Среднее гармоническое и гармонизация в искусстве

СРЕДНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ И ГАРМОНИЗАЦИЯ В ИСКУССТВЕ
математика и искусство   Владимир Чернов


В   ходе  работы  над   картиной   перед   художником  стоит  задача  гармонизации  изображения. В   обычном  понимании,  это  означает   согласовании   различных   деталей   при создании   целого.   Нередко   для   этого   художник   использует   математику.  Однако   понимание гармонического    в    математике    несколько    отличается    от    общефилософского.    можно    сказать    гуманитарного,    представления.    В    математике     для    описания    гармонии    или гармонических    процессов    используется    гармоническая   функция.   Что    такое    функция    в    обычном    понимании.    Это    математическое,   описание   с помощью  безразмерных  образов   в    виде    знаков,    некоего процесса,    некоего    явления,  некоей   сущности.   Итак,   в   математике   это   такая   функция,    которая   удовлетворяет    решению    уравнения    Лапласа.  И   все.   Четко,   но  для  не   специалиста  сложно.   Попробуем   разобраться        в   этих   понятиях   и,   возможно,  найти  точки соприкосновения   их.    Для   чего?    Для    того,    чтобы    и    художники,    и    математики    лучше понимали  друг   друга.  Наш   мир   един.   И   мы   не   должны   разъединяться.    Дело   в   том,   что современное   искусство    активно   использует   математику,   а   математики    даже   заявляют,  что   сама    математика   является   искусством.   Например   высказывание   известного английского   математика Харди или нашего соотечественника   Александра   Волошинова.

           В математике есть такое понятие: взаимообратные числа. Это такие два числа  при перемножении которых, результат равен единице. То есть:  Аn x Bn = 1  или  Аn = 1/Bn.  Например числа 1/5 и 5.     Из таких взаимообратных чисел можно составить два ряда.
Ряд:   1, 1/2, 1/3 ....   Аn и ряд:  1, 2, 3,  ..... Вn.  Каждый  член первого ряда, начиная со второго члена, всегда меньше единицы.
           В свою очередь, каждый член второго ряда, начиная со второго члена, всегда больше единицы.      
          Если внимательно посмотреть на второй ряд, то можно заметить, что любое его число можно получить, используя формулу среднего арифметического  В3 = (В2 + B4)/2. Действительно, например  3 = (2 + 4)/2 ).  Са = (Вm + Bn)2
          Поскольку общим правилом связи чисел первого ряда со вторым есть обратимость, мы можем получить значение среднего числа между двумя числами первого ряда воспользовавшись этим свойством. Перевернем среднее арифметическое второго ряда. 1/Вn =  2/ (Bn-1 + Bn+1) или  Аn = 2/(1/1/Bn-1 + 1/1/Bn+1) =                (2х1/1/Вn-1 x 1/1/Bn+1)/(1/1/Bn-1 + 1/1/Bn+1) или                Аn = ( 2x An-1 x An+1)/(An-1 + An+1)  (1) или  An = 2/(1/An-1 + An+1) (2)                Действительно  для чисел  1/2, 1/3, 1/4 имеем: 1/3 = (2х 1/2 х 1/4)/(1/2 + 1/4) .    Формула (2) определяет  Аn,  как среднее гармоническое двух чисел Аn-1  и  An+1  первого ряда. (почему оно имеет такое название выясним попозже)               
            Среднее гармоническое для второго ряда ищем аналогично. Сначала ищем среднее арифметическое для первого ряда чисел, а затем переворачиваем его. Полученный результат и будет средним гармоническим любых двух чисел второго ряда. Возьмем для примера следующие числа первого ряда. допустим  А3 и А5.   Среднее арифметическое равно     Са = (А3 +А5)/2.  (1/3 + 1/5)/2 = 4/15 Перевернем его и получим  1/Са = 2/(А3 +Ф5)  или  1/Са = Сг = 2/(1/В3 + 1/В5 =  (2х В3 х В5)/(В3 +В5). Действительно  (2 х 3 х 5)/(3 + 5) = 15/4    В математике  среднее гармоническое Вm  и  Bn   или  Аm и  Аn  так и определяются. По формуле  Сг = 2/(1/Bm + 1/Bn)   или  Сг = 2/(1/(Аm + An)/
           Итак мы прояснили свойства обоих рядов в различных обстоятельствах, основываясь на их взаимообратимости. И в ходе работы использовали такие понятия, как среднее арифметическое и среднее гармоническое. для двух членов соответствующих рядов.  Что такое среднее арифметическое - понятно.   А что же такое среднее гармоническое? Почему оно так называется?  Где оно встречается на практике?
             Нарисуем квадрат, нижнюю его сторону примем за единицу длины и продолжим вправо. Разметим ее единичными отрезками. Левый нижний край квадрата обозначим цифрой 0 и далее все метки цифрами 1. 2, 3,  ....... Вn. Это и есть второй ряд чисел. После этого, на  боковой стороне квадрата  отделим часть равную 1/2 его длины, затем 1/3, затем 1/4. и т. д.  Так мы изобразим первый ряд чисел.  1, 1/2,1/3, .... Каждое из этих определяется, как среднее гармоническое двух рядом стоячих чисел.
 
1. Квадрат может изображать резонатор для электромагнитных или любых  волн. Тогда числа 1, 1/2, 1/3, .... Аn  могут быть интерпретированы, как длины волн в резонаторе, а числа 1, 2, 3, .... Bn - частоты этих волн. 

2. квадрат можно представить, как картинную плоскость (картину). Тогда числа Вn представляют реальные отрезки на местности, а  Аn - их изображения на картине за счет проектирования. То есть существует реальное и картинное пространства. Картинное пространство соответствует Аn множеству чисел.

 3. Длина отрезка проходящего через точку пересечения двух диагоналей трапеции равна среднему гармоническому (Bn, An) верхнего (Аn-1, Bn-1)  и нижнего (An+1, Bn+1) оснований трапеции. Как раз в этой точке два основания трапеции выравниваются. По аналогии со средним арифметическим и средним геометрическим.  То есть если Аn = Am  или  Вn = Bm, например: Аn = 1/4, а Вn = 4 , то и их средние гармонические равны  1/4  и  4  соответственно.
   
4. Двойное фокусное расстояние выпуклой линзы тоже равно среднему гармоническому расстояний от предмета до средней линии линзы и от средней линии линзы до изображения. (По аналогии с предыдущим примером)   
               
5. Удвоенное общее сопротивление R электрическому току при параллельном соединении сопротивлений (или,как говорят, проводников) R1 и R2  тоже равно среднему гармоническому от R1 и R2.
               
6. Если центры двух соприкасающихся окружностей являются  некоторыми внешними точками соответствующих инверсий относительно соответствующих окружностей, то двойное расстояние между внутренними точками этих инверсий является средним гармоническим  между радиусами R1 и R2 этих окружностей.

7. В системе координат  X  и  У построим диагональ проходящую через центр и через первый и третий квадранты. Разметим оси координат на равные отрезки: 1, 2, 3, ... Разметим диагональ на равные отрезки так,  чтобы в точке с координатами (1,1) на диагонали стояло число 2, (2,2) - 4, и так далее.
Теперь:  линия, проведенная через первый квадрант, так чтобы она пересекала  положительное направление осей  X и Y, а также диагональ, будет отсекать  от осей отрезки равные Хm и Уn, а от диагонали - их среднее гармоническое. Хm  и  Xn  соответствуют  Вm   и Вn.   По аналогии можно построить схему для Am и  An. Таких примеров можно привести еще очень много.
             Из   приведенных   примеров   мы   видим,   что   среднее   гармоническое   не   такое   уж редкое явление. Мы   очень   хорошо   информированы   о   среднем   арифметическом,   и   среднем геометрическом.   А   между   тем   именно   понятие  гармонического,  а   вместе   с   ним,   и среднего   гармонического,   составляет   основу   всей   нашей   жизни.   Не   было   бы   гармони то   и   вселенной,   в   общем   понимании   этого   слова,   не   было   бы   вообще.   Мир   бы   вечно  был  бы   погружен   в   хаос   и   небытие.
               Кроме среднего гармонического в математике мы знакомы еще с одним понятием - гармоническим числом.   Гармоническое число,  это   частичная сумма чисел ряда An,  то есть  -   Гч = 1 + 1/2 + 1/3 .....  An.   Сам ряд тоже называется гармоническим.  Почему?

                Как объясняется в соответствующей литературе, потому, что отдельные составляющие этого числа  соответствуют звуковым гармоникам  основного тона струн соответствующей длины. То есть числам ряда Аn. За 1-цу принимается длина волны первой гармоники и так далее.  Эти колебания рассматривали Пифагорейцы (в свете приложениями к теории музыки), как самые простые, плавные и благозвучные.  Кроме этого ими были обнаружены согласованные звучания одновременно или последовательно производимые струнами с отношением длин, как 1/2, 2/3, 3/4 .... и т. д.  Это музыкальные интервалы октавы, квинты, кварты и др.   
           Уже позже выяснилось (благодаря решению уравнения Лапласа), что эти колебания, описывается функциями  Sin(nф)  и  Cos(nф).  Они определяют форму окружности радиуса R. То есть -  R2 = Sin(ф)2 + Cos(ф)2. (здесь 2, как степень) В следствие этого был найден математический и зрительный, геометрический образ гармонического колебания. В изобразительном искусстве стала более понятной красота плавных линий, плавных переходов тона, цвета, магическое воздействие ритмов  и  им подобных самосогласованных явлений.
            Рассмотрим формулу среднего гармонического в виде.
             Сг =  (Вm х Bn)/((Bm + Bn)/2).
Здесь знаменатель представляет собой половину суммы (среднее арифметическое)  (Вm +  Bn)/2 = Cа   Числитель, это квадрат среднего геометрического этих чисел. ( Вк2 = Вm x Bn = 1 x Вк2. В реальных единицах (например в см.) это площадь квадрата с соответствующими сторонами   или прямоугольника шириной в 1 см. и высотой Вк2 см. (линейных единиц). (Здесь мы переходим к учету размерности, чтобы согласовать чисто количественные расчеты с качественными. Размерность, как раз и есть качество, фигурирующее в философском определении гармонии)            Значит Сr высота этого прямоугольника на единицу линейного отрезка Вm + Bn/2. Проще говоря плотность величины Вк2 на отрезке Са. Или плотность квадрата среднего геометрического на отрезке Са. Или еще - отношение (или связь) среднего геометрического в квадрате к среднему арифметическому. Казалось бы все нормально, но это только математика. И ничего больше. А ведь понятие гармонии значительно шире. Теперь мы переходим к понятию гармонии и в искусстве и вообще во всех прочих проявлениях жизни.
              Для этого обратимся к общему определению гармонии в философском смысле. Выписка из энциклопедического словаря :
          "Гармония - связь, соединение, соответствие, соотношение (от греческого - прилаживать, подгонять), а также в философском эстетическом смысле - согласование, сочетание разнородных и даже противоположных (конфликтных) элементов. Слаженность целого, рождающаяся от сочетания противоположных по качеству сущностей (например в музыке консонанс и диссонанс".

             Как согласовать математическое и философское (можно сказать эстетическое) представления о гармонии. Что означает в этом определении слово - элементов. Здесь подразумеваются любые сущности: и живые существа, и результаты их деятельности ( труда, творчества),  и явления природы, и т.д. Но это не просто сущности, а элементарные, то есть те из которых, как из элементов состоит или образуется целое. Причем целое по качеству может отличается от элементарного.  И   вот    все   это  подвержено двум процессам:    объединению  и  разъединению.  В результате - что - то  производится или разрушается.  Созидание нового качества и есть процесс произведения. Произведение нового в любой  форме. Хоть в реальной, хоть в условно нереальной - в математической.
            Еще  раз   посмотрим на исследуемую формулу. В знаменателе  никаких  разных качеств мы не видим. (здесь качество характеризуется размерностью - см.  Повторим, что окружающем нас мире все название любой сущности - человек, облако, мысль, сантиметр - все это размерность того  или другого множества). В знаменателе качественного перехода не происходит. Сантиметры остаются сантиметрами. Зато числитель представляет другую картину. Здесь сантиметры, в результате сочетания двух разных по величине и НАПРАВЛЕНИЮ. элементов (примеры 2см. х 8см = 16см2 = 4х4 см2 )  создают новое  качество. новый образ, новую целостную сущность с  новой размерностью - квадрат. Или как было сказано - среднее геометрическое в квадрате.
            Следовательно математические действия произведения и отношения несут в себе смысл гармонической связи их составляющих.
            Действительно, никакое произведение не может быть не гармоничным. Целое потому и целое, что части его сочетаются. Если его части не будут дополнять друг друга, то новый целостный образ не будет создан. Произведение потому и называется произведением, что в процессе своего творения, оно производит новое. Любые две величины в процессе произведения дают новую размерность - новое целое, состоящее из связанных единиц ( то есть, каждого из составляющих элементов - сомножителей).  Создается  новый  образ,  происходит  преобразование. В  искусстве как раз и происходит постоянное создание,  произведение новых образов.     Это  с точки зрения философского определения гармонических величин.
           К счастью  и  с точки зрения решения уравнения Лапласа функция  Z = nХ умноженное на nY, тоже является гармонической. Потому, что в математике гармоническими функциями являются те, у которых: либо вторая производная ровна нулю, либо конечный результат решенного уравнения Лапласа тоже равен нудю.  Вторая производная этой функции в частных производных действительно ровна нулю. Это математический взгляд. Применен метод Фурье - разделения переменных. Итак: исходя из наших выводов следует, что формулу гармонического среднего можно понимать, как количество некоей гармонии на единицу отрезка равного среднему арифметическому от величин (чисел) из которых определяется это среднее гармоническое. Поскольку произведение есть сумма квадратных единиц,  1x1 = 12 ( единица в квадрате), то наше определение означает:  сумма квадратных единиц на единицу линейных. Гармоническая плотность. Или можно так. Плотность гармонического отрезка ( т.е. отрезка, состоящего из квадратных единиц (линейных и квадратных элементов) - прямоугольника с маленькой стороной равной единице линейного отрезка. а с большой - сумме произведений этих отрезков) на  соответствующем линейном отрезке. Или даже так.  Гармония, ( связь) нормированная к среднему арифметическому соответствующих отрезков. Таким образом гармоническое среднее является мерилом целостности. Мерилом насыщенности гармонических, совокупных связей на участке от 1 и до (Вm + Bn)/2 или от 1 и до (Am + An)/2.
          Некоторые выводы: Так, исходя из наших рассуждений, и следует понимать связь математического и философского  понятий  гармонии. В самом понятии произведения нового. Будь то математическая величина, будь то новая сущность жизни. Жизнь сама себя производит, воспроизводит или гармонизирует до бесконечности.
           При росте произведения Bm х Bn растет и среднее гармоническое. Вне картины этот рост может быть бесконечным. Следовательно при бесконечных размерах вселенной гармония ее тоже бесконечна! Кроме этого, среднее гармоническое растет и в случае, когда Bn + Bm постоянно, но числа, из которых состоит эта сумма, меняются в произведении от 1 и до окрестности среднего значения суммы.
          Теперь о том, что происходит внутри картины.  Здесь наоборот. Максимум гармонии достигается при самых маленьких значениях Вn.  При 1, 2, 3, ... То есть при отрезках равных  1, 1/2, 2/3, ... от максимальной стороны картины. Что соответствует музыкальным  интервалам:  октаве, квинте, кварте, и т. д.
               Важным является то, что  произведение числителя среднего гармонического равно количеству взаимосвязей, взаимоотношений между сомножителями, то есть тому, образно говоря, невидимому объекту, который творит музыку. Сами звуки музыку не творят, сам цвет картину не создает. Произведение возникает за счет соответствующих отношений звуков и пятен цветов. Произвольное их сочетание творит только шум, звуковой и цветовой хаос.
             Но тут возникает интересный парадокс. Ведь где, где, а в хаосе различных отношений бесконечное множество. (Правда не понятых нами). Отсюда и гармоническое среднее космоса бесконечно. Он нам кажется только хаосом. То есть, гармония кажущегося хаоса - бесконечна. Вытекает, что хаоса в природе принципе нет. Хаос порождает наше незнание, наша пустота. И в человеческом обществе, то же самое. Хаос мы порождаем сами, своим незнанием. Но с другой стороны познать все невозможно. Значит без хаоса, пусть даже мистического, обойтись невозможно. Чудо из чудес !!!   Перейдем к пространству внутри картины.
            В примере 2 было показано, что гармонический ряд автоматически укладывается на плоскости картины я является проекцией ряда чисел  предметного пространства. Таким образом предоставляется возможность для художника создавать иллюзию глубины предметного пространства. Это пример линейной перспективы. И художнику самой природой предоставлена возможность работать в стиле реализм.  Однако, если предположить, что на полу под ногами художника лежит вторая картина, а сам художник парит в воздухе над ней, то он обнаружит, что на ней есть что-то в точности похожее на первую картину. Для этого он использует метод получения математической инверсии. Действительно, на напольной картине образуется тот же гармонический ряд чисел.

И теперь инвертируя реальное пространство в свое изображение он может отказаться от иллюзии и получить плоскостное изображение. Теперь он спокойно может работать в каком угодно из декоративных стилей. Математика абсолютно та же. Но смысл изменения  масштаба объектов становится другим. Реализм воспроизводит глубинное пространство за счет оптического видения, где реализуется математика среднего гармонического. А декоративное искусство воспроизводит плоскостное пространство взаимообратного ряда напрямую. Инверсия инвертирует его из натурального ряда. Это, если так можно выразится, пространство чистых отношений в том числе и гармонических. Одним из вариантов из этой области изобразительного творчества является совмещение пространственного и плоскостного изображений. Как это неоднократно мы встречаем у Василия Кандинского. Между прочим предчувствие такого видения мы можем видеть уже  у Питера Брейгеля, например в картине " Охотники на снегу".

 
В. Кондинский

            Самое главное в том, что эстетическая и математическая ценность и суть катины на полу ничуть не пострадают. Иллюзии пространственных сокращений не будет, но появятся другие неиллюзорные пространства, которые открывают перед художником и математиком бесконечные фантастические возможности. Сейчас, в современном искусстве это уже происходит.

 
В. Чернов    "Сусанна и старцы или Гармония и обратные антики"

           Но это только начало. Впереди бесконечные творческие перспективы. Эти вопросы выходят за пределы данной работы. Поэтому мы остановимся в надежде продолжить эту тему в будущем.
 
В. Чернов  "Центр мироздания"

      
            Теперь несколько слов о гармоническом среднем в связи с рядом чисел "золотого сечения". Оказывается, что если применить формулу среднего гармонического к ряду " золотого сечения", то мы вновь получаем ряд "золотого сечения", но с множителем 2 перед каждым членом. Например:
Возьмем два рядом стоящих числа из ряда чисел "золотого сечения"  1 и  1,618 . Рассчитаем их среднее гармоническое.   
 Сг = (2х1х1,618)/(1+1,618) = 2х 0,618 = 1,236.  Далее для  0,618 и 1 получаем (2х 0,618 х 1)/ (0,618+ 1) = 2х 0,382 = 0,764 и т.д. Видим, что 1,236/0,764 = 1, 618... Если мы отказываемся от 2, то получаем чистые числа "золотого сечения", но смещенные на шаг в сторону уменьшения.
Картины автора "Сусанна и старцы или Гармония и обратные антики" и "Центр мироздания"

Чернов Владимир август 2026г.