Введение в предметную область математики

(V раздел из моей монографии - «ОБРАЗОВАНИЕ: ОТ ПАССИВНОГО СОЗЕРЦАНИЯ К СПОСОБНОСТИ ПОНИМАНИЯ»).

Почему необычное, на первый взгляд, название для данного раздела - Введение в предметную область математики по ее собственному основанию? Да потому, что обычаем стала практика вводить обучаемого в  предметную область математики через черный ход, а про парадный подъезд и вовсе забыли, будто он в математике никогда не существовал. В данном разделе показано на примере математики, как возникает понятие из самой практической деятельности человека. В этой части книги рассмотрено возникновение такого важного математического понятия, как «число», отталкиваясь от которого можно будет вывести практически все математические понятия.
Многие родители полагают, что если есть задатки к математике, то ребенок будет легко познавать эту область человеческой действительности. При достаточно внимательном прочтении общих замечаний к книге и её второго раздела, лучше отказаться от заблуждения, что существуют, якобы, природные задатки к математике. А что есть такое в ребенке, которое потом, почему-то, называется математическим мышлением? Есть сформированное в процессе познания и обучения (а не заданное матушкой природой) понимание собственного основания предмета математики и логическое его разворачивание! Вот о том, как это понимание формируется на первых этапах её изучения, и пойдет речь в этом разделе.
Предварительные наброски текста из данного раздела предлагались для просмотра нескольким потенциальным читателям, которые не обладали педагогическими познаниями, а также специальными познаниями в области математики. Вольно или невольно, но при оценке текста у них просматривалось тяготение соотносить его с существующими школьными учебниками и программами, поэтому при обсуждении практически каждому приходилось объяснять, что у меня, как автора текста, изначально была цель уйти от уже существующей порочной практики введения детей в предметную область математики. Складывать яблочки, карандашики, пальчики, учить произносить по порядку цифры, полагая, что в этих действиях ребенок начинает познавать математику, значит, с самого начала формировать у ребенка искаженное представление о том, что есть предмет математики, и в чем сущность математики, как особой области человеческой деятельности.
Существует множество психолого-педагогических, дидактических приемов и способов введения ребенка в мир математики, мир чисел. Но главным препятствием в данном случае является отсутствие у ребенка внутренней мотивации познавать такую деятельность как исчисление вне практических действий. При этом мы редко обращаем внимание на такие факты, когда трех или четырех летний ребенок, еще не считая даже до десяти, очень легко и непринужденно сообщает, что он принес из холодильника один йогурт, а там осталось еще два.
Данный пример лишь наглядно иллюстрирует, что мотивация к исчислению формируется в процессе повседневного общения ребенка и взрослого в процессе практической совместной деятельности. Основная ошибка взрослых сводится к тому, что они, пытаясь ускорить изучение математики, начинают объяснять ребенку сложение и вычитание, умножение и деление абстрактных чисел. Однако только постепенно усложняемая совместная деятельность взрослого и ребенка по перемещению предметов, изменению их объемов, долей, если при этом учитываются возрастные возможности ребенка, которые позволяют ему выполнять в этой деятельности посильные обобщения, гораздо быстрее сформируют у него способность в дальнейшем самостоятельно осуществлять исчисления.
Другой вопрос, что сам взрослый человек должен уметь видеть общее раньше частей, прежде чем приступать к формированию в ребенке способность осуществлять сначала индуктивное умозаключение (от частного к общему) и уже потом уметь осуществлять дедуктивное умозаключение (от общего к частному). Тем самым с самого начала ребенок будет уметь самостоятельно находить практический смысл в такой деятельности. Ознакомление взрослого с данным разделом книги поможет ему понять, почему у ребенка происходит отторжение или просто нежелание заниматься математикой, ярче всего проявляющееся именно в домашних условиях. Он в результатах занятий, которые оторваны от практической деятельности, не улавливает смысл. В школе же он просто вынужден заниматься абстрактными исчислениями. В домашнем общении отсутствует своего рода ритуализация, характерная для школьной системы общения между учениками и учителями, которая дисциплинирует детей хотя бы чисто внешним, т.е. формальным, образом. Отчасти именно отсутствием для ребенка привычных условий для обучения можно объяснить такие обстоятельства, что он не видит в своих родителях или близких родственниках учителей, и последние вынуждены создавать что-то наподобие школы в домашних условиях. Хорошо это или плохо, но именно процессуальность в обучении, проблема, не имеющая однозначного и скорого разрешения. Во всяком случае, другой методики для основной массы школьников, кроме как практикуемых в стенах школ, пока не существует.
После прочтения данного раздела, нередко возникали вопросы, связанные с таким фактом, что в тексте, якобы, много философии. Несколько опережая события, хотелось бы с самого начала предвосхитить один из выводов раздела. В определенной степени он относится буквально ко всем учебным дисциплинам, правда, в каждой со своей спецификой. А для всех учебных дисциплин главным и общим выводом является факт обнаружения противоречия как критерия правильного движения к истине, и что исследование идет по верному пути. А математики, как известно, противоречие не любят, а сама математика не без основания его просто не признает в качестве необходимого условия её собственного существования.
Все дело в том, что «предметом математического исследования являются не «числа», «линии», «поверхности» и «объемы», т.е. не та или иная уже известная форма или вид количества, а самоё; реальное количество, которое и расшифровывается как реальная пространственная и временная определенность тел. Поэтому количество только выражается через число, меру, величину и т.д., но ни в коем случае нельзя сказать, что количество это и есть число, мера, величина и пр.».   Исходя из только что процитированного высказывания по поводу предмета математики, нельзя не упомянуть высказывание и о том, что «проблема количества на самом деле ведет к другим общефилософским проблемам и решается, в конце концов, только в общефилософском контексте, и ни в коем случае не внутри математики».  Это положение связано еще и с тем, что такая категория, как «количество», является категорией не сугубо математической, а категорией диалектической логики, как методологической основы философии. 
Маловероятна возможность в математических справочниках и энциклопедиях найти категорию «количество». Исследование этой категории в ее диалектическом противоречии в математике, как в учебной дисциплине, по понятным причинам так же не практикуется,  ибо математика избегает любые противоречия. Может быть, зря она их избегает? Читатель может заявить, что раз категория «количество» не является сугубо математической, а сама математика избегает противоречия, то какой смысл исследовать эту категорию через призму противоречия в математике? Если бы математика не стремилась избегать противоречия, она бы не имела ни одного положительного ответа при решении задач, поэтому она при невозможности разрешить противоречие поступает очень просто, заявляя, что выбранная область задачи не имеет решения в строго математических рамках.
Именно путаница, которая возникает при выявлении пределов количественной стороны объективной реальности, приводит к тому, что некоторые математики, с легкой руки и поддакивания некоторых представителей формальной логики, пытаются возвести математическую логику в ранг универсального метода познания, вытеснив ею диалектическую логику как ненужную. Ведь для доказательств используется метод математической индукции, который позволяет использовать полную индукцию для бесконечного счетного множества.  Объявление ненужности  диалектической логики – это в худшем случае. В лучшем случае предлагается использовать диалектическую логику как вспомогательную или служебную логику для математической логики.
Думаю, что вполне было бы уместным привести отрывок из полемики сторонников абсолютизации математики в период острых споров и дискуссий по поводу роли кибернетики и Э.В. Ильенкова, яркого представителя диалектической логики, которая состоялась в 1965 году на Совещании по современным проблемам материалистической диалектики. Тем более что в этом разделе не случайно часто приводятся высказывания Гегеля о проблемах математики. «Мне очень не понравилась нотка, - сказал в своём выступлении Ильенков, - прозвучавшая здесь в выступлении И.С. Нарского, когда он, пытаясь вести спор с Розенталем (в котором, безусловно, прав Розенталь), пренебрежительно отозвался о Гегеле. Что, мол, с ним считаться, с этим человеком, который не знал математики и даже-де, презирал её.
Не будем уж говорить о том, что, если судить по изданным работам, Гегель математику знал лучше, чем Нарский. Но, в отличие от Нарского, не молился на неё как на откровение, а пытался анализировать её понятия с точки зрения категорий логики и потому смотрел на известные математические понятия иначе, чем сами математики. В чем он прав, в чем неправ – в этом надо тщательно разобраться. А, по Нарскому, выходит, что в случае расхождения философа с математиком всегда прав математик, а аргументацию философа даже и рассматривать в этом случае не стоит».
  Известное на слуху у многих утверждение, что буквально всё можно выразить на языке математики, через математические формулы, совершенно неправильно интерпретируется. Отсюда, в частности, возникают бессмысленные и абсурдные (я бы сказал бредовые) попытки создания искусственного интеллекта стараниями, прежде всего, тех математиков, которые застряли, по сути, в понимании мира на уровне ньютоновской механики. Это не упрек в адрес Ньютона, ибо сам он математику для своего времени знал блестяще, и к идее создания искусственного интеллекта он вряд ли был бы причастен. 
Вернемся к понятию количество. Чистое количество и есть то, что наука называет пространством и временем в их единстве. И как бы математики ни избегали их, все же оторваться от реального пространства и времени им не удается. Хотя, вполне понятно, что в данном случае действительно одной математикой не обойтись. Да и рассматривать категорию «количество» без категории «качество» бессмысленно, а это уже философия, диалектическая логика. Поэтому чтобы не путаться, лучше всего с самого начала в математике ограничиться понятием «определенное количество» (что она и делает), а не понятием «количество» вообще.
Образом определенного количества выступает мера. Собственно говоря, мера лежит в основании любого счета. Вопрос только в том, что берется за единицу меры, и какой результат является целью счета. Чтобы было понятно, о чем идет речь, можно проиллюстрировать данное утверждение. К примеру, объектом счета могут быть кубики, но основанием для счета могут быть не отдельные кубики, т.е. их размеры, а их количество в горизонтальном или вертикальном ряду, расположение их количества по длине  или по ширине. Все зависит от того, как расположены кубики, общее количество которых нужно посчитать и какова цель счета при помощи кубиков, т.е. считают кубики или площадь, которую они занимают и т.д. Кстати, на этом примере также становится очевидным, что такие арифметические операции, как умножение и деление объективно предшествуют сложению и вычитанию. Об этом ниже, наряду с понятием числа, также будет вестись речь.
Часто доводилось наблюдать с каким страхом и напряжением своего воображения дети пытаются осмысливать мир чисел, цифр, математических знаков. Но этот же страх и волнение испытывают не только родители, которые никогда не имели дело с педагогической деятельностью в этой специальной области знания, но даже сами учителя математики. Пробелы и пустоты, о которых говорилось выше, видимо сказываются и играют немаловажную роль в психологии восприятия и познания действительности через призму количественных отношений между предметами.
Как-то при беседе с учителями в одной из школ, именно учитель математики с двадцатилетним педагогическим стажем спросил, с чем же им (математикам-предметникам) заходить к ученикам, чтобы заинтересовать их своим предметом и сделать его прозрачным и ясным. У меня невольно возник вопрос, а с чем этот предметник-специалист заходил в класс к детям на протяжении двадцати лет?!
Математика, как учебная дисциплина, может быть освоена в пределах школьной программы значительно быстрее и легче. Но ее превратили в один из самых трудно усваиваемых школьных предметов, изучать который приходится все 11 лет, так и не поняв сути математики.
Когда и как произошло это усложнение всей математической конструкции, даже для многих специалистов в области математики остается загадкой. Более того, педагоги в своем подавляющем большинстве сами оказываются заложниками непонимания сути своего же предмета из-за того, что когда-то освоили единственную методику его преподавания. По существу, эта методика сводится к чистой метафизике, тем более что сама математика, в силу ее абстрактности, а также предъявляемым требованиям к ней в образовательных программах, легко может ей соответствовать. Конечно же, это не случайно, ведь числа и действия с ними, т.е. исчисления, действительно лежат за гранями каких-либо физических характеристик, отсюда и слово метафизика*, т.е. то, что лежит за пределами физики. С греческого физика (physik;) и есть «тело природы», природа.
Чем обусловлен этот дискомфорт в деле познания количественных свойств вещей, т.е. количественных отношений между однородными вещами? Сказать, что абстрактностью самой математики, означает по существу ничего не сказать, хотя именно абстрактность и отгораживает человека, познающего количественные отношения между предметами материального мира, от самого этого мира. И, тем не менее, хотя «своеобразие математики в ее абстрактности» , но это не означает, что существует непреодолимая перегородка между реальными вещами (которые, все же, не перестают быть предметом математики) и тем, что потом превращается в математическую абстракцию (скажем, число) в результате особого рода деятельности.
Вот специфику-то этой самой деятельности, которая как волшебная палочка превращает вещи природы в предметы математической культуры (в данном случае в математические абстракции, математические правила и формулы), сознательно или неосознанно упускают в процессе преподавания математики. Мимо этой деятельности, которая является мостиком от мира вещей к миру идей (в данном случае математических), вихрем проносятся не только в общеобразовательных школах, но и в профильных вузах, в которых готовят специалистов в области математических наук.
В предисловии к книге Лебега «Об измерении величин», известный советский математик Колмогоров А.Н. писал: «…у математиков существует склонность, уже владея законченной математической теорией, стыдиться ее происхождения. …Поэтому на разных ступенях обучения с разной степенью смелости неизменно проявляется одна и та же тенденция: возможно скорее разделаться с  введением чисел и дальше  уже говорить только о числах и соотношениях между ними. Против этой тенденции и протестует Лебег».  Говорение только о числах и соотношениях между ними, минуя стадию происхождения числа, и есть введение в математику через черный ход. Это примерно, то же самое, как если бы рассматривать всю картину только под лупой, а потом пытаться рассуждать о сюжете, который расписан на полотне художником. Здесь частности возникают раньше и, чаще всего, вне целого, вне общей картины, и поэтому становится непонятным смысл и назначение любого фрагмента.
Некоторые учителя, зная наизусть огромное количество математических формул и правила исчисления, так и не могут понять истоки, корни самого числа, а значит им трудно понять, что же такое есть математика, в том числе и как учебная дисциплина. Именно таких математиков Декарт называл «счетчиками», не признавая их математиками, полгая, что «нет ничего более бессмысленного, чем заниматься голыми числами и воображаемыми фигурами….»  Именно при таком подходе требуется напряжение памяти, а не логики, при наличии которой память выполняет лишь вспомогательную функцию. А если выразиться еще более определенно, то последнее обстоятельство свидетельствует, скорее, о выполнении механической (физической) работы. В данном случае вряд ли можно говорить о наличии творческой деятельности ребенка.
В связи с этим хотелось бы сделать несколько замечаний по поводу так называемых математических способностей, которые у одних детей они, якобы, развиты чуть ли не с рождения, у других нет, и последние, как бы, математике необучаемые. По этому поводу можно сказать следующее, просто у одних условия жизни чаще требуют вглядываться в пространство, мерить и фиксировать его в деталях, у других это же самое пространство чаще «глоталось» и созерцалось как бы оптом.
Для примера, приведу реальный случай, когда мне довелось наблюдать эпизод воспитательной экзекуции, которая выразилась в том, что воспитатель детского сада, решив умерить бурную активность ребенка, заставила его в детсадовской клумбе выпрямлять каждый лепесток помятого клевера. Ну, прямо как в сказке про Золушку, когда её мачеха, чтобы отвратить падчерицу от мыслей о прекрасном (всеобщем), заставляла разделять различные крупы, которые предварительно сама же их смешивала. У тех, кого жизнь заставляла часто «мельчить», может развиться привычка, подвергать  события счету. Именно для таких детей требуется детально иллюстрировать каждый переход от одной арифметической операции к другой, связав их с действительностью. Они сами будут требовать, либо надеяться на получение более детальных пояснений, почему возникает строго определенная последовательность математических операций с числами. Но поскольку в школе учителя на уроке осуществляют обучение не одного ученика, а сразу несколько десятков, то им не до этих разъяснений, которыми, кстати, они чаще всего сами не владеют, как это было, и будет иллюстрироваться на примере числа.
У тех детей, которые привыкли «проглатывать» пространство большими порциями, привычка сосчитывать многое из того, что в этом пространстве их окружает, не возникает потребность, и, следовательно, не формируется способность к счету, но они могут легко вычленять из этого пространства все, что не укладывается в привычную целостность.
То же самое в истории происходило и с целыми народами. Египтяне, некоторые народы Средней Азии, Китая и индусы, знали канальную систему производства, ибо им каждый год приходилось заново копать каналы для орошения земли, поэтому там начиналась развиваться математика, геометрия. Те же народы, которые вели кочевой образ жизни, подход к исчислению был несколько иным.
В фильме немецкого режиссера Вернера Херцога «Там, где мечтают зеленые муравьи», представитель истцов отстаивает право австралийских аборигенов сохранить свою самобытную культуру и землю, на которой они живут. Он приводит в суде пример, когда пастух, племя которого умеет считать только до трех, а всё что за пределами этого числа, называется у них «много», заканчивая выпас стада овец, состоящего из 600 голов, без всякого счета абсолютно точно и достоверно определяет, что в стаде не хватает двух голов. Однако никому не придет в голову мысль занести этого пастуха при наличии такой способности в разряд людей с врожденными способностями к математике. Длительное по времени и систематическое занятие одним и тем же делом и рождает у человека то, что человек называет интуицией. К примеру, если ребенок или даже взрослый, ежедневно играет в игры, которые построены на алгоритмах, то рано или поздно он будет чувствовать, как примерно сработает алгоритм в тот или иной момент игры. Он не может объяснить, почему он чувствует, но это уже другой вопрос. 
Ученики в школе, которые легко улавливают, чаще всего бессознательно, алгоритмы математических исчислений (о которых еще будет сказано ниже), легко запоминают формулы и быстро считают, вовсе не означает, что из них получатся хорошие математики. Чаще всего именно из таких учеников получаются хорошие счетчики, с красными дипломами. ««Счетчик» просто заучивает словесно-знаковые формулы математики, не умея соотнести их с тем реальным предметом, в исследовании которого они возникли и зафиксированы».  В данном случае значительную роль играет чисто механическая память, которая у ребенка развита лучше, чем у тех, которые все время пытаются понять, а не просто запоминать.    
Казалось бы, начальное обучение должно способствовать усилению познавательных и мыслительных способностей ребенка. Однако все происходит с точностью наоборот, чем глубже и чем дальше ребенок вязнет в школьных темах, тем ему сложнее их усваивать. Нагромождение и неупорядоченность школьных предметов, хаотичность в подборке учебных материалов даже внутри каждого предмета, заваливает ученика как груда кирпичей различных форм, из которых трудно выстраивать целостное здание, как отдельного учебного предмета, так и всей картины человеческой культуры.
Предшествующие навыки и знания не становятся для него опорой, которая облегчала бы подъем на вершины рационального (разумного) осмысления действительности. Если образно выразить эту проблему, то речь идет о том, что изначально обучение идет по неверному пути, а если неправильно застегнута первая пуговица, ожидать стройного ряда в дальнейшем не следует. Как бы ни был реален фрагмент опоры,  если он отстоит особняком от здания предмета познания, то наступать и опираться на такую опору бесполезно. Так и в математике, чем больше материала, сведений о способах исчислений, тем меньше понятна математика, потому что математики избегают почву, на которой взращивается сама математика. И этой почвой для неё являются жизненные потребности людей, которые удовлетворяются посредством и через практическую деятельность.
Есть исключения в рядах математиков? Конечно же, есть, но они настолько редки, что так и остаются собственной тайной избранных специалистов. В свою очередь эти избранные превращаются в касту математической элиты, которая ревностно хранит секреты «волшебной палочки». Но и здесь есть свои исключения в виде попыток прорваться к неискушенному читателю. Вышеприведенная цитата Колмогорова А.Н. о книге Лебега, да и сама цитируемая книга Лебега, тому доказательство. Вот об этих попытках в области математики достучаться до ума каждого ребенка и взрослого, попытках передать людям способ обретения «волшебной палочки», благодаря которой вещь превращается в предмет культуры, а через это превращение и индивид превращается в человека (очеловечивается), мы и поговорим. Он верен в математике, и, соответственно, будет срабатывать и в любой другой специальной области познавательной деятельности, хотя в каждой со своими особенностями.
В данном разделе этой книги не идет речь о подмене существующих учебников по тем или иным разделам математики,  в частности арифметики, хотя бы уже потому, что сами учебники порочны в своей основе. Поэтому, какой смысл создавать еще один подобного рода учебник? Скорее всего, существующие учебники следует воспринимать, как пишет Ф. Дьедонне Ж., в качестве лишь хорошо выбранной иллюстрации к тому, что должно предшествовать им. Хотя трудно однозначно сказать, можно ли вообще существующие  учебники по математике привлекать даже в качестве иллюстративного материала. Полагаю, что нет, ибо иллюстрация есть, а сама методика, т.е. те формы деятельности, которые неизбежно подводят к пониманию момента возникновения математических абстракций, в учебниках по начальной математике нет. И уж тем более нет их описания (форм деятельности по выявлению математических абстракций) в учебниках по высшей математике.
Не могу не привести пример из личного опыта применения, если в данном случае можно так сказать, когда-то выученных мною в школе математических понятий и символов. Работая в одном НИИ в непонятной для меня должности и с неопределенными обязанностями, в один из рабочих дней ни с того и ни сего меня попросили (все равно бездельничал) произвести расчет по прокладыванию труб теплотрассы от водозабора до микрорайона. Во всяком случае, мне это так запомнилось.
Местность на топокарте была показана с перепадами поверхности, пересечениями дорог и уже с существующими коммуникациями и т.д. Меня удивило, что выполнить работу поручили мне, ведь я не был специалистом. После коротких разъяснений в общих чертах, что и как от меня требовалось, взялся за выполнение поручения. Измеряя отрезки и расстояния от одной точки к другой, довел теплотрассу от пункта А до пункта Б, подведя итог в виде суммы всех отрезков, отличающихся между собой многими параметрами. При этом параллельно записывал порядок прокладки, открывая то один вид скобок, то другой, группируя между собой участки и т.д. Меня удивило не столько то;, что выполненное задание было принято и положено в основу проекта, а сам факт самостоятельного выбора необходимых действий при выполнении мною расчетов. Я впервые увидел, как в практической деятельности с необходимостью происходит самостоятельный выбор порядка действий, применение правил группировки посредством скобок и т.д. Таким образом, мне не был дан готовый пример для решения задачи, а её формулирование и решение рождались в процессе моей практической деятельности.
Разве это было похоже на то, что мне встречалось в школьных  учебниках? Ни в коем случае, но именно так должен быть выстроен учебный процесс, от практических действий до выводов. В уже упомянутой киноленте «Расписание на послезавтра» директор школы, полемизируя со своим коллегой, профессором и другом, который был очень далек от педагогических проблем, на его вопрос, зачем нужны спецшколы с инновационными программами (тогда такой термин не был модным), ответил, что новое всегда нужно потому, что время бежит вперед. И что система готовеньких знаний изжила себя. На встречный вопрос коллеги, а чем её можно заменить, прогрессивный директор школы ответил четко и отрывисто по каждому пункту утверждения – «Исследовательским методом: постановка проблемы, умение сформулировать гипотезу, отстаивание её истины. И, наконец, защита своего решения перед коллективом своего класса». Согласитесь, мало что общего такой подход в обучении имеет с ныне существующей системой образования, которая с тех пор не только не продвинулась вперед, но даже стала явным образом деградировать.
Без всякого сомнения, что понятия, в том числе и в области математики, начинают формироваться в практической деятельности, и раскручиваться через абстракции, в которых все больше проявляются всеобщие понятия.
Обязательно и важно понимать, что есть такое математическая абстракция. Однако, формирование этого понятия вне особого рода деятельности, которая и позволяет увидеть переход от чувственного восприятия к чистой абстракции, невозможно. В математике ближайшим результатом деятельности по выявлению математических абстракций, является число. Как же оно зарождается именно в деятельности и что это за деятельность?
В вышеуказанном предисловии к книге А. Лебега «Об измерении величин», А.Н. Колмогоров писал: «Все здание школьной алгебры и весь математический анализ могут быть воздвигнуты на понятии действительного числа» . Безусловно, что само по себе понятие «число» невозможно вне осмысления понятия «величина». Это две взаимно связанные между собой категории.
Величина, как категория качества, начинается с деятельности по установлению пределов для любой вещи и уже только поэтому величина есть еще и определенное количество. «Величина определяется в математике как то, что; может быть увеличено или уменьшено, следовательно, вообще как безразличная граница».  Величина у Декарта совершенно справедливо относится к непрерывным (целостным) объектам в деле сравнивания вещей между собой. А вот уже «число» к вещам имеет настолько опосредованное отношение, что уловить связь между числом и реальными предметами* достаточно проблематично, если между ними не вклинивать ту форму деятельности, которая только человеком и может осуществляться. Чем обусловлена эта проблема? Да той самой специфической особенностью математики, т.е. ее абстрактностью. И вновь мы упираемся в понятия абстракция, откуда же она берется именно в математике? Отчего она отвлекается, от количества или от качества, от формы или содержания?
«Математика исследует именно форму как таковую, в ее полной отделенности, отрешенности от содержания».  Если под формой всё же понимать «способ (выделено В.К.) существования определенного содержания» , а содержание не может быть понято без формы, то, как быть в этом случае? Длина – это чистая математическая абстракция, и она может выражаться в различных формах: прямой линии, кривой линии, линии круга, линии эллипса и т.д. Если в математике речь идет о форме как таковой, то для математики будет существенным моментом именно способ существования (или осуществления) определенного содержания, т.е. важно, в какой из перечисленных форм существует линия. Формы, как именно определенного содержания, а не всех возможных их вариантов. Поясню высказанное суждение.
Прямая линия определяется как кратчайшее расстояние между двумя точками. Кратчайшее расстояние между двумя точками можно определить только одной прямой линией. Способ существования строго определенного содержания прямой линии и есть процесс соединения кратчайшим путем отстоящих друг от друга двух точек. А еще точнее, две точки на концах прямой линии и будут элементами содержания этой прямой линии, как и сама линия, будет элементом определенного содержания. Чистая форма и определенное содержание совпали между собой в деятельности человека, воспроизводящего прямую линию. В этой самой деятельности и будут совпадать и форма и содержание, но уже в виде сформированной в человеке так называемой математической способности осваивать количественную сторону мира при отвлечении от его качественных характеристик. Осуществлять такую  деятельность с детьми совершенно не сложно и не может быть в тягость.
Для понимания озвученных выше проблем соотнесения количества и качества в математике попробую выразить эту соотнесенность в наглядной форме, предельно упростив её. Полагаю, что достаточно любому взрослому человеку, впрочем, как и ребенку 6-7 лет, задать следующие, заведомо провокационные вопросы. Имеет ли, к примеру, число «пять» такие качества и свойства, как: цвет, размер, вес, запах, упругость, и т.д.?
Вряд ли тот, кому заданы эти вопросы, найдет на них ответы. Число вообще, как и конкретное его обозначение, скажем в виде цифры «пять», как впрочем, и любой другой вид числа, и есть отвлеченное от всех содержательных моментов предметной действительности математическое понятие.
Сколько я не «пытал» ребенка показать число пять, он постоянно апеллировал к конкретным предметам, вещам, к пальцам на руке, к карандашам, к конфетам на столе и т.п. Кстати, взрослые этим грешат тоже. Но как только звучал вопрос, а где в карандашах и других предметах ребенок увидел пять не как карандаши в их количественно-вещественной определенности, а именно как просто «пять», ребенок вставал в тупик. Думаю, что в тупик в данном случае встанет подавляющее большинство взрослых людей.
- Ты видишь пять карандашей, а где пять? Карандаши - вот они, а пять где? Указание ребенком вновь на карандаши в количестве пяти штук можно перебить другим вопросом, ссылаясь, уже на пять штук конфет, лежащих на столе. Указывая на них, опять задать тот же вопрос, а здесь где пять? Не пять конфет, а «пять». И тогда у ребенка может начаться формироваться в сознании то, что можно назвать чистой абстракцией, в данном случае математической абстракцией в виде числа «пять». Отныне число, как математическая абстракция, им не будет (во всяком случае, не должно) отождествляться ни с одним чувственно-воспринимаемым предметом природы или культуры. Оно для него теперь уже нечто  идеальное, т.е. то, что не имеет признака какой-либо протяженности.
Меня очень обрадовал итог этой «пытки», когда ребенок вынужден сказать, что «пять» как таковое, как какой-то предмет, не существует. И что сведение его к любой разновидности количественных предметов, равных пяти, также не выявляет чистой природы самого числа «пять». Естественно, ребенок это высказал в своеобразной детской манере. Но то, что им была схвачена проблема обнаружения в числе то, что мы называем идеальным, которое существует не в предмете и не как предмет, а лишь как отражение сложных отношений между людьми по поводу установления количественных отношений между предметами объективного мира, было очевидно.
Главное здесь для ребенка – это формирование у него понятия того, что идеальное (а число относится к идеальному) бессмысленно искать в любых материальных предметах, как бессмысленно любому человеку понятие деньги сводить или выводить из того, что является их материальным субстратом, т.е. из бумажных и металлических предметов, называемых деньгами.
К примеру, даже если вы соберете у себя на столе все существующие и существовавшие когда-либо денежные знаки, то вряд ли поймете, что есть такое деньги, так же как не поймете, что есть стоимость. К материальным субстратам (бумажным купюрам, металлическим монетам и т.д.) нельзя свести такие понятия как деньги, стоимость. Также как нельзя из этих же субстратов вывести эти понятия. Но торговец выходит на рынок и осуществляет эти метаморфозы каждый день. Парадокс?! Никакого парадокса здесь нет, если между этими понятиями вклинивается реальный живой человек с его специфическими формами деятельности то в виде обмена, то в виде производства, то в виде индивидуального или производственного потребления и т.д. «Существует лишь одна область действительности, где пространственная форма тел, их количественная определенность практически существует сама по себе – это практическая деятельность человека по освоению количественной стороны мира. Именно в этой деятельности и заключена тайна парадоксов математики».
Равным образом и число (как нечто идеальное) не имеет никакого смысла вне такого особым образом организованного сложного отношения как человек - предмет культуры - человек. Естественно, не лишним будет периодически оговаривать, что речь идет не только о числе «пять», а о любом его цифровом выражении, т.е. шесть, один, двадцать пять и т.д. И чем меньше знак, обозначающий число (скажем римская цифра ;, ;; или ;;;) своей внешней формой говорит о том, какое число он изображает, тем лучше, так как «эта форма более идеальна, потому что она выражает идеальное, а не материальное значение, понятие, а не образ».  Именно в этом смысле счет на палочках (на пальцах) больше вредит, чем помогает вникнуть в суть такого математического понятия как число.
Вот конкретная задача из учебника для первого класса, у авторов которого отсутствует понимание необходимости отвлечения от качественных характеристик предметов, в данном случае, фигур.  Условия задачи № 6 на странице 55 учебника по математике  за первый класс: «Помоги Вове выбрать к рисунку нужные выражения. Запиши их». Далее даются рисунки круга в количестве четырех. Два из них закрашены синим цветом, два других красным. Три круга одинакового размера, четвертый круг синего цвета меньше по размеру, чем три другие круга. Предлагается выбрать к рисунку следующие выражения 3 + 1; 4 – 2; 4 – 3; 2 + 2 и 4 – 1, руководствуясь следующими критериями:  1) по размеру; 2) по цвету; 3) по целому; 4) по части.
По первым двум критериям ученик и один из его родителей, который помогал ребенку делать домашнее задание, выбрали нужные выражения достаточно быстро и легко. А вот по третьему и четвертому критериям встали в тупик. Пришлось долго объяснять, что как бы ни менялись цвет и размер круга, он от этого не перестанет быть тем, что он есть как нечто целое, т.е. не перестанет быть кругом. И не могут быть его частями ни цвет, ни размер. А вот все его содержательные элементы в соотношении между собой остаются неизменными и потому характеризуют все его существенные моменты. Большой круг или маленький, число ; остается неизменным, так же как неизменными остаются его градусные и радианные меры, о которых ученик первого класса вряд ли когда-либо что-то слышал. Но самое существенное для нас обстоятельство сводится к тому, что неизменным остается способ его воспроизведения, осуществление которого действием внесет ясность в то, что; есть круг гораздо больше, чем цвет и размер круга, которые к понятию круг вообще не имеют никакого отношения.
И уж тем более проблематично вести речь о понимании ребенком таких категорий как целое и часть при решении данной задачи. Их не понимают даже многие специалисты не только в области математики, но и философии, поскольку эти категории философские. Хотя как раз через категории целое и часть можно было бы раскрыть все содержание круга. Способ воспроизведения круга через строго определенную форму деятельности и раскрывает все его содержание, все те части целого, без которых круг невозможен. Радиус, плоскость, ограниченная равным удалением от центра всех радиусов, а значит и дуг круга, вот те части, без которых невозможен круг, как нечто целое.
Чтобы создать реальный круг, нужно выбрать ту самую изначальную мерку, т.е. радиус, посредством движения которой одним концом по кругу на плоскости при неподвижности другого конца, и создаст то, что мы назовем потом кругом. Круг, как целостная фигура, и выражается в способе воспроизведения её через все необходимые содержательные моменты деятельности по воссозданию круга, как форма, совпадающая с всеобщим способом воспроизведения определенного содержания. Вращаетесь ли вы вокруг себя, равно удаляя отставленную ногу и, тем самым, очерчиваете круг, вращаете ли вы ножку циркуля, способ создания круга, по сути, остается одним и тем же в любой пространственно-временной действительности. Можно круг нарисовать, обводя карандашом внешние контуры основания какой-либо посуды, но тогда будут существенно упущены некоторые содержательные и необходимые элементы, благодаря которым возможно самостоятельно воспроизвести круг. Ведь круг в основании стакана уже кем-то воспроизведен, и ребенок не увидит главного в этом действии (обведении карандашом внешних контуров стакана). Он может не увидеть равноудаленность каждой точки круга от центра.
Как видим, часть и целое оторвать друг от друга невозможно, как невозможно оторвать друг от друга форму и содержание, одно понимается через другое. Но математика умеет абстрагироваться от качественной определенности. И чем лучше она это делает, тем она точнее. Это тоже один из парадоксов математики. Однако  существующие методики преподавания математики, и, тем более, такого ее раздела, как арифметика, к этому процессу, к сожалению, на практике имеют крайне поверхностный подход (если вообще имеют).
Ребенку вполне достаточно будет демонстрировать, к примеру, дольки апельсина, арбуза, яблока и т.п., акцентируя его внимание на том, что их правильнее называть не частями плода, а именно долями. Математика может оперировать частями доли, но не частями предметов. Семечки, мякоть и кожура – вот части этих предметов, т.е. то, что позволяет эти предметы воспринимать как целое в случае, если они перед ребенком предстали в виде плода. И даже в этом случае плод будет некоей абстракцией, поскольку он невозможен без земли, солнца, воды. Ведь понимали же это различие между частями и долями создатели мультипликационного фильма, когда сказочные животные делили между собой апельсин.
Постепенно ребенок будет втягиваться (или его надо будет втягивать) в понимание целостности через процесс становления этих плодов действительно как неких целостных органических образований. А это далеко не только плод того или иного вида растений, но и вся совокупность необходимых условий его возникновения, развития и гибели, т.е. то, что называется понятием.
А ведь такие понятия, как часть и целое имеют прямое отношение к первоначальному происхождению понятия числа. И, прежде чем продолжить разворачивать тему о происхождении числа, попробуем установить (выявить)  его первого прародителя. А прародитель и есть то самое, что мы можем определенным образом обозначить как нечто единое, но такое единое, которое таковым воспринимается через функцию, а функция и есть то, что выражает предмет как нечто целое, как его сущность. К примеру, железнодорожный состав один, хотя и состоит из нескольких вагонов и локомотива. Стол для пира один, но может состоять из нескольких столов, так как функционально предназначен именно в качестве стола для проведения массового торжества  при наличии нескольких сдвинутых столов. 
Поэтому функция, это не эталон, раз и навсегда заданный, а она может изменяться в зависимости от изменения тех или иных количественных параметров. Любая математическая функция с ее взаимной зависимостью переменных и постоянных величин здесь не исключение, а скорее яркая иллюстрация для данного высказывания. Вода в любом состоянии не перестает быть водой, но при температуре ниже 0; она превращается в лед, начиная с 0 ; и выше, вода становится жидкостью и даже может испаряться, превращаясь в пар. Хотя взаимная зависимость давления и температуры имеет для воды более сложные пропорции, но это уже путешествие в физику твердых тел.
Русское слово «один» этимологически тесно связано со словом «единый» совершенно не случайно. Ведь никто никогда не собирался сосчитывать безграничное, безмерное или измерять что-либо чем-то безграничным или безмерным. Выявление границ, в пределах которых предмет воспринимается как нечто единое, и было самым первым действием по установлению первого числа под названием единица. Все остальные числа (не путать с цифрами) вполне очевидным образом могут быть воспроизведены  только на основе единицы, и, даже, не выходить за ее рамки. Одна пара сапог, один железнодорожный состав, один ураган, шесть как одно число (отделение в армии, к примеру) и т.д. и т.п. По сути, повторение ее несколько раз и порождало последующие числа, включающие в себя множество этих самых повторений «непрерывных объектов», т.е единиц. Но не просто повторение, а повторение особым образом производимым действием. Вот о нем и поговорим, что это за действие.
Исторически, это действие изначально осуществлялось, как попытка уравнивать то, что подлежало делению между нашими предками. Это действие (уравнивание) предшествовало счету уравниваемых предметов. В этом смысле обучение ребенка математике должно начинаться с того самого действия, с которого исторически начиналась и сама математика, т.е. с уравнивания (выражаясь языком математики – с алгебры), а не со счета как такового (арифметики).
Самое общее понятие числа, как целостного понятия, как раз может и должно формироваться в сознании ребенка именно в этих первых шагах по сравнению (уравниванию) предметов. Пропускать эту стадию нельзя. Создавая разные по объему кучки песка, уже через это можно обучать ребенка самостоятельно обозначать (отыскивать знаки), какая больше, какая меньше, а какие равны. Для начала пусть ребенок между кучками (песка, орехов, бусинок и т.д., это не суть важно) попытается самостоятельно поставить знаки (обозначения), которые он считает нужным, лишь бы они отражали суть того, что он делает - сравнивает.
Возможно, это будет стрелка, острием направленная на большую кучку, а перьевой частью в сторону меньшей, следом от ладошки, да мало ли еще чем. А вот уже после многократных попыток самостоятельно обозначить равенство или неравенство, можно будет указать, а заодно и объяснить, как равенство и неравенство обозначают взрослые люди через установление постоянно используемых знаков: <, =, >.
Попытки определить: больше или меньше, равно или не равно, длиннее или короче, у;же или шире, позже или раньше, быстрее или медленнее, легче или тяжелее и т.д. и т.п., и есть первые шаги в математике, как они были сделаны человеком в его историческом развитии. Этот же порядок целесообразно (даже обязательно) применять и для ребенка. Ведь в сравниваемых (уравниваемых) вещах у ребенка формируется понятие величина именно как нечто целое, определенное (имеющее пределы, границы не только с точки зрения контуров предметов, но и с установления их функциональных пределов), а значит, формируется то, что потом будет им восприниматься как мера вещей. В понятии мера ребенок сталкивается с тем, что позже он узнает как покой (относительный).* Уже здесь должно стать очевидным, как ломаются, якобы непреодолимые, перегородки между различными областями знаний о действительности.
К понятию мера еще вернемся, ибо она имеет очень важное функциональное значение для образования числа. Повторимся, что любая сущность, сущность любого предмета, может быть понята только как строго определенная функция. А нам и надо понять сущность числа не через приведение всего бесконечного ряда всевозможных его частных случаев в виде целых, дробных, десятичных и т.д. чисел, а через раз и навсегда выявленную функциональную определенность числа вообще. 
Проиллюстрируем только что приведенное суждение на более простом предмете, чтобы осмыслить, насколько сложен процесс установления понятия, т.е., что значит понять сущность.
Стол, как стол, может быть: деревянным, металлическим, стеклянным, круглым, квадратным, овальным; очень большим и очень маленьким; на одной, двух, трех, четырех и т.д. ножках, а то и вообще без ножек. В таком случае, что есть стол? Как видим, простое перечисление всех возможных вариантов его внешнего вида, субстрата, из которого он может состоять, т.е. чисто арифметическая сумма всех возможных признаков, ничего нам не дает в понимании сущности стола. В конце концов, столом может оказаться и ладонь и спина, если мы на них пытаемся выполнить те же действия, что и на столе (подписать, скажем, документ).
Посмотрите, сколько витиеватостей с выведением понятия стола, а ведь выведение понятия числа более сложное занятие, чем выведение понятия стола.
Вот функция и указывает нам на то, что есть, в сущности, стол (впрочем, как и любой другой предмет). Применительно к столу эта функция сводится к действиям по удержанию и фиксированию на ограниченной плоской поверхности предметов, так или иначе связанных между собой. Если на поверхности стола фиксируются предметы, которые по назначению между собой не связаны, мы и называем это беспорядком на столе, или просто говорим, что тому или иному предмету на данном столе не место, т.е. нет места, не должно его быть при определенных отношениях. На столе, на котором крепиться верстак, шведский стол накрывать никто не будет. Но при любых вариациях, стол это все-таки ограниченная плоская площадка.
Функция, как в общей, так и в особенной форме, определяет разновидность предмета при его изготовлении, а значит и при его использовании.
Какие действия с необходимостью порождают число, а, значит, функционально определяют его сущность? Очевидно, что действия по сравниванию и уравниванию число породить не могут, хотя и с необходимостью предшествуют установлению количественной определенности. Они могут только сказать - больше, меньше или равны между собой сравниваемые предметы. 
Чтобы установить то, что составляет количественную определенность предметов, необходимо опосредованное действие самого человека. Начинается это действие с выявления требуемой количественной характеристики предмета (веса, длинны, объема и т.д.). Уже от этого действия с необходимостью определяется вид мерки, выбор которой зависит от того, какую величину мы пытаемся установить: вес, размер, изменения (время), перемещение (движение, энергия) и т.п. Правда, математические действия человека на этом не ограничиваются, но о более сложных их формах разговор еще будет впереди.
С самого начала важно, чтобы ребенок сам определил вид величины, которую необходимо установить. Это настолько простое действие, что специально останавливаться на нем вряд ли есть необходимость. Ведь величина – это и есть определенное количество, т.е количество того предмета, которое может быть определено действием посредством соотнесения однородных предметов между собой. Определив величину, ребенок в состоянии будет подобрать и соответствующую мерку, прежде чем приступить к следующим действиям, т.е. к измерению и исчислению. С точки зрения повседневной практики общения с детьми, именно при установлении длины (расстояния) легче всего определиться с  меркой. Хотя любая игра, скажем, в «магазин» также предполагает правильное определение величины для установления результатов игры.
Предположим, что выбрана такая величина, как расстояние. Для того чтобы определить, кто дальше бросит мяч, камень, металлический шарик и на сколько и т.д., потребуется отыскание способа измерения. Это могут быть шаги, ступни ног, имеющаяся под рукой палка и т.д.
Но в акте выбора самой мерки ребенок должен понять очень важное обстоятельство, что в конкретном измерении мерка должна быть одна и тождественна самой себе (а в этом суть любой мерки). Суть единицы тоже в этом, т.е. в тождественности предмета самому себе. Ведь если мерить расстояние шагами или ступнями ребенка, на которое он бросил предмет,  потом мерить шагами или ступнями взрослого (а это провокационное действие обязательно необходимо осуществить), расстояние, на которое бросил предмет взрослый, то результат будет разным, так как выбрана не одна, а две мерки, каждая из которых не тождественны между собой. Главное, чтобы взрослые нарочито бросили предмет на большее расстояние, чем ребенок. Психологически важно, чтобы ребенок заметил разницу в измерении разными мерками не в его пользу и при этом возмутился.
Достижением в этой игре будет факт предложения самим ребенком единой мерки для измерения расстояния броска для всех участников импровизированного соревнования. Но не следует спешить искать ответ за ребенка и даже не подсказывать ему пошагово, а ставить  его в такие условия, внутри которых он сам будет вынужден прийти к нужному выводу. Конечно же, эти условия могут быть разбиты на несколько этапов, если от начального действия и конечного результата требуется провести несколько несхожих действий.
Хорошо бы начинать подобного рода игру с предварительного просмотра мультфильма «38 попугаев». Полагаю, что автор сценария к этому мультфильму Григорий Бенционович Остер сущность числа и способов его объяснения знал лучше многих школьных учителей начальных классов и педагогов. Главное понять, что; в этом мультфильме было грамотно преподнесено детям – это зависимость числа от мерки и действия с нею. Математика не начинается с простого созерцания измеряемого предмета (в данном случае удава), начинается не с выдумывания числа после почесывания затылка с глубокомысленным выражением лица. Здесь были действия с меркой. Меркой была и Мартышка и Слоненок и Попугай, поэтому и числа были разные, а измеряемый предмет был один (единый, неизменный). Объединяющим принципом здесь было общее для всех действие в деле измерения искомой величины. И вот именно это действие (кратное использование мерки до тех пор, пока эта кратность не сравняется в сумме с измеряемым предметом по длине, весу и т.д.), а не результаты сами по себе, и является важнейшим условием для формирования понятия числа у ученика.
Вообще следует постоянно удерживать внимание на том, что формирование у ребенка математических понятий не результат разовой игровой акции, а продукт ежедневных импровизированных и многообразных действий (в том числе и неигровых) по измерению (кратное количество из-меры), т.е. того самого действия, в результате которого только и может возникнуть число. Частота и многообразие совместных игровых и неигровых действий должны варьироваться в зависимости от возраста ребенка и результативность будет также определяться серьезностью отношений взрослых к делу формирования способностей их ребенка, как и от того, насколько вы готовы разделить с ребенком самые лучшие чувства и мысли, которые у вас есть.
В русле последнего высказывания хотелось бы заметить, что собственно сама предметная деятельность (деятельность с предметами), помноженная на подлинно человеческую любовь к будущему наших детей, гораздо в большей степени выявляет нужную методику введения их в мир знаний, чем уже все разработанные способы и методики преподавания знаний в учебных заведениях. Помните, что чувство любви разделяют с тем, с кем выстраивается единое пространство и время.
Итак, выбрана мерка, выбран предмет, величину которого нужно установить, остается только в действии соотнести их между собой, чтобы получить то, что потом будет называться числом и переложить его в качестве результата на другой сходный предмет, чтобы сравнить его с первоначально выбранным для измерения предметом. Вот в этом количественном соотнесении и проявится целостность математического действия.
От того, что мы измерим (кратно переложим мерку) предмет, нам полученное число ни о чем не будет говорить, даже если будут разные мерки. От того, что персонаж мультфильма Удав обрадовался, что в попугаях он гораздо длиннее, чем в мартышках или слоненке, его размер все же остается неизменным. Ведь установленная величина приобретает смысл, когда мы выявим, насколько мал или велик, либо равен измеряемый предмет по отношению к чему-то сходному, однородному предмету. Для чего тогда были произведены измерения указанными мультипликационными персонажами? По сути, в данном случае, для формирования понятия меры и через неё понятия числа. Вот если бы Удава сравнивали с другим удавом (скажем, с его бабушкой), с другим продолговатым предметом, вот тогда и появился бы смысл говорить еще и о величине, была бы логическая завершенность математического действия по отношению к измеряемому предмету, т.е. Удаву. Практическая значимость математических действий была бы очевидна даже для тех, кто только начинает познавать математику.
Итак, число порождается тем самым действием, которое сводится к кратному повторению выбранной мерки, тождественной величине измеряемого предмета. Это действие и называется из-мер-ением, т.е. число рождается из меры, её кратности. Поэтому не будет ошибки, если число нам будет представляться изначально именно как особым образом осуществляемая практическая осмысленная деятельность. «Число выступает как кратное отношение измеряемой величины к мерке А/Е = а, где а — число, А — любая измеряемая величина, Е — мерка (величина того же рода). Измеряя одну и ту же величину разными мерками, можно получить разные числа. Это кратное отношение величин, прихо¬дящее на смену их разностному сравнению, и есть та исходная «клеточка», из которой и появляются разные виды чисел. Поэто¬му обучение детей математике начинается с довольно длительного периода изучения понятия величины (дочисловой период), а лишь затем появляется число как результат измерения величины при решении одной и той же задачи на ее воспроизведение сначала пу¬тем подбора, а затем построения величины, равной данной».
Кроме измерения, как способа выведения числа, есть еще один способ его выведения, который называется исчислением. Но он исторически возникает несколько позже, чем измерение по вполне понятным причинам. Исчисления имеют место быть тогда, когда человек уже вывел закономерности при выведении числа, т.е. выявлена кратность мерок в действиях, связанных с измерением. Ведь исчисления – это получение нового числа уже из самих чисел путем проведения с ними известных четырех арифметических действий. Исчисления в самой предметной реальности возможно лишь при счете единичных (обособленных) однородных предметов. Если же предметы, подвергшиеся счету, неоднородны, но требуется установить их количественную определенность (численность), то предметы просто обозначают штуками, чтобы отвлечься от их качественной определенности. Например, количество предметов в столовом сервизе, количество различных предметов мебели в комнате.
Счет - частный случай измерения (В.В. Давыдов), результатом которого становится число, и самим числом, в таком случае, можно осуществлять счет и даже измерение самим числом. Даже с точки зрения грамматического анализа слова «число», к которому прибегает И.Е. Берлянд, свидетельствует о том, что числом можно исчислять и измерять. Ведь в русском языке «суффикс л образует слова, обозначающие орудие, то, с помощью чего что-то делают». 
Если с выведением понятия числа все же удается справиться и объяснить его ребенку в его всеобщей и необходимой форме, то с понятием величина все гораздо сложнее. С чем сопоставить понятие величина - с действием, как при установлении понятия числа (кратность, штучность), или с объективными свойствами самих предметов? Каждый предмет в любой момент имеет собственную величину, как естественную (вес, скорость бега, перемещения, размеры частей тела у животных, растений, минералов и т.д.), так и привнесенную деятельностью человека (к примеру, обрезанная с обеих сторон ножом ветка, линейка, гиря и т.д.).
Естественная величина для предмета может иметь средние показатели (параметры) или постоянный параметр для того рода вещей, к которому он относится (к примеру, плод рожкового дерева карат для измерения веса драгоценных камней), и выявить их относительно несложно. Но речь идет о том, чтобы дать логическое определение понятию величина.
Лебег совершенно справедливо сетует на то, что «на практике учителя не дают никакого определения: они лишь приводят примеры величин (площадь поверхности, объем, вес, количество теплоты) и примеры понятий, не являющихся величинами (скорость, температура, потенциал и т.д.)».  Подобно тому, как в учебных заведениях математики избегают определения понятия «числа», таким же образом обходят вниманием и такое понятие, как «величина». Но и сам А. Лебег также обошел этот острый угол в определении понятия величина в его логической форме.
По всей видимости, целесообразнее все же пытаться вывести понятие величины из понятия числа. Ведь число и есть кратное отношение измеряемой величины к мерке. В этом определении величина остается логически необъяснимым элементом математики. Действительно, каждый раз приходится лишь называть, в каком качестве в измерении выступает величина: в качестве площади, веса, высоты, ширины, длинны и т.п. А что есть такое величина, не ясно.
Попробуйте ребенку для начала такое понятие, как величина, объяснить исходя из функционального значения этого слова. Для этого достаточно однородные вещи сравнивать между собой с точки зрения их соизмеримости безотносительно того, будет выявлено какое-либо число или нет. Больше или меньше, длиннее или короче, тяжелее или легче, ярче или темнее и т.д. А насколько именно один сравниваемый предмет или одно явление длиннее, тяжелее, ярче, больше другого предмета или явления, первоначально можно не выяснять. Да у вас это и не получится. Но подобного рода сравнение (субъективное восприятие разницы в величинах однородных предметов) между однородными предметами можно начинать очень рано. Ребенок, который не научился еще говорить, вполне может понять, когда ему что-то дают меньше или больше, чем кому-то другому.
Здесь качественная определенность будет выражать количественную определенность, они как бы будут совпадать между собой. Догадка древнегреческих философов атомистов взять за основу в определении естественной величины неделимую частицу тела (атом), позволило выявить объективные пределы для любого реального предмета в виде вполне материальной основы, имеющей вполне вещественные пределы. «Реальностью количества тем самым оказывалась телесность, а не некоторые «бестелесные» сущности вроде единицы, точки, линии или поверхности». .
Ведь математическая точка*, из строгой последовательности их рядоположенности возможна линия, а последовательная рядоположенность нескольких линий возможна плоскость и т.д., по определению, которое ей дал Евклид, есть «то, что не имеет никакой части»,  т.е. с точки зрения математики не имеет никаких размеров. Атом у древних греков имеет телесную природу, и любое другое тело тоже имеет вполне вещественные характеристики, свойства. Ведь у древних греков любое тело состояло из вполне вещественных атомов, которые не делились бесконечно. У них атомы хлеба – это атомы хлеба, атомы воды – это атомы воды и т.д. Сам факт выведения понятия величины из вполне вещественных предметов имело громадное значение с точки зрения философско-гносеологической методологии в изучении действительности. На практике произошло соединение чувственно воспринимаемого мира с математическими абстракциями. Но попробуйте на этом языке, это же самое объяснить ребенку. Думаю, что не каждый взрослый будет выслушивать и вникать в смысл и значение проблем математики в деле становления понятия величина, как они решались в реальной истории. Но центральным, стержневым моментом здесь будет именно то, что величина не только вещественна, но и неделима. Ведь атом с греческого так и переводится, как неделимый, а значит, целостен и имеющий пределы, он един. Помните(?) корень у единицы – един, а если учесть, что «дин» с греческого переводится как сила, то эта самая сила и удерживает целостность.
Совсем другое дело в объяснении величины, когда она начинает определяться «как функция от числа неделимых» (Ильенков) атомов. Здесь вполне доходчиво можно обозначить для ребенка сам принцип этой самой функции. По любому он нацеливает мышление на то, что величина характеризуется как нечто целое. Ведь целое тогда и целое, когда его начало совпадает с его концом, а, следовательно, вполне могут быть видимы оба конца деятельности. Начало измерения расстояния от одного предмета до другого имеет и конец, и кратность избранной величины (даже если и не в целых числах) совпадает с реальным предметом, подвергшимся измерению.
Выведенное выше из меры понятие числа все же не исчерпывает все возможные способы получения числа. Какая мера для выведения количественной определенности скажем грецких орехов, если мы просто их пересчитываем? По сути никакой, кроме каждого ореха в отдельности. И все же мера присутствует даже здесь, но она лежит за пределами самих вещественных предметов. Она в отношениях между людьми, осуществляющих счет. Ведь мерой для счета может оказаться орех в скорлупе, или доли его вне твердой скорлупы, а то и вообще не очищенные от зеленой кожуры орехи, вопрос, что именно нужно и для чего. В любом случае простой пересчет предметов возможен, если для них обозначены пределы их целостности (выбранная мера), как для каждого из них, так и для всех сразу: один орех, два ореха, три ореха; одна куча орехов, две кучи орехов, три кучи орехов; один килограмм орехов, два килограмма орехов и т.д.
В русском языке кроме «единицы» еще есть понятие «штука», т.е. то, что есть как «часть, доля, цђлаго, образующая и по себђ  нђчто отдђльное».  По сути, изолирование (отделение) доли от целого можно расценивать как своего рода абстрагирование. Штучный товар, если он признан в качестве шедевра, рождается, тем не менее, внутри некоей целостной (завершенной) деятельности. Он отпочковывается от этой деятельности и начинает самостоятельную жизнь, пряча в себе секреты его творения, а сотворившего его подмастерья превращает в мастера, тоже в единичное и неповторимое существо. Но парадокс в том-то и заключается, что эта неповторимость, единичность (штучность), связана со всем миром гораздо бо;льшими узами, чем сотни и тысячи людей с формальной одинаковостью, с формальным подобием. Вот вам еще один маленький образчик слома перегородки между, казалось бы, разными областями предметной деятельности - математикой и искусством.
В русском языке не было слова «штука», и это слово немецкого происхождения, но исходя из словоприменительной практики, это  слово, чаще всего, используют в русском языке именно в тех случаях, когда целое не подлежит исчислению по ее внутренним количественным характеристикам (вес, размер и т.п.)
Счет штуками может быть осуществлен без использования (привлечения) величины в качестве меры, здесь важнее целостность и однородность исчисляемых предметов штуками. Даже равенство между штучными однородными предметами не имеет значение: камень, гора, лес, дерево и т.п.
Если дети знают сказку, как лиса делила одну целую головку сыра между двумя жадными медвежатами, то можно ее действия обыграть с детьми, пытаясь что-то поделить. Ведь каждый раз оба куска сыра имели некую целостность после того, как лиса откусывала от них кусочки. Разница была лишь в размерах этих кусочков, которые нельзя было уравнять из-за жадности, как медвежат, так и лисы. В подобных случаях важно детям предложить самим найти вариант дележки сыра или того, что стало предметом раздела в игре. Вполне вероятно, что они могут заблудиться в оценке этого действия с точки зрения справедливости, т.е. с позиции моральных аспектов. Но важно незаметно подвести их к формальному равенству долей сыра, что собственно и делает математика. Ей нет дела до аппетита медвежат и лисы, как нет дела и до размеров их тел. Не должно быть дела до этого и у детей. Зато будет соблюден принцип формального равенства, так важного в математике и он будет закреплен ими наглядно в их же действиях и, возможно, даже ими понят.
Нужно ли стремиться ребенку давать определение (дефиницию) величины? Нет! Не следует хотя бы только потому, что «дефиниции не имеют значения для науки, потому что они всегда оказываются недостаточными. Единственно реальной дефиницией оказывается развитие самого существа дела, а это уже не есть дефиниция».  Вот это самое существо дела и иллюстрировалось, пусть даже и в очень ограниченном варианте, но вполне достаточном для уяснения именно сути того, откуда возникает понятие величины и для чего.
Для ребенка важно понять, что величина представляет не себя, а нечто другое, существующее вне ее самой как таковой. Когда задается вопрос «сколько(?)», то имеется в виду не только мера в ее кратном выражении, а и качественная определенность самой меры, выбранной и заранее строго определенной: метр, аршин, фут, пядь, килограмм, фунт, унция, карат и т.п. Ну, самым важным моментом в деле понимания ребенком, что есть такое величина, будет то действие, в котором он сам будет выбирать или изготовлять мерку. Величина, определяемая как функция, и есть деятельность по выявлению соразмерности между однородными материальными предметами в процессе их соотнесения между собой. Ключевыми словами в данном случае будут «соразмерность», «соотносимость» или «относимость» и «однородность». Не будете же вы ребенка просить измерить длину палки звуком «А» или запахом арбуза. Хотя именно для вырабатывания и уяснения ребенком такого понятия, как однородность предметов, можно придумывать множество нелепостей, наподобие только что произнесенной по поводу соразмерности длины палки со звуком «А». Заодно ребенок повеселится, и занятие математикой не будет для него таким уж скучным делом. В конце концов, не начинать же объяснять ребенку понятие величины со скалярных, тензорных и векторных величин.  
Что касается такой количественной определенности, как масса, то изготовление ребенком весов с одинаковыми плечами, лучше всего сформирует у него и эту количественную определенность в виде веса. Кстати, здесь же можно заложить основу в понимании равенства, т.е. уравнения, ибо ребенок в реальном действии будет заниматься уравниванием (уравнениями). Ведь объем занимаемого пространства телами, и вес, не тождественные понятия. И опять здесь будет соблюден основной принцип в установлении величины – соотносимость. Ведь не всякое число есть величина, а только то;, которое становится результирующим в измерениях. Величина как число - это не то;, чем измеряют, а то;, что измерено. Но даже если мы изготавливаем мерку для измерения, подгоняя ее к какому-либо предмету, имеющего относительно устойчивую характеристику в виде длины, веса, скорости и т.п., то в этом случае сама мерка тоже есть результат измерения.
Вполне допускаю, что неискушенному читателю трудно преодолеть возникающее противоречие, которое неизбежно выявляется при исследовании собственного основания математики. С одной стороны, математика отвлекается от содержательности, исследуя чистую форму («способ существования определенного содержания»), с другой стороны, в принципе невозможна деятельность по измерению бессодержательного протяженного пространства. Измерение, как математическое действие, всегда должно исходить из чего-то вещественного и для чего-то вещественного. Ведь можно говорить о мере мысли, о мере личности, мере ответственности и т.д., но тогда это уже будет не предметом математического исследования, а предметом психологии, социологии, права и т.д.
Так ка;к математике выйти на эту чистую форму идеальной протяженности (горячего мороженого, сухой воды), чтобы оказаться внутри собственной абстрактной сферы количественных отношений?
Это противоречие никогда не будет понято и разрешено, пока исследователь не обратит свой взор на самого себя, как на то самое звено, которое и связывает между собой чистые математические абстракции и действительность. Ведь совершенно не случайно человек в философии рассматривается, как субъект и объект одновременно.
Для начала зададимся вопросом, а каким это образом математика умудряется так логично и безупречно оперировать количественными отношениями действительного мира, отвлекаясь от его реального содержания, и, соответственно, как в этот процесс отвлечения втянуть на ранних стадиях интеллектуального развития незрелый ум ребенка?
Если по Гегелю «число есть чистая мысль о самоотчуждении мысли» , и «пространственная величина сама по себе есть столь же определенная величина, как и числовая величина» , то нам и следует обнаружить те самые пространственные определенности, которые были бы не чужды ни действительности, ни чистым математическим формам (абстракциям). Для неискушенного читателя в философии следует пояснить приведенное высказывание Гегеля о числе. Число пять живет уже как мысль независимо от его пространственной определенности в виде пяти метров, пяти монет, пяти рублей, пяти килограммов и т.д., и с ним можно осуществлять исчисления наряду с другими числами вне их пространственной определенности. Как уже говорилось выше, понять превращение количественной определенности в число (в чистую мысль) и наоборот, нельзя, если не вклинить между ними самого человека. Но вклинивать нужно не пассивного человека, слушателя и созерцателя, как это происходит в школе и в вузе, а деятельного, творца. Но что же, при этом, он должен творить?
Оглянитесь и вы увидите вокруг себя нагромождение различных предметов. Но только мы, люди, в состоянии это неупорядоченное нагромождение (хаос) предметов отграничивать друг от друга, делать их определенными (устанавливать, а значит видеть их пределы), превращая пространство в космос, т.е. в упорядоченное целое.   
С чего начинается отсчет этому внешнему пространству, что мы в нем выделяем, определяем? Очевидно, что он должен начинаться с самой малой пространственной величины, с точки. Но точка – это то, что не имеет размера. Попробуйте обнаружить в самой действительности идеальную точку, не трудно будет догадаться, что это вряд ли кому-либо удастся сделать. Разглядывая точку, поставленную самым аккуратным образом карандашом на бумаге, через самую простейшую лупу, легко будет увидеть, что ее границы далеки от идеальных контуров. Скорее всего, через лупу, и уж тем более разглядывая точку под микроскопом, можно увидеть какое-нибудь сложное изображение, а не идеальную точку.      
И только математика, беря ее за первооснову при количественных и пространственных измерениях, счета вообще, полагает ее идеальной, как нечто единое, непрерывное (континуум). И когда говорят, что арифметика – это аналитическая наука, то имеют в виду, что ни в одном ее предмете (в данном случае точке) не обнаруживается ни одна из внутренних реальных связей и отношений, присущих точке как материальному объекту. Точке математикой извне «навязывается» (Гегель) определенная совокупность идеальных свойств.
Если математика будет углубляться в изучение реальной точки, то против этого будет протестовать, прежде всего, физика, а возможно и химия, так как реальная пространственная определенность - это их предмет для исследования, а не предмет математики. У математики своя точка, рафинированная, идеальная, т.е. не имеющая своего аналога в реальной действительности, хотя из нее и взятая. Вот такой парадокс, который нужно понимать и учитывать его при изучении математики.
Не случайно в математике при изучении функции (в том числе и графической) предел хотя и рассматривается через призму бесконечно малых и бесконечно больших величин, все же пределом для переменной величины ; выступает не реальный предмет, а абстрактное число, а для бесконечно малых величин пределом всегда может быть ноль, вопрос лишь в том, что взято за точку отсчета для положительных чисел. Можно ноль отождествить с точкой? Можно, если эта точка является пересечением координат. Во всяком случае, именно через систему координат ребенку можно объяснить, в чем тождество и в чем различие* между нулем и точкой, а заодно и попытаться объяснить функциональное значение числа «ноль», как предела положительных и отрицательных чисел. Ведь ноль является не только начальной границей счета, но и границей пошагового счета в десятичной системе счета: 10,20,30…. …100,200,300….1000,10000, 100000 и т.д.
Думаю, что ребенку не сложно будет продемонстрировать отсутствие идеальной точки, прибегая к различным увеличительным приборам. Но обязательно при этом надо «пытать» ребенка как он сам может сформулировать, дать определение (т.е. увидеть пределы) тому, что есть точка.
Важно уметь обратить внимание на обстоятельства, когда сам ребенок в играх прерывные предметы превращает в предметы как бы условно непрерывные. Мне доводилось наблюдать интересную сцену, когда трехлетний ребенок выстраивает в очень ровную линию игрушечные машинки, не оставляя между ними ни малейшего просвета. Их было более 15 штук. Одна машинка как дискретный (прерывный) предмет, становился элементом целого непрерывного ряда, ровной линии.
Со стороны взрослого была попытка вклинить между ними игрушечную машинку большего размера, и это мальчику не понравилось. Он ее сразу же убрал. С его точки зрения была нарушена единая целостность. Но он меньше возмущался, когда большего размера игрушечные машины были поставлены по краям существующего ряда маленьких игрушечных машин. Целостность и непрерывность ряда сохранялась, но у него были обозначены границы, и это, видимо, не противоречило замыслу мальчика.
Не у каждого есть возможность выстраивать ряд из одинаковых игрушечных машинок, их вполне могут заменить кусочки сахара, шашки, а еще лучше шахматные фигуры, в конце концов, просто разного цвета камушки. 
Понятно, что после точки идет то, что является ее логическим продолжением, т.е. линия. И для начала совсем не важно, воспроизводится эта линия ребенком как прямая, или кривая. Но надо бы знать, что, ребенок уже на достаточно ранних стадиях своего развития сталкивается с тем, что мы называем идеальной линией. Важно ему в этом не мешать, а еще лучше, если ставить ребенка в такие условия, когда он начнет познавать именно идеальную форму линии. Ведь познание линии после точки является продолжением изучения не только реального пространства, но и математического, идеального пространства.
Как и точка, линия в своей идеальной форме в природе, в самой действительности, не существует хотя бы уже потому, что состоит из этих самых последовательных нематематических точек. Она, как и точка, является исключительно продуктом человеческого мышления, результатом абстрагирования человека от несущественных свойств предметов, которые к прямой линии никакого отношения не имеют.
Когда ребенок сталкивается с идеальной формой линии? Да во всех тех случаях, когда он пытается найти кратчайшее расстояние между собой и предметом, ставшим его целью. Уже здесь начинается формироваться понятие идеальной линии. Особенно это очевидным образом происходит, когда ребенок пытается достать какой-либо предмет, используя для этого  посторонние предметы, чаще всего палку. Нет, линию эту он не может созерцать, ибо «созерцание пространственных вещей – не изначальная способность» , она  не задается ребенку вместе с рождением его тела. И об этом в соответствующем разделе уже подробно были даны разъяснения. Здесь только повторим, что глаз видит только те контуры предмета, которые прошли через руки, а не наоборот, будто рука делает то, что видит глаз. Но здесь не только рука, но и все тело участвует в формировании способности видеть. Здесь речь идет не о видении идеальной линии, а об оттачивании ее, приближении к ней через различение «между формой вещи и формой деятельности» (Лобастов) с этой вещью.
Пытаясь на дереве при помощи палки достать яблоко, ребенок тем самым сталкивается с тем, что его глаз как бы прочерчивает прямую линию между его точкой опоры на земле и самим плодом яблони на дереве как кратчайшее расстояние между двумя точками. Ребенок в реальном действии приравнивает две величины (свой рост и длину палки) как одну величину. Было бы замечательно, если ребенок еще догадается подставить какой-нибудь предмет, благодаря которому прибавится еще одна величина. Взрослому лишь надо попросить достать плод, который находится выше предыдущего. Но важно, чтобы в поле зрения ребенка отсутствовала подставка (ящик, чурбан, стул и т.п.). Он о ней должен догадаться сам. Хотя, с точки зрения педагогической практики, наличие подставки в поле зрения ребенка будет условием для развития в нем способности манипулировать образами прежде, чем он соединит предметы в нужной последовательности. Для развития человеческого уровня мышления ребенка с самого начала необходимо обучать манипулировать образами, а не предметами. Именно такая способность для изучения математики более ценна. Образное мышление развивается в процессе познавательной деятельности, а не задано изначально.
После линии пространство человеком обозначается их совокупностью, рядоположенностью, вследствие чего возникает то, что потом математика приобретает уже как свой «рабочий стол», свою «рабочую площадку» в виде плоскости, на которой размещаются и исследуются более сложные фигуры, чем просто точка и просто линия.
Для ребенка этот факт достаточно легко может быть объяснен и проиллюстрирован любой решеткой, тканью, фактом вязания, когда рядоположенные стежки и петли, нити проволоки формируют полотно, плоскую площадку.
И здесь, очевидным образом, можно ребенку показать и объяснить, что идеальной плоскости не существует хотя бы уже потому, что она содержит в себе те самые неидеальные точки и линии. Но математика в исчислениях имеет дело с идеальной плоскостью. Именно благодаря полаганию в математике идеальной линии, точки и плоскости, появляется возможность формулировать в геометрии аксиоматические (не требующие доказательств) утверждения и определения, что и сделал Евклид в своих «Началах» (36 определений и 12 аксиом), а также возможность оперировать числами.
Вот таким образом человек через собственную деятельность и соединяет реальное пространство с идеальным (в данном случае с математическим) пространством, превращая одно в другое силой своего интеллекта, способностью абстрагироваться от реального содержания пространственно-временных форм. Погрешность в исчислениях одно из свидетельств того, что мир идей все же не есть мир вещей. Хотя, нередко, погрешность настолько  мала, что существенной роли не играет в процессе воплощения идеи в реальность. А если и возникают конфликты из-за пренебрежительного отношения к погрешностям там, где это недопустимо, то возникающие в этом случае проблемы нередко решается посредством права или даже морали, а не математики.
До сих пор ничего не говорилось о времени, но в этом понятии нет какой-то особой сложности. Здесь действует все та же логическая операция, которая называется абстрагированием. Если время есть всякое изменение материальных предметов в пространстве, то всю известную человеку совокупность этих изменений человек в итоге свел и приравнял к условному времени, к алгоритмическим функциям сначала предметов природы, затем к алгоритмам в механических часах, и, в конце концов, к алгоритмам, заложенных в электронных часах. Но и здесь изобретенные человеком часы своими корнями также  уходят к реальным изменениям в пространстве (вращение земли вокруг своей оси и вокруг солнца), которые вовсе не идеальны. Ведь эфемеридная (др.-греч. ;;;;;;;; «на день») секунда в исчислении времени равна 1/31556925,9747 тропического года. Ребенку для начала достаточно секунду обозначить счетом «раз и» без паузы между словом «раз» и словом «и». При определенных обстоятельствах ребенку можно объяснить и эталонную (атомную) секунду и секунду, как единицу плоского угла. Но все эти объяснения понадобятся (если они вообще ему понадобятся) гораздо позже.
На начальном этапе познания сущности времени достаточно ребенку объяснить, что часы и время – это не одно и то же. Ведь даже взрослые часто задают  друг другу вопрос, «сколько часов», когда хотят узнать который час. Если мне задают такой вопрос, то бывали случаи, когда давал ответ, что часы у меня в настоящее время одни, а времени совсем нет.
Изобретенные человеком часы соотносят с эталоном, как соотносят с эталоном линейку и гирю. Это не означает, что не считаются с реальными пространственно-временными свойствами действительности. В конце концов, результаты любых исчислений направлены в итоге на установление и изменение именно количественных свойств и отношений между материальными телами. Поэтому необходимо менять эталоны, если произошли изменения в существующей действительности, а не наоборот, подгонять  пространственно-временную реальность под уже существующие эталоны любой ценой и во всяком случае.
Хотя при измерении величин и используются реальные мерки (вполне вещественные линейки, гири, часы и т.п.), тем не менее, за ними предполагается некоторая идеальность. Другими словами, от реально имеющихся погрешностей в измерительных приборах и инструментах человек отвлекается. В любых измерениях задействованы эталоны, но результаты этих измерений облекаются в абстрактные числа, и дальше посредством чисел производятся исчисления, что и создает иллюзию существования только для самих чисел закономерности, которые достаточно легко выводятся из всех четырех арифметических действий. 
Гегель писал - «Арифметика рассматривает число и его фигуры, или, вернее, не рассматривает их, а оперирует ими. Ибо число есть безразличная, инертная определенность; оно должно быть приведено в действие и в соотношение извне. Способы такого соотнесения – это [четыре] арифметических действия. Однако в арифметике не выделяется нить, руководящая их последовательностью. Но из самого определения понятия числа легко получается систематический порядок, на который справедливо притязает изложение этих элементов в учебниках». 
Действительно, если мы измеряем, к примеру, площадь одной тротуарной плитки, чтобы узнать, сколько нам их понадобится для покрытия уже очерченной (определенной) площади земельного участка, то мы сначала выполняем действие умножения - длину на ширину одной плитки. Если участок не имеет ровных границ, то мы разбиваем их на ровные сектора, потом найденную площадь каждого сектора делим на площадь одной плитки. Узнаем, сколько нам необходимо плиток для каждого сегмента. И только в конце выполняем сложение полученных результатов в каждом сегменте и узнаем общее число плиток. Такие действия вполне возможно для ребенка устроить и на обеденном столе, используя карты домино или что-то подобное. В результате указанных исчислений может выявиться и быть объяснено такое математическое понятие, как остаток. Такое математическое понятие, как остаток еще проще объяснить при измерении длины какого-либо предмета меркой. Если предмет не будет полностью исчерпываться кратностью мерки, то оставшаяся часть измеряемого предмета и будет остаток, который можно наглядно созерцать. Более того, вполне можно выразить остаток в числе, сопоставив мерку с остатком, т.е. половина от мерки осталось, четверть, две трети и т.д. 
Главное здесь для ребенка наглядным образом может быть объяснена и понята последовательность арифметических действий, вытекающая из практической деятельности человека. Ребенок вполне сам может записывать порядок этих реальных измерений, и даже желательно, чтобы именно он это действие выполнял. У него должны появиться и скобки и знаки деления и умножения и сложения. А при необходимости установления разницы в количестве плиток в сегментах с железной необходимостью появится и знак вычитания.
Вполне очевидным образом можно проиллюстрировать в данной игре, что действия по вычитанию и сложению не могут предшествовать умножению и делению, и что действия в скобках должны выполняться раньше. И в этом уже скрыт алгоритм исчислений, который некоторыми детьми схватывается, хотя и не всегда ими понимается. Учителя на уроках математики выведение правил исчисления из самой деятельности и из действительности, к сожалению и на беду учеников, чаще всего пропускают. 
Если попытаться приблизить ребенка к устоявшимся в школьных программах примерам и задачам, то самым продуктивным будет действие по вычислению площади прямоугольного параллелепипеда, который, к примеру, по условиям задачи требуется покрасить с двух сторон. При вычислении в данном случае с необходимостью возникнут скобки, и порядок действий будет жестко регламентирован уже самой логикой, которой будет пользоваться ребенок при разрешении задачи.
Можно порядок действий узнать из учебника или справочника по математике? Можно! Но тогда вы лишите ребенка того самого важного самостоятельного вхождения в мир математики с парадного хода, дав ему готовый ответ о порядке действий, суть которых он так и не поймет, хотя может механически запомнить этот порядок. Но если он поймет, то ему и запоминать не надо, он всегда будет в состоянии воспроизвести логику этого порядка самостоятельно. Его «оперативная память» будет свободна.
Из понятия числа можно вывести любое другое понятие из арифметики и алгебры. К примеру, понятие «остаток» легко устанавливается при условии, что мерка, взятая в качестве предмета для измерения, оказалась недостаточной для измеряемой величины при её кратном использовании. А подгонять каждый раз мерку под величину, чтобы количество измерений меркой соответствовало целому числу, т.е. кратность была бы без остатка, достаточно бестолковое и бесполезное занятие, не объясняющее сути того, что мы называем числом и измерением количественных отношений между предметами.       
Важно педагогу понять и объяснить ученику, что число – это не плод воображения, чья-то выдумка, а продукт, всецело зависящий от внешних реальных действий, и в исчислениях оно может быть изменено четырьмя следующими действиями: двумя положительными арифметическими действиями и двумя отрицательными арифметическими действиями, т.е. сложением и умножением, вычитанием и делением.
При этом важно различать единицу и численность. Единица не обязательно есть нечто единичное, штучное, также как численность не обязательно есть нечто множественное. При всей сложности и тяжеловесности гегелевского языка, думаю, что в цитате, которая будет сейчас приведена, вполне доходчиво дается различие между численностью и единицей в их противоречивости. А это различие имеет значение для понимания тех арифметических действий, которые совершаются при исчислении. « - Различие между численностью  и единицей, возникающее в дальнейшем развитии арифметических действий, служит основой системы чисел – двоичной, десятичной и т.д.; такая система покоится, в общем, на произвольном выборе той численности, которая постоянно должна снова и снова быть взята как единица». 
Так, являются ли численностью или единицей числа: один десяток, одна сотня, одна тысяча, одна тройка, одна пятерка и т.д. вне арифметических действий, вне соотнесения чисел между собой, определить нельзя, да и не нужно это делать, так как это лишено всякого смысла. Единица непрерывна, численность дискретна. 20 : 5 = 4. В данном примере 5 будет одно число, как единица, если мы хотим узнать, сколько в 20 содержится 5, то численностью будет 4, поэтому мы не просто произносим цифру 4, а говорим именно 4 раза. Но если мы число 20 : 5 и хотим узнать, сколько составляет одна часть когда мы 20: 5, то у нас 5 будет численностью, а 4 будет здесь уже единицей.
Все это становится понятным, когда дети в сложении, вычитании, делении и умножении, усвоят смысл каждого элемента арифметического действия, и будут постоянно держать в поле своего зрения при исчислении все элементы арифметических действий, посредством которых производятся исчисления. Они известны всякому взрослому, но почему-то сегодня от детей о них можно услышать редко, будто от них это в школе скрывают. Уверен, что не скрывают, а просто не заостряют внимание детей на этом важном раскладе между элементами арифметических действий.
А вообще-то различение между собой единицы и численностью необходимо, чтобы не забывать, что арифметические действия всегда производятся с определенным количеством, чтобы знать, как уже писалось выше, что дважды два не всегда будет четыре, так же как не всегда два прибавить три, будет пять. Всегда надо уточнять, что к чему прибавляется, и что на что умножается или делится, чтобы не оказаться в позиции мультипликационного героя Виктора Перестукина в стране невыученных уроков, получившего в итоге после вычислений полтора землекопа. Хотя именно арифметика, как таковая, тем и трудна, что она всегда абстрагируется от величины. Именно благодаря арифметике математику причисляют к самой точной науке. Это происходит только потому, что арифметика имеет дело с абстрактным числом. «Чем проще предмет, тем точнее исследующая его наука; так, арифметика, абстрагирующаяся от величины и имеющая дело только с числом, точнее геометрии; геометрия же, имеющая дело с числом и с величиной, но абстрагирующаяся от движения, точнее физики. В физике же самое точное знание возможно относительно самого простого из движений — перемещения».
Коротко о четырех арифметических действиях, от которых производны все остальные: возведение в степень, извлечение корня, арифметическая и геометрическая прогрессии, и вплоть до интегральных и дифференциальных исчислений. В последних (интегральных и дифференциальных исчислениях) математика, в конечном счете,  исчезает, и тогда требуется переход к понятиям о самой реальной действительности, а это уже физика, химия, биология, астрономия и т.д. Опять же в данном случае напоминает о себе принцип, что в действительности нет непреодолимых перегородок между различными предметными образованиями.
При сложении двух и более чисел, все они называются слагаемыми, а результат их сложения называется суммой, которая не меняется, как бы мы не переставляли местами слагаемые числа. На данный переместительный закон при сложении просто необходимо постоянно и неоднократно обращать внимание детей, чтобы они им владели, что называется, на автопилоте.
При этом вполне резонно будет обратить внимание ребенка на то обстоятельство, что все слагаемые числа имеют одинаковое название, что лишний раз свидетельствует о несущественности, какое число, к какому прибавляется. Так же как не лишним будет указать на название результата сложения, т.е. на слово «сумма». Ведь «сумма» тоже итог исчислений, но применять это слово к другим исчислениям, где имеются и вычитание и деление и умножение, было бы неверным действием.
При вычитании, которое является обратным действием сложения, само это действие также является работой со слагаемыми, как бы это странно не звучало. Просто вычитанием находится одно из слагаемых. Как правило, в простом арифметическом действии с положительными числами при вычитании, та сумма, которую мы уменьшаем, а она всегда стоит первой и является обязательно большим числом при положительных числах, при указанных обстоятельствах, и называется уменьшаемым. Здесь страдательный залог указывает на то, что; подвергается «принудительному» («насильственному»), изменению. Мы его уменьшаем, вычитая из него другое слагаемое, которое также при положительных числах, меньше уменьшаемого, и называется оно вычитаемым, мы им уменьшаем большее слагаемое, его вычитаем из большего слагаемого. Какая разница получается, между слагаемым до вычитания и после вычитания, т.е. насколько слагаемое уменьшилось? Результат вычитания так и называется – разницей.
  Умножение, как положительное арифметическое действие, предполагает всегда одно число, называемое множимым, (множимое), то, что нужно повторить столько раз, сколько указывает другое число, называемое множителем (множимое). 2 х 3 = 6, т.е. к двойке мы прибавили её же три раза. Кстати, названия используемых слов в арифметических действиях говорят сами за себя, поэтому легко понять их смысл, а значит, и не надо чисто механически запоминать. Множимое – на что направлено действие, то, что мы множим (размножаем); и множитель то;, чем это действие осуществляется. Результат этого положительного арифметического действия называется произведением, которое, так же как и при сложении, не меняется, если местами переставить множитель и множимое. Важно в этом случае, чтобы эти числа были положительными. Но когда задействуются качественные характеристики при решении задач, то с переместительным законом надо быть внимательнее, о чем, ниже приводится пример при разборе задачи с фермером. В данном случае опять же возникает проблема понимания единицы и численности.
И, наконец, деление, есть обратное действие умножения, и поэтому, в этом отрицательном арифметическом действии мы также находим один из сомножителей, но уже по произведению. В этом случае произведение уже называется делимым, т.е. то, что мы делим. Другой сомножитель называется делитель. 2 (множимое) х 3 (множитель) = 6 (произведение), и обратное действие 6 (делимое) : 3 (делитель) = 2 (частное). Результат от деления и называется частным, что он является показателем, сколько частей осталось от произведения, когда мы его поделили на равные доли. Опять же к вопросу о соотношении между единицей и численностью.
Именно после деления может вполне возникнуть ситуация, когда частное не будет являться целым числом. Для ребенка вполне можно обыграть сцену, когда лиса Алиса, делила на двоих с котом Базилио пять золотых монет. И дать возможность ребенку самому поделить между этими персонажами пять монет, уверяю читателя, что ребенок сам определит, что осталось в остатке. Выше уже описывался случай, когда остаток получается при измерении. Кстати, при делении очень легко можно перейти к дробным числам.
Теперь несколько слов о том, что есть арифметические задачи, и чем они отличаются от арифметических примеров.
Главное отличие примеров от задач заключается в том, что в примерах производятся исчисления в отношении абстрактных чисел. Задачи всегда предполагают наличие реальной ситуации, где числа обязательно соотносятся с реальностью, с привлечением категории качества, величины. Так, в задаче сказано, что фермер продал 9 покупателям по два литра молока. Поставлен вопрос – сколько всего литров молока продал фермер. Ученик сделал запись 9х2=18. Учитель зачеркнул левую часть равенства и записал сверху 2х9=18, поставив ученику оценку за решение задачи удовлетворительно (3).
Между родителями развернулась по поводу этих действий учителя полемика. Большинство в адрес учителя высказывались достаточно резко, обвиняя её, что она, якобы, не знает переместительный закон…, а далее, кто на что способен. И многих даже не убедила логика одного из участников обсуждения, что фермер продавал молоко, а не фермеров, и в задаче спрашивалось количество проданного молока, а не фермеров. В данном случае учитель был прав, исправив запись. Другой вопрос, объяснял ли логику этой задачи ученику учитель. А ведь это было главной его задачей, чтобы ученик не превратился в будущем в «счетчика». В данном примере ярко проявилась проблема различения того, что должно пониматься под единицей, а что под численностью.
В задачах всегда имеются отношения между целым, которое и нужно выявить, обозначить, и частью (частями) от этого целого. Либо часть, или части, либо целое в задаче всегда будет искомыми элементами, и только потому, что они нарочито при составлении условия задачи не имеет количественного выражения. Хотя, по моему глубокому убеждению, лучше, если задачи составлялись самим детьми при поиске неизвестных параметров пространственных отношений между предметами. В пресловутых «решебниках» для заглянувших в них детей и неумных родителей даются готовые формулировки самих задач. 
Итак, простые арифметические задачи составляются всегда с обозначением одного из элементов исчисления в качестве неизвестного. Например, при сложении 2+3=Х; Х+3=6; 2+Х=6. Эти примеры легко превращаются в арифметические задачи, когда каждое число обозначается уже предметом, соотнесенным с другим предметом. У Пети было два плода груши, у Тани было три плода груши. Сколько было плодов груш у них вместе? У мамы было шесть плодов груш, она Тане дала три плода груши. Сколько плодов груш досталось Пете? Соответственно, у мамы было 6 плодов груш, она Тане дала два плода груши, сколько осталось плодов груш Пете? В задачах однородность предметов уже имеет значение. Кстати, указание на то, что речь идет о плодах груши,  совершенно верно, ибо груша вообще – это не есть то, что тождественно тому, что называется плодом груши.
Те же действия по превращению примеров в задачи достаточно легко осуществить при умножении, вычитании и делении.   
И, наконец, важно для взрослых уяснить для себя, что при решении более сложных арифметических задач, необходимо выявить целостность ситуации, в которой один или два элемента будут в позиции неизвестных и подлежащих отысканию. Если нет целостности в видении задачи, то, как правило, взрослые, впрочем, как и дети, её не могут решить. Целостность всегда можно обнаружить и выразить в схематических изображениях. Все зависит от характера задачи. Если речь идет об отыскании части от целого, о долях, то эти схемы могут быть обозначены в виде круга, разбитого на сегменты, либо в виде прямой линии, также разделенной на отрезки, в одном из которых обязательно должен быть вопрос, должно быть обозначение неизвестного. Правильно составленное графическое обозначение задачи, по сути, уже есть её логическое решение. А через графические обозначения условий задачи рукой подать до логических кругов математика Эйлера.
Завершить данный раздел хотелось бы ссылкой на высказывание Л.К. Науменко, которое перекрывает всю область противоречий между методикой школьного и вузовского преподавания математики и ее освоением с точки зрения науки. «Отождествление предмета математики с ее образами и понятиями составляет нерв всяких (и объективно-идеалистических, и субъективно-идеалистических) спекуляций. Такое отождествление превращает математику в искусство созерцания некоего хрупкого царства идеальных конструкций, в беспредметную деятельность «образования и преобразования» знаковых ансамблей, в игру со знаками. Не оперирование знаками и фигурами, а оперирование количествами с помощью фигур и знаков составляет содержание математического познания. Математику делает таковой не оперирование фигурами и числами, рассматриваемыми как ее предмет, но лишь реальными количествами. В противном случае она вырождается в языкотворчество, построение определенного языка, который так и останется нерасшифрованным».  Пока можно смело утверждать, что математику больше шифруют, вместо того, чтобы приближать её к решению реальных задач в области количественных отношений между материальными предметами и явлениями.
Когда в частных беседах говорю о том, что математика не перестала быть с точки зрения методологии буржуазной и идеалистической наукой даже в Советской образовательной системе, то меня не понимают, и задают вопрос, как это математика с точки зрения методологии может быть буржуазной или идеалистической? Весь вышеизложенный материал тому свидетельство, что может, еще как может, когда в процессе освоения предмета математики исключают человека, его преобразующую деятельность, его творчество, вне которого невозможна никакая математика. Но вне творчества освоить математику можно только зубрежкой, запоминанием только самих шифров (абстрактных математических формул без их понимания), и тогда для человека, который формально освоил математику, дважды два всегда будет четыре, но если он два ведра воды соединит с двумя ведрами спирта, то никогда не получит четыре ведра водки. Соединяя две и две капли воды никогда не получит четыре капли. Будет одна капля, двадцать капель и т.п., в зависимости от конкретной ситуации.
Более того, прочитавший настоящий текст читатель, по всей видимости, будет разочарован. Его ожидания, скорее всего, могут быть связаны с желанием получить поурочный материал, с последовательным преподнесением на блюдце методики проведения каждого занятия. Могу разочаровать, что эти ожидания не могут быть оправданы при правильной постановке самого процесса обучения вообще, и математики, в частности. За поурочным получением абстрактных знаний, уважаемый читатель, пожалуйте в уже существующую систему школьного и вузовского образования.
Ребенок потому и активен и способен изначально осваивать любую форму деятельности, что его память и психика в целом не загружены готовыми штампами поведения. Насаждать их в нем, значит повторять те же самые ошибки, которые делает существующая официальная педагогика. По существу в школе ставят оценки не за понимание, а за усвоение этих самых штампов, схем поведения. Если ребенок понял существо дела, то ему оценка не нужна. В данном случае может быть  только два варианта оценки результатов обучения - либо понял, либо нет. Если понял (вывел понятие), тогда он найдет возможность самостоятельно воспроизвести логику бытия любого предмета, а в математике сможет просчитать любые количественные отношения между предметами. Действие с предметом в строгом согласии с законами его бытия, и есть самая правильная методика для познания окружающего нас мира.
Безусловно, дальнейшее разворачивание предмета математики планируется продолжить в последующих работах. Хотя загадывать сегодня трудно, поскольку не всегда наши желания совпадают с нашими возможностями. Предложенный вариант текста является попыткой показать общее представление о способах и методах введения в предметную область математики через такие стержневые понятия в математике, как число и величина. Важно, чтобы именно этот этап в изучении математики детьми не был пропущен, иначе математика для них так и будет скрыта за семью печатями, и говорить о формировании её научного понимания у ребенка вряд ли в этом случае будет возможно.