необходимо, но времени на его поиск слишком мало. Наиболее типичное применение эвристического метода это поиск численных решений, построение объекта с заданными свойствами, но применение эвристического подхода возможно и для поиска доказательств. Заметим, что  в школьном или вузовском учебнике всегда требуется точное, логически исчерпывающее доказательство. На то они и учебники. Но мы с вами уже договорились, что жизнь сильно отличается от учебника и знаем, что желаемое и возможное – это не одно и тоже.

Кстати есть смысл подумать, а что такое логически строгое доказательство. С некоторой точки зрения это уверенность в том, что существенно значимое для нас утверждение всегда истинно и это категорическое утверждение обладает свойством всеобщности. То есть если мы доказали утверждение А, то этим самым утверждается, что А верно всегда и в любых условиях.
Но зададимся вопросом. Если такого доказательства нет  означает ли, что А неверно всегда. Отсутствие доказательства всеобщего утверждения не означает, доказательства всеобщего отрицания. С позиции строгой логики отрицание утверждения «А всегда истинно»   выглядит так «Иногда А бывает ложно», из чего следует «Иногда А истинно».

Делаем очень серьезный вывод. Если у нас нет доказательства некоторого утверждения – это дает повод думать, что иногда это утверждение все же может оказаться истинным. А это дает повод задуматься о необходимости строгого доказательства требующего довольно серьезных интеллектуальных ресурсов. Разумеется, речь не идет о том, чтобы любое утверждение принять за потенциально истинное, речь идет о возможности заменить строгое доказательство нестрогим, но вполне разумным обоснованием. Очевидно, разумное обоснование повышает шанс утверждения оказаться истинным в значительной части случаев.               
Пример пятый

Что такое простое число общеизвестно, но на всякий случай напомню. Простыми числами называются числа, не имеющие делителей кроме 1 и самого себя. Примеры простых чисел: 7, 11, 23, 31 и т.д. Существует теорема, утверждающая, что для любого сколь угодно большого натурального числа N существует отрезок натуральных чисел  длины N не содержащий простых чисел.
Доказательство этой теоремы не слишком сложно, но все же требует некоторого навыка математических выкладок, что не для каждого человека доступно, поэтому пример годится для демонстрации нашего метода достаточного основания.

Итак, пусть дано число N. Если все дальнейшие рассуждения не будут использовать величину этого числа, то есть если мы будем вести анализ в общем виде, то любое обоснованное  утверждение будет автоматически обосновано для любого N. На этом кстати основан метод математической индукции. Его суть в следующем -  если мы доказываем (на этот раз доказываем) некоторое утверждение для числа N и выясняем, что переход к числу N+1 ничего не меняет в ходе доказательства, то утверждение можно считать доказанным и для N+1 и соответственно для любого N.

Вернемся к проблеме простых чисел. Пусть дано число N. Возьмем интервал натуральных чисел длиной N. Недалеко от нуля, но не от нуля. Ясно, что до начальной точки этого интервала есть некоторое количество простых. По крайней мере, там есть такие числа как 2, 3, 5 и возможно некоторые другие. Если в нашем интервале все числа делятся на эти первые  простые, то исходное утверждение можно считать полностью обоснованным. Но допустим это не так, часть чисел делится на найденные простые, но не все.
Теперь сдвинем наш интервал длины N  вправо, так чтобы слева оказалось дополнительно несколько простых чисел. Это очевидно возможно, так как мы только что договорились, что в данном интервале простые числа есть и  их можно оставить слева от начала интервала.

Таким образом, мы увеличили количество потенциальных делителей в рассматриваемом интервале. А значит, возможно увеличили количество составных чисел. Более того, заметим, что справа от нашего интервала бесконечность и, следовательно, возможности по увеличению потенциальных делителей безграничны, интервал можно сдвигать неограниченно. Но если делителей все больше и больше, то вероятность того, что в какой-то момент все числа интервала окажутся имеющими хотя бы один делитель, будет расти. Следовательно, разумно предположить, что можно найти сдвиг вправо такой, то все числа рассматриваемого интервала окажутся составными.

Разумеется - это не доказательство, но в качестве обоснования наши рассуждения выглядят вполне разумно. В каком случае такое обоснование полезно? Допустим, вы ведете математическое исследование и для его успешности необходимо доказать некое утверждение. То есть если утверждение ложно, то дальнейшая работа не имеет смысла. А если истинно, то возможно полученный в главной работе результат окажется не интересен. То есть вопрос стоит так - а надо ли продолжать заниматься большим исследованием, если качество результата упирается в небольшую промежуточную теорему. Можно найти простое обоснование, затем посмотреть, что это дает в большой работе и если эффект стоящий, то можно вернутся и попытаться найти строгое доказательство.               

В заключение

Подведем итог. Эвристика это разумное, но не вполне очевидное утверждение. Вероятность его истинности достаточно велика и оно указывает на относительно простой путь в поиске решения. Эвристические решения – хороший выход в ситуации, когда можно пожертвовать точностью или ошибка не приведет к неприемлемым последствиям, но есть выигрыш во времени и ресурсах затраченных на поиск решения.   Это своего рода правило рычага – проигрываешь в расстоянии, выигрываешь в силе или в более общем виде – экономишь один ресурс, но теряешь другой. Но иногда плата за упрощение задачи вполне приемлема, а бывает и так, что эвристическое решение, как в задаче о двух кучах камней – в принципе единственно приемлемый метод.