Теорема Цермело решается просто

В отличие от людей с математическим профильным образованием, я изначально выдвигаю, как аксиому: множество, которое не может быть определено конкретной функцией, должно быть признано не существующим.

Отсюда следует, что не требуется доказательств того, что всякое множество может быть упорядочено, поскольку "множествами" некоторые математики называли свои математические фантазии.
Наоборот, из того, что множество может быть признано существующим, лишь если оно определяется конкретной функцией,следует, что математики более ста лет занимались разработкой ложных теорий.
 
Главная ошибка математического сообщества состоит в отказе от логики в пользу "большего содержания" математической системы. 

Теория множеств Кантора существовала лишь потому, что был нарушен естественный порядок мышления, и понятие "множество" фантастическим образом стало более значимым, чем понятие числа.

Настало время вернуть математике логичность, то есть отказаться в своём мышлении от понятий, которые не имеют за собой определённого математического значения.
Поскольку любое множество должно полностью определяться через математическую функцию, то само понятие "множество" становится избыточным. Некто Оккам советовал в математике не "плодить" лишних "сущностей". Как мы видим, математики об этом принципе забыли - зато этот принцип очень часто был изпользован против тех ученых, кто продвигал действительно правильные идеи. Например, полностью был запрещён эфир, как научное понятие.
Кстати, забавная тройная аналогия - Эйнштейн никогда и не утверждал, что эфир не существует. А, значит, его теория понята неправильно. Эйнштейновские высказывания в пользу существования эфира - вызвали раздражение у власть имущих, и он перестал эту тему поднимать. Чарльз Дарвин признавался, что отсутствие "переходных" видов между видами животных ясно указывает на проблемы теории его имени. Он даже писал, что не считает себя дарвинистом.
А, математик Кантор, автор ущербной теории множеств - в конце жизни вынужден был бросить научную работу, поскольку его теория содержит столько неустранимых дефектов, что многие математики активно выражали своё неприятие этой ложной теории, переворачивающей математику с ног на голову.

Все трое учёных - осознали свои ошибки, однако это не помогло изправить информацию в школьных учебниках.

Построение математической системы заново - не означает, что сама математика - полная чушь. Однако, следует признать, что математические задачи, в которых единственно верными решениями являются такие, как "рыбак должен поймать минус три рыбы" - это реальный бред, это нарушение логики. Да, математики должны уметь "видеть" и такие решения, но реальная математика не должна опускаться до деления на ноль и до извлечения квадратных корней из отрицательных чисел. В те времена, когда я учился в школе, делить на ноль было просто нельзя. А, теперь "новые математики" получают "приблизительно безконечность", и делят...Математика наполнилась совершенно дикими допущениями, и многие из них - появились через теорию множеств Кантора. Если спокойно разбираться с математическими понятиями, никакой путаницы и парадоксов не возникает. Нужно в мышлении чётко разделять функции, и не смешивать понятия. Одно и то же слово может означать совершенно разные процессы.

Для примера: решение "парадокса брадобрея" которому начальник дал указание брить всех, кто не бреется сам, предельно простое. Брадобрей бреется сам, и он никак не может побрить себя, как другого - это физически разные процессы. Не может брадобрей "брить себя, как другого" - для этого нужно раздвоиться. Очевидно, что проблемы в мышлении (в том числе некоторых философов) возникают из-за поверхностности мышления - из-за непонимания того, что одним и тем же словом или словосочетанием могут быть выражены кардинально различающиеся процессы - одно дело, когда бреешь себя сам - и совсем другое действие, когда бреешь другого человека - ничего общего. Кроме слова.По сути дела, произходит подмена понятий.
По легенде, некто Диодор Кроносский поклялся, что не будет принимать пищу, пока не разрешит антиномию "Если я говорю, что я лгу, то я лгу, или говорю правду?", или похожую по смыслу. Бедняга скончался за несколько дней.
А, нужно было всего лишь осмыслить, что когда человек лжёт, то он лжёт кому-то, и его ложь - выражена конкретной фразой в отношении действительности. Но, если некто не уточняет, кому он лжёт, и о чём, то проверить правдивость или лживость его слов о своей лжи невозможно.
(Вот, если бы он сказал, что солгал что-то конкретное, это можно было бы проверить. Например: "Я солгал, что убил Геракла. В действительности - это он убил меня". Здесь уже есть некоторая информация, которую мы можем проверить. Например, даже не зная о древнегреческом герое Геракле, и не зная, того ли Геракла убивал говорящий, мы не можем по самой фразе определить, насколько правдивы его слова. Но, поскольку говорящий жив, то мы можем сделать умозаключение, что вторая часть фразы - ложь. Однако, если говорящий находится при смерти, то, не изключено, что он своей фразой хотел выразить мысль, что умирает от руки Геракла, которого, возможно, хотел убить, но получилось иначе.)
Прошу простить мою "шалость" с усложнением смысла. Я лишь хотел показать, что иногда очень трудно правильно понимать слова других людей. Не зная контекста событий, мы почти всегда "рисуем"  себе ложную картину произходящего, лишь в отдельных деталях совпадающую с действительностью.
Изкусство мыслить - это не только умение понимать слова, но и умение различать, кто, почему и для чего говорит это именно вам.