Великую теорему Ферма могут доказать и школьники?

Полное название:
Великую теорему Ферма под силу доказать даже школьникам?
Или ее третье доказательство, максимально адаптированное к менталитету учащихся средних школ

Или ее третье доказательство, максимально адаптированное к менталитету учащихся средних школ

Abstract

В этой работе предпринимается попытка доказательства ВТФ (Великой теоремы Ферма) с авторской самозадачей использования минимального багажа знаний. Отстаивается точка зрения и показывается, что ее легко можно доказать на основании школьного багажа знаний по математике.

Условные обозначения:

!= ; не равно (как в некоторых языках программирования)
sqrt – корень квадратный
ВТФ ; Великая теорема Ферма


В порядке небольшого вступления

Вот позвольте представить вниманию публики вторую версию работы, отличающуюся от первой исправлением ряда принципиальных моментов, к примеру, отсутствием непосредственной опоры на теорему Абеля. Но весь комизм ситуации состоит в том, что у автора этих строк желание заняться этой темой у него появилось именно в тот момент, когда он узнал о существовании именно этой теоремы.

Теорема Абеля, доказывает отсутствие красивых аналитических корней, в том числе в радикалах, для степенного уравнения начиная с некоторой степени. Как у автора поначалу зафиксировалось в голове, с четвертой. Как затем выяснилось, с пятой. Правда, как выяснилось по ходу проведения выкладок, теорема Абеля отнюдь не была необходимой, и рассуждения, поведенные в статье, мог бы провести и школьник. Впрочем, что самое занятное, есть еще одно доказательство ВТФ на «школьном» уровне, о котором в этой статьи чуть ниже.

Да, одна пикантная вещь. В свете уже имеющихся доказательств ВТФ телодвижения автора этих строк будут немного напоминать пинание трупа. Да, пикантно. Но ничего не поделаешь…

А к основной части статьи переходить можно.


Основная часть статьи

История ВТФ детективна. Вот ее основное уравнение

где A,B,C,n ;* N, т.е. являются натуральными числам, с утверждением, что для п;3 решения в натуральных числах нет. Не имеется.
* - везде по ходу статьи математический знак принадлежности, т.е. греческая буква ; (эпсилон малая) будет изображаться именно так.

Оно якобы было записано на полях трактата Александра Ферма 1637 года. Более подробно об этом – к примеру, в статье в википедии ([1]), откуда кое-что почерпнем. Первый абзац статьи достоин цитирования:

«Великая теорема Ферма; (или последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики. Сформулирована французским математиком Пьером Ферма в 1637 году. Несмотря на простоту формулировки, буквально, на «школьном» арифметическом уровне, доказательство теоремы искали многие математики на протяжении более трёхсот лет. И только в 1994 году теорема была доказана английским математиком Эндрю Уайлсом с коллегами; публикация доказательства состоялась в 1995 году».

После строк о простоте формулировки почти на «школьном» арифметическом уровне, у автора статьи возникает желание точно так же, на «школьном» арифметическом уровне найти какое-то ее доказательство.

Что касается самой публикации этого доказательства, то в русскоязычном Интернете можно найти статью под названием «Доказательство Уайлсом последней теоремы Ферма» ([2]), правда, с весьма сложной ссылкой, которая здесь приведена в списке литературы.

Что касается сведений о публикации, то «24 октября 1994 года Уайлс представил две рукописи: "Модульные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма" ([3]) и "Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке" ([4]), во второй из которых Уайлс написал совместно с Тейлором и доказал, что были выполнены определенные условия, необходимые для обоснования исправленного этапа в основной работе.

Две статьи были проверены и, наконец, опубликованы в полном объеме в майском номере журнала «Анналы математики» за 1995 год».

Для Уальса это произошло со второй попытки, ибо в первом доказательстве, им представленном, были обнаружены ошибки, а общий объем обеих статей, содержащих доказательство, занимал 129 страниц. И эта работа получила всеобщее признание.

А сам путь доказательства шел через весьма мудреные эллиптические кривые.

Еще хочется отметить блоггера-математика по имени Виталий, который представил свое доказательство, основанное на соображениях взаимной четности или нечетности чисел, входящих в это уравнение. Его видеоматериал длится около шести минут и носит название «Как, я доказал Великую теорему Ферма, или нет?» ([5]). Само доказательство выглядит убедительно, и оно появилось относительно недавно, в апреле 2026.

У автора этих строк путь доказательства отличен от того, что представлено Виталием, но представить его уважаемой публике все равно хочется.

Начать рассмотрение лучше всего с n = 2, т.е. с так называемых пифагоровых чисел. Ибо они в итоге проливают свет на нечто весьма занятное.

Прямоугольный треугольник нам в помощь. В центре нашего внимания оказывается бОльший из двух катетов, который мы обозначим буквой u. Мы допустим, что меньший из двух катетов меньше, и его длина составляет

u – a

а гипотенуза его большего на величину b , и ее длина составляет u + b.

Тогда теорема Пифагора для него запишется как

Раскрытие скобок и перенос слагаемых в левую часть уравнения дает

что порождает два случая, a = b и a != b

В первом случае все получается совсем просто

что при сокращении на наше u, которое уж точно не ноль, раз уж длина катета, дает

а = u/4

и это выражение оказывается в роли звезды путеводной в поиске многих (пока не говорим всех) пифагоровых троек. Разумеется, u должно делиться (или быть кратным – как угодно) числу 4, что можно записать, к примеру, как u = 0.

При u = 4 весьма очевидна тройка 3,4,5, при u = 4 тройка 6,8,10, а таких троек бесконечно много.

Во втором случае получается все чуть посложнее, но поинтересней. Пока уравнение дадим еще раз:

и просто его решим как квадратное уравнение относительно u. И начнем мы с расчета дискриминанта

При этом удобно ввести обозначение

и тогда решение уравнения запишется просто как u = a + b ± N

При b = 1 выражение для N*N обретает значение 2(a + 1), что фактически означает, что

где k – некое натуральное число. При k = 1 параметр a также должен обрести значение 1, и тогда у нас получается первая пифагорова тройка (3, 4, 5).

При b = 2 выражение 2bпревратится в квадрат, что для параметра a существенно облегчит судьбу: для законного существования N*N вполне достаточно, чтобы параметр a+2 был полным квадратом. И это обстоятельство станет своего рода звездой путеводной для создания бесконечного количества пифагоровых троек, причем самой банальной будет тройка (6, 8, 10), полученная при a = b = 2, а самой занятной – тройка (8, 15, 17), полученная при b = 2, a = 7.

Здесь на первый план выходит естественным образом то, что когда

b = 2*M*M, где М ; N,

т.е. является натуральным числом, для законного существования N*N значения параметра a подбирать можно.

При b = 3 и более, при этом чтобы b != 2*M*M, ситуация будет такова, что для существования N*N нужно будет, чтобы оба сомножителя в выражении (2b)*(a + b) были бы друг другу равны. Иначе полного квадрата N*N существовать не будет.

А теперь самое веселое, ради чего пифагоровы числа и рассматривались столь подробно. При иных значениях натуральных a и b выражение (2b)*(a + b) уже не будет полным квадратом, а это значит, что число N будет иррациональным! И других пифагоровых троек в натуральных числах существовать не будет!

И в таком случае наши заветные числа A, B и C будут взаимно несовместимы с точки зрения натуральности! Давайте введем такой термин…

А теперь перейдем давайте к n = 3

* * *

В этом случае все числа, участвующие в нашей тройке, мы запишем точно так же, как и в предыдущем случае, заменив двойку на тройку в показателе степени и выделив среди них число u как среднее:

что приведет к весьма аккуратному уравнению третьей степени:

которое с приведением слагаемых обретет вид:

и попробуем применить для него классическую формулу Кардано. Только с одной оговоркой: там решение уравнения сводится к работе с коэффициентами a, b, c, d при различных степенях уравнения в его классическом виде

во избежание путаницы мы наше уравнение перепишем, заменив a и b на i и j. Буквенные обозначения несколько нестандартные, тем не менее

А теперь обратимся к классической формуле Кардано. Автору этих сток больше всего импонирует то, как она представлена в публичной лекции профессора МФТИ Бориса Трушина. Изначально уравнение там представлено в виде

вспомогательный параметр y введен как y = x + b/a, а вспомогательные параметры p и q обретают значения

p = с/a – b2/a2 и
2q = – 3bc/a2 + 2b3/a3 + d/a,

промежуточное уравнение с нулевым коэффициентом при квадратном слагаемом

и решение выглядит как


На этом следование выкладкам Трушина завершается и начинается их адаптация к нашему случаю.

У нас

поэтому

p = (i*i– j*j) – (– i – j)*(– i – j) = –2ij – 2j*j

и

y = x + b = x – i – j,

и в качестве последнего шага выразим x:

x = y + i + j

Таким образом, получены все необходимые выражения, и мы кое-что уже в состоянии оценить. И в центр нашего внимания мы хотим поместить выражение для y и корень третьей степени, с которым он сопряжен. Для наглядности его мы даем в красной рамочке

Если мы еще раз выпишем определения параметров p и q

и обратим внимание на подкоренное выражение sqrt(p*p + q*q*q), для оценки которого из вышеприведенного определения параметров p и q попытаемся его выразить лишь через параметр q, а этот параметр, в свою очередь, попытаемся выразить через i и j, то у нас в итоге получится примерно следующее:

При минимальных выражениях i и j, равных 1, дробь в подкоренном выражении равна

8*2/(1 + 1 + 2*1)2 = 16/16 = 1,

Под знаком корня оказывается число 2, а выражение sqrt(2) ну никак не сулит результату принадлежать к натуральными числам.

Для бОльших значений i и j, тем паче.

Тем самым четко видно, что ну никак такие решения натуральным числам принадлежать не могут. Или, если сказать это на нашем языке, в случае n = 3 наши заветные числа A, B и C будут взаимно несовместимы с точки зрения натуральности!

И в конце раздела один маленький тонкий момент. Допустим, мы знаем корень x1 нашего изначального кубического уравнения

где a, b, c, d – произвольные вещественные (не комплексные) числа, выраженные, в общем случае, вещественными числами, и таким же вещественным числом выражен его вышеупомянутый корень x1. Само уравнение при этом имело бы вид

(x – x1)( x – x2)(x – x3) = 0

где оставшиеся корни x2 и x3 были бы, в общем случае, числами комплексными. Вопрос: можно ли что-то информативное сказать о его преобразовании к виду

Если попытку такого преобразования предпринять, то, решая такое уравнение, мы бы вышли на те же самые коэффициенты из уравнения Кардано, что мы уже получили двумя страницами выше:

и тогда мы бы получили те же выражения для y и тот же самый отрицательный ответ с точки зрения совместимости с натуральными числами.

А на этом давайте перейдем к случаю n = 4


* * *

Этот случай автору статьи не хочется рассматривать подробно.

Во-первых, потому что там, по аналогии с уравнением Кардано для третьей степени, решение сведется к формулам Феррари, которые с точки зрения принадлежности решений к натуральным числам решений тоже едва ли внушат оптимизм. Ибо там ситуация просто усугубляется.

А во-вторых, потому, что до автора статьи донесся информационный блок, что для этого частного случая ВТФ уже доказана. Цитату точную можно привести.

Итак, можно считать, что и в случае n = 4 наши заветные числа A, B и C будут взаимно несовместимы с точки зрения натуральности!

И… переходим к следующему случаю, n ; 5

* * *

А в этом случае, переписав наше заветное уравнение

в удобной для нас форме, назвав среднее по величине число переменной u, мы получим

и то, что мы без труда заметим – это возможность его биномиального разложения и сведению к уравнению в n-ной степени! Для краткости мы его запишем как

F(n) = 0

И то, что мы без труда заметим – это возможность его биномиального разложения и сведения к уравнению в n-ной степени! Для краткости мы его запишем как

F (u, i, j, n) = 0

И… давайте вспомним, что для этого случая n ; 5 вполне себе доказана теорема Абеля. Учитывая то, что выражение «теорема Абеля» применяется к двум математическим утверждениям (если верить вездесущей Алисе, которая живет во многих интернетовских поисковиках), нас интересует та теорема Абеля, что говорит о неразрешимости уравнений в радикалах. Ее официальное название – такое же: теорема Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах.

Это результат из теории уравнений.

Формулировка: общее алгебраическое уравнение степени n ;5 неразрешимо в радикалах. Иными словами, не существует формулы, которая выражала бы корни такого уравнения через коэффициенты с помощью конечного набора операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня любой степени).

Итак, можно ли на основании того, что теорема Абеля говорит о тщетности наших поисков решения ВТФ путей вывода какой-либо формулы, говорить о том, что из нее следует главный отрицательный тезис ВТФ об отсутствии ее натуральных решений? Видимо, нельзя. Ведь теорема Абеля говорит об отсутствии путей достижения решений, отсутствии алгоритмов, а не об отсутствии самих решений.

А тезис об отсутствии самих должных подобающих решений ВТФ мы докажем методом от противного. С его традиционной увертюрой: допустим, такое решение есть… Мы еще раз напишем наше традиционное уравнение

и допустим, что у него есть натуральное решение un. В свете изначальной постановки задачи другие нас не интересуют.

И тогда, записав его в виде F (u, i, j, n) = 0, перенеся слагаемые в одну часть,

разложив на биномиальные коэффициенты

и мы можем разделить на u – un каждую часть, после чего в итоге мы получим:

F (u, i, j, n) = F (u, i, j, n – 1)*(u – un)

Для пущей иллюстративности обе части уравнения перепишем как можно более подробно

А далее по алгоритму Горнера (или независимо от алгоритма Горнера, как угодно) после раскрытия скобок в правой части мы выпишем равенство по свободному члену

и по первой степени u

что после деления обеих частей первого уравнения на un и подстановки во второе уравнение в итоге даст занятное квадратное уравнение относительно этой величины в нетрадиционном виде

и мы назовем его базовым уравнением для b1.

Если предпринять попытку написания традиционной формулы для его корней, то мы выйдем на вычисление его дискриминанта. Который после возведения всего, что нужно, в квадрат и раскрытия скобок в итоге был бы записан примерно как-то так:

Как дальше лучше всего продолжить рассуждения? Видимо, первое, что нужно сделать – это отделить четный случай для показателя степени n от нечетного. Затем взять, для конкретности, нечетный, и проводить на основании получающихся уравнений параметров i, j и un, четко фиксируя те ситуации, когда эти параметры будут взаимно несовместимы с точки зрения натуральности.

В нечетном случае, т.е. в случае, когда n = 2k + 1, базовое уравнение для b1 запишется как

а в нечетном случае, когда n = 2k, это базовое уравнение для b1 запишется как

Давайте зафиксируем, что параметр b1 содержит слагаемое, обратно пропорциональное второй степени un.

А теперь на минуту давайте на него взглянем с точки зрения квадратного уравнения для параметра un и попытаемся извлечь из него определенную извлекаемую информацию. И для конкретности начнем со случая n = 2k + 1. Выражение для дискриминанта тогда можно будет записать как

А теперь относительно этого выражения давайте подумаем, возможен ли случай, когда оно превращается в полный квадрат. Если оно не превращается в полный квадрат ни при каких значениях параметров, то это является поводом для крика "Ура", ибо относительно i, j и un вновь можно будет заявить об их взаимной несовместимости относительно натуральных чисел.

А если его превращение в полный квадрат все-таки возможно, то для наглядности лучше всего ввести некое натуральное число, назовем его M, которое существовало бы как квадрат дискриминанта D = M*M, и тогда бы мы записали выражение для взаимного соотношения b1 и M*M

Это выражение сложное, но более категоричных выводов мы делать не можем. И с ходу нельзя того, что невозможно подобрать такое b1, при котором существовало бы число M*M. Поэтому мы пока оставим тему дискриминанта в стороне и с целью составления представления об общей тенденции параметров правой части главного уравнения разложения мы попытаемся еще оценить параметр b2.

На основании сравнения коэффициентов при второй степени u в главном уравнении разложения:

Из чего очевидно, что b2 = (b1 – Сn2F(n-2) )/un. И, следуя логике, уже примененной примерно страницей выше, давайте выскажем мысль, что если параметр b1 в своем уравнении содержит слагаемое, обратно пропорциональное второй степени un, то для параметра b2 можно будет написать уравнение, содержащее слагаемое, обратно пропорциональное третьей степени un.

А общая тенденция вырисовывается таковой, что параметр bk содержит слагаемое, обратно пропорциональное k+1 степени нашего гипотетического корня un.

А теперь давайте считать те же самые коэффициенты bk не в порядке возрастания степени, а в порядке ее убывания.

то есть

Далее

Здесь видно, что выражение для bn-3 содержит слагаемые, прямо пропорциональные un*un. И более-менее понятно, что их составление приведет к таким выражениям, относительно которых целочисленность и не заподозришь.

А вот это уже интригует. Ибо на первый план выходит то, что два алгоритма вычисления коэффициентов bk приводят к двум абсолютно разным наборам этих коэффициентов! Что нельзя не охарактеризовать как ярко выраженное логическое противоречие.

Итак, в нашем методе от противного, начав с допущения о существовании натурального корня un, мы пришли к логическому противоречию, то есть, к тому, что натуральных корней un не существует, а относительно i, j и un можно заявить об их взаимной несовместимости относительно натуральных чисел.

Для случая n = 2k все рассуждения будут выглядеть абсолютно аналогично. Выражение для дискриминанта можно будет записать симметрично с точки зрения знаков «+» и «–» в первом и втором слагаемом.

и просто провести все рассуждения.

Итак. Относительно переменных i, j и un можно смело сказать, что они взаимно несовместимы относительно натуральных чисел. То есть, что такого натурального un, которое могло бы быть решением изначального уравнения, мы подобрать не можем.

ВТФ доказана? Точнее, ее третье доказательство проведено?


* * *

Ну и вообще в порядке постскриптума (P.S.). Взаимосвязь арифметики и геометрии многомерных пространств прослеживается в работе автора этих строк «Попытка разгадки тайн иудейского летосчисления. Изложение материала и результаты предварительной обработки» ([7]).

Поддержка автора и его проектов: 2200 2460 7492 8055


Литература.

1. Великая теорема Ферма. https://ru.wikipedia.org/wiki/ Великая_теорема_Ферма
2. Доказательство Уайлсом последней теоремы Ферма. https/en.wikipedia.org/wiki/Wiles
3. Уайлс, Эндрю (1995). "Модульные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма". Анналы математики. 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255.
4. Тейлор Р, Уайлз А (1995). "Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке". Анналы математики. 141 (3): 553–572. CiteSeerX 10.1.1.128.531. doi:10.2307/2118560. JSTOR 2118560. OCLC 37032255.
5. «Как, я доказал Великую теорему Ферма, или нет?». Блоггер Виталий. https://yandex.ru/video/preview/2205176418078287660
6. Как решать кубические уравнения. Формула Кардано — Видео от Пермский Политех | Лекториум ПНИПУ. https://yandex.ru/video/preview/10487176218685645126
7. Поляковский В.Т. Попытка разгадки тайн иудейского летосчисления. Изложение материала и результаты предварительной обработки. https://www.academia.edu/39458794, https://dzen.ru/a/Y2uWgsrrVTJYoAlE

г. Москва, июль 2026