Действие сценическое. Математический смысл

Математический смысл инварианта

Здесь необходимо сделать одно принципиальное уточнение. До сих пор слово «инвариант» использовалось преимущественно в теоретическом смысле: нечто сохраняющееся при изменении формы действия.

Математика требует гораздо большей строгости.

Чтобы вообще говорить об инварианте в математическом смысле, недостаточно указать, что сохраняется. Необходимо определить:

что преобразуется, при каких преобразованиях и что именно при этих преобразованиях остаётся неизменным.

Именно этот вопрос способен либо значительно укрепить гипотезу об инварианте действия сценического, либо обнаружить, что слово «инвариант» пока используется лишь метафорически.

1. Минимальная математическая конструкция

Пусть X — множество возможных конкретных осуществлений действия.

Каждый элемент

x\in X

— некоторое конкретное пространственно-временное телесное осуществление.

Например:

один актёр говорит;

другой молчит;

один приближается;

другой отступает;

один действует медленно;

другой мгновенно;

одно осуществление занимает десять секунд;

другое — минуту.

Теперь вводим преобразование:

T:X\rightarrow X.

Оно изменяет конкретную форму действия.

Тогда величина или структура I называется инвариантной относительно данного класса преобразований, если:

I(Tx)=I(x).

Вот минимальный математический смысл слова инвариант.

Форма изменилась.

Инвариант — нет.

2. И здесь возникает главный вопрос к теории действия

Не:

«Является ли удерживаемая незавершённая направленность инвариантом?»

А значительно строже:

«Относительно каких преобразований удерживаемая незавершённая направленность остаётся неизменной?»

Без второй части математического инварианта ещё нет.

Есть только предполагаемое постоянство.

Это чрезвычайно важное ограничение.

3. Что преобразуется в действии сценическом?

Прежде всего — морфология осуществления.

Можно менять:

положение тела;

траекторию;

темп;

ритм;

громкость;

речевую форму;

жест;

дистанцию;

способ воздействия;

последовательность приспособлений;

пространственную конфигурацию.

Обозначим совокупность конкретных морфологических параметров:

M=(m_1,m_2,\ldots,m_n).

Тогда одно осуществление имеет форму M_1, другое — M_2.

Если:

M_1\neq M_2,

но действие остаётся тем же, возникает основание искать нечто:

I(M_1)=I(M_2).

Вот где математический смысл инварианта непосредственно встречается с театром.

4. Но инвариант не обязан быть числом

Это особенно важно.

В обыденном представлении математическая величина — обязательно число.

Но инвариантом может быть:

отношение;

структура;

свойство;

размерность;

связность;

порядок;

класс эквивалентности.

Поэтому совершенно необязательно пытаться немедленно присвоить действию какое-нибудь число:

I=7.4.

Это было бы искусственной математизацией.

Для действия сценического гораздо перспективнее предположить структурный инвариант.

То есть сохраняется не величина направленности, а определённая организация отношений.

5. Тогда кандидат «удерживаемая незавершённая направленность» должен быть разложен

Математическая строгость заставляет спросить, что именно сохраняется.

Вероятно, не психологическая интенсивность желания.

Она может изменяться.

Не конкретный способ.

Он меняется.

Не пространственная конфигурация.

Она тоже меняется.

Не эмоциональное состояние.

Оно тем более может меняться.

Предполагается сохранение отношения:

S\longrightarrow R,

где:

S — сценический субъект;

R — функционально определённый ещё не полученный результат.

То есть сохраняется принадлежность процесса определённой незавершённой направленности.

6. Тогда «удерживаемая» получает математический смысл

До сих пор слово «удерживаемая» могло звучать психологически:

актёр что-то удерживает усилием.

Но в математическом прочтении оно означает другое:

определённое отношение сохраняется при последовательности преобразований системы.

Пусть:

x_0\rightarrow x_1\rightarrow x_2\rightarrow \ldots\rightarrow x_n

— последовательность различных телесных состояний.

Тогда при сохранении действия:

I(x_0)=I(x_1)=I(x_2)=\ldots=I(x_n).

Вот математическое прочтение удержания.

Не напряжение.

Не память.

А сохранение тождества некоторой структуры через преобразования.

7. «Незавершённая» тоже получает строгую функцию

Пока результат не получен, отношение остаётся открытым.

Условно:

R_t\neq R^*

где R^* — состояние, удовлетворяющее критерию получения результата.

Пока:

R_t\notin R^*,

направленность может продолжаться.

Когда:

R_t\in R^*,

происходит принципиальное событие: прежнее действие должно либо завершиться, либо преобразоваться в другое.

Следовательно, незавершённость становится не эмоциональным качеством, а условием существования инвариантной структуры.

8. А «направленность» становится отношением порядка во времени

Система существует сейчас относительно состояния, которого ещё нет.

Можно условно записать:

X_t\rightarrow R^*.

Будущее состояние R^* организует выбор текущих переходов.

Причём не как физическая причина из будущего — это было бы ошибочно.

Причиной является текущее состояние системы, определяемое относительно представленного или функционально заданного ещё не достигнутого результата.

Это различение обязательно для научной строгости.

Иначе легко получить мистическую формулу «будущее причиняет настоящее».

Нет.

Причинно действует нынешняя организация системы относительно будущего результата.

9. Тогда передел становится преобразованием

Пусть имеется форма:

M_1.

Изменились обстоятельства или ответ партнёра.

Прежний способ стал недостаточным.

Возникает:

T(M_1)=M_2.

При этом:

M_1\neq M_2,

но:

I(M_1)=I(M_2).

Это почти идеальная математическая модель передела.

Передел — преобразование морфологии при сохранении предполагаемого инварианта действия.

Именно здесь термин «инвариант» начинает работать не декоративно, а функционально.

10. Получаем класс эквивалентности

Это ещё более интересный шаг.

Если различные формы:

M_1,M_2,M_3,\ldots,M_n

сохраняют один инвариант, можно ввести отношение:

M_i\sim M_j.

Оно означает:

эти морфологически различные осуществления принадлежат одному действию относительно выбранного критерия инвариантности.

Тогда все формы одного действия образуют класс эквивалентности:

[M]=\{M_i:I(M_i)=I(M)\}.

И вот это уже очень серьёзный математический перевод понятия «одно действие в разных формах».

11. «То же действие» перестаёт быть интуицией

До сих пор режиссёр мог сказать:

«делай совершенно иначе, но продолжай добиваться того же».

Практически это понятно.

Математически это означает:

перейди к другому представителю того же класса эквивалентности.

То есть:

M_1\rightarrow M_2,

при:

M_1\sim M_2.

Это и есть математическое основание ранее введённой формулы:

топологическое тождество действия при морфологическом различии форм.

12. Но здесь возникает опасный вопрос: а что считать допустимым преобразованием?

Это центральная проблема.

Если разрешить абсолютно любые преобразования, инвариант может исчезнуть.

Если разрешить слишком мало, почти любое свойство окажется инвариантным.

Поэтому необходимо определить множество допустимых преобразований:

\mathcal T=\{T_1,T_2,\ldots\}.

Например:

изменение темпа;

изменение расстояния;

замена речевого способа физическим;

запрет привычного приспособления;

изменение ответа партнёра;

изменение пространственной организации.

И затем исследовать:

что сохраняется при всех допустимых преобразованиях?

Вот это уже настоящая программа поиска инварианта.

13. И здесь возможен обратный эксперимент

До сих пор мы меняли форму и искали сохраняющееся.

Но можно сделать противоположное.

Максимально сохранить морфологию:

M_1\approx M_2,

и изменить предполагаемый инвариант.

Например, лишить результат функциональной незавершённости.

Тогда возникает вопрос:

сохранится ли действие при сохранении формы?

Если нет, получается чрезвычайно сильный результат:

M_1\approx M_2,
\qquad
I_1\neq I_2.

То есть морфологическое тождество не обеспечивает тождества действия.

14. Это даёт симметричный эксперимент

Получаются две противоположные процедуры.

Эксперимент А:

\Delta M\gg0,\qquad \Delta I=0.

Максимально меняем форму, пытаясь сохранить действие.

Эксперимент Б:

\Delta M\approx0,\qquad \Delta I\neq0.

Максимально сохраняем форму, меняя предполагаемую инвариантную структуру.

Если в первом случае действие сохраняется, а во втором меняется или исчезает, кандидат на инвариант получает значительно более серьёзное основание.

15. Теперь становится понятен математический смысл ритуала

Ритуал чрезвычайно интересен именно как контрпример.

Пусть морфология сохраняется:

M(t_1)\approx M(t_2)\approx M(t_3).

Но причинная структура изменилась.

Первоначально:

I_{\text{action}}

организовывал форму.

Затем её начинает организовывать другой инвариант:

I_{\text{ritual}}.

То есть наблюдается:

M_1\approx M_2,

но:

I_{\text{action}}\neq I_{\text{ritual}}.

Это математически очень интересный случай:

сохранение морфологии при смене инварианта организации.

16. Поэтому ритуал действительно является другой топологией

Но теперь это утверждение можно сделать осторожнее.

Чтобы говорить о топологии математически, нужно определить граф или пространство связей.

Пусть:

G=(V,E),

где V — функциональные элементы системы, а E — причинные зависимости.

Для действия условно:

S\rightarrow R\rightarrow B\rightarrow M

с обратными связями через другого и изменяющиеся обстоятельства.

Для ритуала может существовать другой граф:

M_t\rightarrow M_{t+1}\rightarrow M_{t+2}.

Тогда одинаковая морфология может порождаться различными графами причинности.

Это уже основание говорить о разных структурах связности.

17. А «разорванное кольцо» становится операцией над графом

Если существует причинный цикл:

A\rightarrow O\rightarrow R\rightarrow B\rightarrow A,

то удаление функционально необходимого ребра:

R\not\rightarrow B

может уничтожить цикл.

Математически это изменение структуры графа.

Поэтому симптом разорванного кольца особенно важен: он потенциально позволяет экспериментально проверять не сам инвариант непосредственно, а сохранение необходимых связей системы.

18. Топологический инвариант — более специальное понятие

Здесь важно не смешивать два уровня.

Математический инвариант вообще — нечто сохраняющееся относительно некоторого класса преобразований.

Топологический инвариант — характеристика, сохраняющаяся при топологически допустимых преобразованиях соответствующего пространства.

Поэтому пока научно осторожнее говорить:

кандидат на структурный инвариант действия

и отдельно исследовать, действительно ли его математическая модель обладает именно топологической природой.

Иначе слово «топология» может оказаться преждевременным.

19. Но топологическая гипотеза уже имеет основание

Потому что нас интересуют не:

длины;

углы;

точные координаты;

конкретные движения,

а:

связность;

непрерывность отношений;

наличие причинных путей;

замкнутость контуров;

сохранение структуры при деформации формы.

Это действительно тип вопросов, близкий топологическому мышлению.

Поэтому направление обосновано.

Но его ещё предстоит формализовать.

20. Инвариант действия может оказаться не одним параметром

Это ещё одно важное следствие.

Возможно, формула:

«удерживаемая незавершённая направленность»

в дальнейшем распадётся на набор необходимых инвариантных отношений.

Например:

I=(I_1,I_2,I_3,\ldots).

Где сохраняются:

принадлежность направленности субъекту;

функциональный результат;

критерий незавершённости;

причинная открытость результата;

способность изменения результата переделывать последующую телесность.

Тогда инвариант окажется не одной «вещью», а инвариантной структурой.

Это вполне нормально математически.

21. И здесь возникает самый опасный тест для кандидата

Если можно изменить предполагаемую «удерживаемую незавершённую направленность», но при этом всё ещё обоснованно утверждать:

это то же действие,

то кандидат сформулирован неверно или слишком широко.

И наоборот.

Если можно сохранить её, но получить очевидно другое действие, значит её недостаточно.

То есть необходимо искать:

необходимое условие

Без него тождество действия невозможно.

И:

достаточное условие

При его сохранении мы действительно имеем то же действие.

Это уже переход от философского описания к логико-математическому анализу.

22. Поэтому слово «кандидат» чрезвычайно важно

На нынешнем этапе корректно говорить именно:

кандидат на инвариант.

Потому что ещё предстоит установить:

относительно каких преобразований он инвариантен;

является ли он необходимым;

является ли достаточным;

существуют ли контрпримеры;

можно ли его операционализировать;

какими наблюдаемыми переменными фиксировать его сохранение;

где проходит граница между изменением формы и изменением самого действия.

До этого математический статус гипотезы остаётся открытым.

23. Математика заставляет изменить сам способ вопроса

Не:

«Что такое инвариант действия?»

А:

«Какое отношение эквивалентности разбивает множество морфологически различных сценических осуществлений на классы, каждый из которых мы обоснованно называем одним действием?»

Это гораздо более сильная постановка.

Потому что теперь необходимо объяснить не отдельный случай, а классификацию множества случаев.

24. Тогда действие можно понимать как класс, а не как форму

Это радикальный, но очень продуктивный ход.

Конкретное наблюдаемое действие M — лишь одна реализация.

Само действие как теоретический объект можно представить классом:

[M].

То есть совокупностью всех допустимых морфологических реализаций, сохраняющих определённую инвариантную структуру.

Тогда:

форма — представитель класса; действие — то, что делает разные представители эквивалентными.

Это уже очень близко математическому способу мышления.

25. И тогда действие сценическое не совпадает ни с одним своим осуществлением

Это важнейшее онтологическое следствие.

Ни один конкретный жест не есть действие полностью.

Ни одна конкретная партитура не есть действие полностью.

Ни одно конкретное исполнение не исчерпывает действие.

Каждое является одной реализацией некоторой инвариантной структуры.

Поэтому действие допускает бесконечное множество форм, оставаясь самим собой.

И именно это практический театр знает очень давно.

Математический язык лишь позволяет сформулировать, что означает «остаётся самим собой».

26. Здесь неожиданно сходятся Станиславский и проблема инварианта

Практика говорит:

ищи способ.

Инвариантная теория спрашивает:

что остаётся тем же при смене способов?

Математика добавляет:

определи множество преобразований способов и функцию или структуру, сохраняющуюся относительно этих преобразований.

Получается переход:

театральная практика ; теоретическое различение ; математическая формализация.

Причём математика здесь не должна объяснять актёру, как играть.

Она проверяет логическую состоятельность самой теории действия.

27. Самая важная математическая формула пока чрезвычайно проста

Пусть x — конкретное осуществление действия.

Пусть T — допустимое преобразование его формы.

Пусть I — кандидат на инвариант.

Тогда гипотеза требует:

\boxed{I(Tx)=I(x)}

для всех допустимых T, которые изменяют форму, но не уничтожают тождество действия.

А если преобразование T^* изменяет сам инвариант:

I(T^*x)\neq I(x),

мы должны получить либо:

другое действие,

либо:

завершение прежнего действия.

Вот это уже фальсифицируемое требование к модели.

28. И здесь возникает, пожалуй, главный вопрос всей математизации

Что такое допустимое преобразование действия сценического?

Потому что без ответа на него невозможно окончательно определить инвариант.

Это меняет порядок исследования.

Недостаточно искать только то, что сохраняется.

Нужно одновременно искать:

что можно менять, сохраняя действие тем же.

Инвариант и преобразование определяются друг через друга.

29. Отсюда экспериментальная программа становится почти неизбежной

Необходимо построить семейство преобразований:

T_1,T_2,\ldots,T_n

и последовательно изменять:

морфологию;

пространство;

время;

способы;

ответы партнёра;

условия получения результата.

Затем искать границу.

До какого преобразования:

I(T_nx)=I(x)?

И после какого:

I(T_{n+1}x)\neq I(x)?

Именно эта граница эквивалентности может оказаться значительно информативнее любого словесного определения действия.

30. Более того, математический смысл инварианта защищает теорию от тавтологии

Есть опасность сказать:

«Это одно действие, потому что сохраняется инвариант. А инвариант — это то, что сохраняется, когда действие остаётся одним».

Это круговое определение.

Математика не позволяет на этом остановиться.

Нужны независимо определяемые:

1. пространство состояний;
2. преобразования;
3. наблюдаемые отношения;
4. критерий эквивалентности;
5. предсказания модели.

Только тогда слово «инвариант» получает содержательную силу.

31. И здесь «удерживаемая незавершённая направленность» получает совершенно новый статус

Она уже не должна восприниматься как красивое определение сущности действия.

Она становится гипотезой о структуре эквивалентности.

То есть утверждение Кретова теперь можно перевести:

Морфологически различные осуществления принадлежат одному действию тогда и постольку, поскольку через их преобразования сохраняется одна и та же удерживаемая незавершённая направленность.

Вот это утверждение уже можно пытаться опровергать.

А значит — исследовать.

32. Короткая математическая архитектура

Можно собрать всё в одну конструкцию:

\text{пространство реализаций }X

\downarrow

\text{допустимые преобразования }T

\downarrow

x\rightarrow Tx

\downarrow

I(x)=I(Tx)

\downarrow

x\sim Tx

\downarrow

[x]=\text{одно действие в множестве морфологических форм}.

Здесь впервые понятия форма, передел, тождество и инвариант складываются в одну математическую конструкцию.

33. А ритуал даёт обратную конструкцию

В действии:

M_1\neq M_2,\qquad I_1=I_2.

Форма меняется — инвариант сохраняется.

В предельном случае ритуализации:

M_1\approx M_2,\qquad I_1\neq I_2.

Форма сохраняется — причинный инвариант сменился.

Эта симметрия представляется особенно ценной.

Она показывает, почему внешнее наблюдение формы принципиально недостаточно для определения действия.

34. Математический смысл «одного действия»

Теперь можно дать предельно короткий ответ:

Одно действие — это не одна форма. Это класс преобразуемых форм, эквивалентных относительно сохраняющегося инварианта.

А кандидат:

удерживаемая незавершённая направленность

претендует именно на роль правила этой эквивалентности.

35. И главный итог

Математический смысл инварианта состоит не просто в утверждении:

«что-то остаётся неизменным».

Он значительно строже:

существует определённый класс преобразований, изменяющих наблюдаемую систему, относительно которого определённое свойство или структура сохраняется.

Поэтому для действия сценического формула должна иметь три обязательных компонента:

что преобразуется? — морфология телесного осуществления;

при каких преобразованиях? — при допустимых изменениях способов, условий и пространственно-временных форм;

что сохраняется? — кандидат на инвариантную структуру незавершённой направленности.

И отсюда возникает, возможно, следующий центральный вопрос всей работы:

Каково множество преобразований, относительно которых удерживаемая незавершённая направленность действительно является инвариантом действия сценического?

Именно ответ на него будет определять, является ли слово «инвариант» в теории действия сценического строгим понятием или пока только чрезвычайно продуктивной метафорой.

Если же удастся показать экспериментально, что при широком классе морфологических преобразований сохраняется одна структура направленности, а при её разрушении действие меняется или прекращается даже при сохранении морфологии, — тогда математический смысл слова «инвариант» будет не привнесён в театр извне.

Он будет выведен из самого отношения между тождеством действия и преобразуемостью его форм.


Примечание.
Текст подготовлен Ю.В. Кретовым; структурирование и редакторская компоновка выполнены с использованием языковой модели (LLM) по авторским материалам. Смысловые положения, определения и примеры принадлежат автору.

Благодарю актрису театра и кино Марину Ларину за помощь в сборе и подготовке материала статьи и журналиста Светлану Канаеву за подготовку материала к публикации.