Среднее гармоническое и гармонизация в искусстве

               
                математика и искусство

           В математике есть такое понятие: взаимообратные числа. Это такие два числа  при перемножении которых, результат равен единице. То есть:  Аn x Bn = 1  или  Аn = 1/Bn.  Например числа 1/5 и 5.     Из таких взаимообратных чисел можно составить два ряда.
Ряд:   1, 1/2, 1/3 ....   Аn      и ряд:  1, 2, 3,  ..... Вn. Каждый член первого ряда, начиная со второго члена, всегда меньше единицы.
           В свою очередь, каждый член второго ряда, начиная со второго члена, всегда больше единицы.       
          Если внимательно посмотреть на второй ряд, то можно заметить, что любое его число можно получить, используя формулу среднего арифметического  В3 = (В2 + B4)/2. (действительно, например  3 = (2 + 4)/2 ).  Са = (Вm + Bn)2
          Поскольку общим законом связи чисел первого ряда со вторым есть обратимость, мы можем получить значение среднего числа между двумя числами первого ряда воспользовавшись этим законом.  Перевернем среднее арифметическое второго ряда.   1/Вn =  2/ (Bn-1 + Bn+1)   или  Аn = 2/(1/1/Bn-1 + 1/1/Bn+1) =                (2 /1/Вn-1 x 1/1/Bn+1)/(1/1/Bn-1 + 1/1/Bn+1) или                Аn = ( 2x An-1 x An+1)/(An-1 + An+1)  (1)                Действительно  для чисел  1/2, 1/3, 1/4    имеем: 1/3 = (2х 1/2 х 1/4)/(1/2 + 1/4) . Обратим внимание, что любое число первого ряда может быть определено по формуле (1)  или    Аn =  2/ (1/An-1 + 1/An+1)   (2)  Формула (2) определяет  Аn,  как среднее гармоническое двух чисел Аn-1  и  An+1  первого ряда. (почему оно имеет такое название выясним попозже)               
            Среднее гармоническое для второго ряда ищем аналогично. Сначала ищем среднее арифметическое для первого ряда чисел, а затем переворачиваем его. Полученный результат и будет средним гармоническим любых двух чисел второго ряда. Возьмем для примера следующие числа первого ряда. допустим  А3 и А5.   Среднее арифметическое равно     Са = (А3 +А5)/2.  (1/3 + 1/5)/2 = 4/15 Перевернем его и получим  1/Са = 2/(А3 +Ф5)  или  1/Са = Сг = 2/(1/В3 + 1/В5 =  (2х В3 х В5)/(В3 +В5). Действительно  (2 х 3 х 5)/(3 + 5) = 15/4    В математике  среднее гармоническое Вm  и  Bn   или  Аm и  Аn  так и определяются. По формуле  Сг = 2/(1/Bm + 1/Bn)   или  Сг = 2/(1/(Аm + An)/
           Итак мы прояснили свойства обоих рядов в различных обстоятельствах, основываясь на их взаимообратимости. И в ходе работы использовали такие понятия как среднее арифметическое и среднее гармоническое. для двух членов соответствующих рядов.  Что такое среднее арифметическое - понятно   А что же такое среднее гармоническое? Почему оно так называется?  Где оно встречается на практике?
             Нарисуем квадрат, нижнюю его сторону примем за единицу длины и продолжим вправо. Разметим ее единичными отрезками. Левый нижний край квадрата обозначим цифрой  0 и далее все метки цифрами 1. 2, 3,  ....... Вn.   Это и есть второй ряд чисел.  После  этого,  на нижней стороне квадрата со стороны нуля отделим часть равную 1/2 его длины, затем 1/3, затем 1/4. и т. д.  Так мы изобразим первый ряд чисел.  1, 1/2,1/3, .... Каждое из которых определяется как среднее гармоническое двух рядом стоячих чисел.
            1. Квадрат может изображать резонатор для электромагнитных волн. Тогда числа 1, 1/2, 1/3, .... Аn  могут  быть интерпретированы, как длины волн в резонаторе, а числа 1, 2, 3, .... Bn -  частоты этих волн.
             2. квадрат можно представить как картинную плоскость (картину). Тогда числа Вn  представляют реальные отрезки на местности,  а  Аn - их изображения на картине.  То есть существует реальное и картинное пространства. картинное пространство соответствует Аn множеству чисел.
              3. Длина отрезка проходящего через точку пересечения двух диагоналей трапеции равна среднему гармоническому (Bn, An) верхнего (Аn-1, Bn-1)  и нижнего (An+1, Bn+1) оснований трапеции. Как раз в этой точке два основания трапеции выравниваются. По аналогии со средним арифметическим и средним геометрическим.  То есть если Аn = Am  или  Вn = Bm, например:  Аn = 1/4,  а   Вn = 4 ,   то и  их  средние гармонические равны    1/4  и  4   соответственно.
              4. Двойное фокусное расстояние выпуклой линзы тоже равно
среднему гармоническому расстояний от предмета до средней линии линзы и от средней линии линзы до изображения. (По аналогии с предыдущим примером)
             5. Удвоенное общее сопротивление  R  электрическому току при параллельном соединении сопротивлений (или,как говорят, проводников)  R1  и   R2  тоже равно среднему гармоническому от  R1  и  R2.
              6. Если центры двух соприкасающихся окружностей являются  некоторыми внешними точками соответствующих инверсий относительно соответствующих окружностей, то  двойное расстояние между внутренними точками этих инверсий является средним гармоническим  между радиусами   R1   и   R2    этих окружностей.
              7)  В системе координат  X  и  У построим диагональ проходящую через центр и через первый и третий квадранты. Разметим оси координат на равные отрезки: 1, 2, 3, ... Разметим диагональ на равные отрезки так,  чтобы в точке с координатами (1,1) на диагонали стояло число 2,  (2,2) - 4, и так далее.
 Теперь:  линия, проведенная через первый квадрант, так чтобы она пересекала  положительное направление осей   X и   Y , а также диагональ, будет отсекать  от осей отрезки равные   Хm  и  Уn, а от диагонали - их среднее гармоническое. Хm  и  соответствуют  Вm   и В.   По аналогии можно построить схему для   Am   и  An. Таких примеров можно привести еще очень много.
               Перейдем к среднему гармоническому
 В математике есть понятие суммы  ряда чисел  Аn.   Гч = 1 + 1/2 + 1/3 .....  An.  А сам ряд называется гармоническим. Частичная сумма этого ряда так и называется - гармоническое число. Почему? Как объясняется в соответствующей литературе, потому, что отдельные составляющие этoго числа  соответствуют звуковым гармоникам  основного тона струн соответствующей длины. То есть числам ряда Аn.  За 1 - цу принимается длина волны первой гармоники и так далее.  Эти колебания рассматривали  пифагорийцы (в свете приложениями к теории музыки), как  самые простые, плавные и благозвучные.  Кроме этого ими были обнаружены согласованные звучания одновременно или последовательно производимые струнами с отношением длин, как 1/2, 2/3, 3/4 .... и т. д. Это музыкальные интервалы октавы, квинты, кварты и др.   
           Уже позже выяснилось (благодаря решению уравнения Лапласа), что эти колебания, описывается функциями Sin(nф)  и  Cos(nф). Которые, в свою очередь, определяют форму окружности радиуса  R.   То есть  -  R2 =  Sin(ф)2 + Cos(ф)2. (здесь 2, как степень) В следствие этого был найден математический и зрительный, геометрический образ гармонического колебания. В изобразительном искусстве стала более понятной красота плавных линий, плавных переходов тона, цвета.
            Рассмотрим формулу среднего гармонического в виде.
             Сг =  (Вm х Bn)/((Bm + Bn)/2)
 Видно, что знаменатель представляет собой половину суммы (среднее арифметическое)  (Вm +  Bn)/2 = Cа   Числитель это квадрат среднего геометрического этих чисел. ( Вк2 = Вm x Bn = 1 x Bк2. В реальных единицах (например в см.)  это  площадь столбика шириной в 1 см. и высотой Вк2 см. (линейных единиц) .  Значит Сr  высота этого столбика на единицу линейного отрезка В. Проще говоря плотность величины Вк2 на отрезке  Са. Или плотность квадрата среднего геометрического на отрезке Са. Или еще проще отношение или связь среднего геометрического в квадрате к среднему арифметическому.
              Но, причем здесь среднее гармоническое или вообще к понятие гармонии? Для этого обратимся к общему определению гармонии в философском смысле. Выписка из энциклопедического словаря :
          " Гармония - связь, соединение, соответствие, соотношение (от греческого - прилаживать, подгонять), а также в философском эстетическом смысле - согласование, сочетание разнородных и даже противоположных (конфликтных) элементов. Слаженность целого, рождающаяся от сочетания противоположных по качеству сущностей (например в музыке консонанс и диссонанс "
            Посмотрим на исследуемую формулу. В знаменателе  никаких  разных качеств мы не видим. (здесь качество характеризует размерность - см.) Сантиметры остаются сантиметрами. Зато числитель представляет другую картину. Здесь сантиметры, в результате сочетания двух разных по величине и направлению элементов (примеры 2х8 = 42 )  создают новое  качество. новый образ, новую целостную сущность с  новой размерностью - квадрат. Или как было сказано - среднее геометрическое в квадрате.
            Следовательно математические действия произведения и отношения (умножения и деления) несут в себе смысл гармонической связи их составляющих.
            Действительно, никакое произведение не может быть  не гармоничным. Целое потому и целое, что части его сочетаются. Если его части не будут дополнять друг друга, то новый целостный образ не будет создан. Произведение потому и называется произведением, что в процессе своего творения оно производит новое. Любые две величины при произведении их  на друга друга дают новую размерность - новое целое состоящее из связанных единиц каждого из составляющих элементов (сомножителей) Но это повторяем с точки зрения философского определения гармонических величин. С точки зрения решения уравнения Лапласа  функция  У = Х умноженное на Х  = Х2   ( икс в квадрате) не является гармонической. Потому, что с точки зрения математики - гармоническими функциями являются те, вторая производная которых ровна нулю. Вторая производная этой функции не ровна нулю. Но это математический взгляд. Он более узкий. Философский взгляд более широкий. Поэтому мы оставим пока математику и пойдем дальше. Решение этого противоречия или парадокса оставим на будущее. Итак: исходя из наших выводов следует, что   формулу гармонического среднего можно понимать, как количество некоей гармонии на единицу отрезка равного среднему арифметическому  от величин ( чисел ) из которых определяется среднее гармоническое. Поскольку произведение есть сумма квадратных единиц,  1x1 = 12 ( единица в квадрате), то это означает - сумма квадратных единиц на единицу линейных. Еще раз - плотность гармонического отрезка (отрезка состоящего из квадратных единиц - прямоугольника с маленькой стороной равной единице линейного отрезка. а с большой - равной сумме этих отрезков ) на  соответствующем линейном отрезке. Или гармония нормированная к среднему арифметическому соответствующих отрезков. Поскольку размерность плотности не соответствует размерности ни линейного, ни квадратичного отрезка, то среднее гармоническое тоже гармоническая величина. Поскольку любое число из ряда чисел Аn могут быть определены по формуле среднего гармонического, то и все эти числа гармонические величины. Некоторые выводы:
           При росте cуммы Bm+Bn  растет и  среднее гармоническое.   Вне картины этот рост может быть бесконечным. Следовательно при бесконечных размерах вселенной гармония ее тоже бесконечна ! Кроме этого  среднее гармоническое растет и в случае, когда Bn + Bm постоянно, но числа, из которых состоит эта сумма, меняются от 1 и до среднего значения суммы. 
          Теперь о том, что происходит внутри картины.  Здесь наоборот. Максимум гармонии достигается при самых маленьких значениях Вn.  При 1, 2, 3, ... То есть при отрезках равных  1, 1/2, 2/3, ... от максимальной стороны картины. Что соответствует музыкальным  интервалам:  октаве, квинте, кварте, и т. д.
               Важным является то, что  произведение числителя среднего гармонического равно количеству взаимосвязей, взаимоотношений между сомножителями, то есть тому, образно говоря, невидимому объекту, который творит музыку. Сами звуки музыку не творят, сам цвет картину не создает. Произведение возникает за счет соответствующих отношений звуков и пятен цветов. Произвольное их сочетание творит только шум, звуковой и цветовой хаос.
             Но тут возникает интересный парадокс. Но ведь где, где, а в хаосе отношений бесконечное множество. (Правда не понятых нами). Отсюда и гармоническое среднее космоса бесконечно. Он нам только кажется хаосом. То есть, гармония кажущегося хаоса - бесконечна. Вытекает, что хаоса в природе принципе нет. Хаос порождает наше незнание. И в человеческом обществе, то же самое. Хаос мы порождаем сами, своим незнанием. Но с другой стороны познать все невозможно. Значит без хаоса, пусть даже мистического, обойтись невозможно. Чудо из чудес !!!   Перейдем к пространству внутри картины.
            В примере 2 было показано, что гармонический ряд автоматически укладывается на плоскости картины я является проекцией ряда чисел  предметного пространства. Таким образом предоставляется возможность для художника создавать иллюзию глубины предметного пространства. это пример линейной перспективы. И он может работать в стиле реализм.  Однако, если предположить, что на полу под ногами художника лежит вторая картина, а сам художник парит в воздухе над ней, то он обнаружит,  на ней что-то в точности похожее на первую картину. Для этого он использует метод получения математической инверсии. Действительно, на ней образуется тот же гармонический ряд чисел. И теперь инвертируя реальное пространство в свое изображение он может отказаться от иллюзии и получить плоскостное изображение. теперь он спокойно может работать в каком угодно из декоративных стилей. Математика абсолютно та же. Но смысл изменения  масштаба объектов стал другим. Реализм воспроизводит глубинное пространство за счет оптического видения, где реализуется математика среднего гармонического. а декоративное искусство воспроизводит плоскостное пространство взаимообратного ряда напрямую. Инверсия инвертирует его из натурального ряда. Это если так можно выразится пространство гармонических отношений.  Самое главное в том, что эстетическая и математическая ценность и суть катины на полу ничуть не пострадают. Иллюзии пространственных сокращений не будет, но появятся другие неиллюзорные пространства, которые открывают перед художником и математиком бесконечные фантастические возможности. Сейчас, в современном искусстве это уже происходит. но это только начало. Впереди бесконечные творческие перспективы. Эти вопросы выходят за пределы данной работы. Поэтому мы остановимся в надежде продолжить эту тему в будущем. Теперь несколько слов о гармоническое среднем в связи с рядом чисел  "золотого сечения". Оказывается, что если применить формулу среднего гармонического к ряду " золотого сечения" то мы вновь получаем ряд "золотого сечения", но с множителем 2 перед каждым членом. Например:
Возьмем два рядом стоящих числа  из ряда чисел "золотого сечения"  1 и  1, 618 . Рассчитаем их среднее гармоническое.   
 Сг = (2х1х1,618)/(1+1,618) = 2х 0, 618 = 1, 236  далее для   0,618 и 1 получаем (2х 0,618 х 1)/ (0,618+ 1) = 2х 0,382 = 0,764 и т.д.  1.236/0.764 = 1, 618 если мы отказываемся от 2, то получаем чистые числа "золотого сечения", но смещенные на шаг в сторону уменьшения.
                Чернов Владимир август 2026г.