Полнота в учениях Гёделя, Гегеля и гностиков

         Считается, что полнота — многозначное понятие, которое может иметь разные значения в зависимости от области применения — в математической логике, философии и религии.
         Вообще-то, если быть более точным, среди фундаментальных философских категорий понятие полнота не фигурирует. Его как бы походя упоминает в своей диалектике маститый немецкий философ Г.Гегель, говоря о бедности и о полноте содержания абсолютной идеи в процессе её развития перед отчуждением её в природу.
         Также и выдающийся австрийский математик Курт Гёдель полноту лишь упомянул, посвятив две своих теоремы неполноте, опубликовав их 1 декабря 1931 г.
         Считается, что теоремы Курта Гёделя (1906-1978) о неполноте являются общепризнанным достижением математической мысли XX века, заложившим фундамент математической логики.
         Дело в том, что в стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно, например, безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а не ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано: соблюдается традиционная или формальная логика.
         Вот в начале ХХ века математики и полагали, что математическую науку можно привести к такой же ясности. Стоит только подобрать базовый набор аксиом, тщательно прописать правила вывода (а выведение это дедукция), чтобы в такой формализованной (дедуктивной) системе можно было доказать истинность, или ложность любого математического утверждения (предиката или конечной дефиниции).
         Однако в 1931 году «молодой математик Курт Гёдель нанёс своеобразный «удар» по такому оптимизму, создав две теоремы о неполноте», показав, что в рамках «такой формализованной системы» можно отыскать утверждение, которое и вывести (доказать его истинность) невозможно, но и опровергнуть (доказать его ложность) тоже невозможно», которое и не истинно и не ложно.
         Следует заметить, утверждение это катафатика. Оно противоположно отрицанию, апофатике. Так вот, заключение «и не истина и не ложь» апофатично, это не утверждение. Оно противоположно катафатичному заключению - утверждению «и истина и ложь».
         Если мы заявляем, что «нечто и истинно и ложно», то мы нарушаем формальную (традиционную) логику. Это касается и заключения «нечто и не истинно и не ложно». Доказательство же должно строиться на соблюдении традиционной логики, на правиле «любое утверждение или истинно, или ложно, третьего не дано».
         И вот появляются вопросы, как бы мы могли придти к ним, к этим заключениям, если бы неукоснительно соблюдали формальную (традиционную) логику? Могла ли формальная логика привести  мысль к выводу, заключению, основанному на её несоблюдении? Могла ли мысль соскочить с традиционной логики на кривую логику при кажущемся соблюдении первой?
         Однако, вернёмся к теоремам Гёделя. Вот распространённая в интернете формулировка первой теоремы: «если набор аксиом непротиворечив, он неполон». В ней отсутствие (отрицание) противоречия связано с отсутствием (отрицанием) полноты. А отрицание это не утверждение.
         Из первой теоремы следует вторая – «ни один полный набор аксиом не может доказать свою непротиворечивость». В ней наличие противоречия связано с наличием полноты, и наоборот. Вот это утверждение, а не отрицание.
         В целом суть теорем сводится к заявлению, что «никакая мощная формальная система не может быть одновременно и полной и непротиворечивой».
         Считается, что «формальная система — это набор символов (алфавит), из которых строятся формулы, плюс аксиомы (исходные утверждения, принимаемые без доказательств) и правила (логического) вывода, позволяющие получать новые формулы из уже имеющихся».
         То есть, можно думать, что в такой системе может иметь место преобразование исходной формулы, что как бы должно указывать на отсутствие противоречия при этом, на соблюдение формальной логики, так как логика тогда была одна, и о кривой логике речь не шла.
         Считается, что «Цель создания такой формальной (надуманной) системы в том, чтобы свести процесс рассуждения, мышления к механическому (или алгоритмическому) применению правил (логических) выводов».
         Таким образом, становится понятно, что главной в формальной системе становится формальная (традиционная) логика с её дизъюнкцией, в частности, правило: любое утверждение либо истинно, либо ложно, а третьего не дано.
         По поводу соблюдения формальной (традиционной) логики в мышлении советский философ Э.В.Ильенков  написал следующее: "Стремление мышления к созданию единой, целостной теории естественно и неискоренимо. Оно не может и не хочет удовлетвориться простым агрегатом, простым нагромождением частных обобщений, а всегда старается свести их воедино, увязать друг с другом с помощью общих принципов. Законное стремление. Но, решая указанную задачу, мышление, в точности соблюдающее все без исключения правила и нормы логики, всё же с трагической неизбежностью приходит к противоречию." [2,с.75]
         Вот и Курт Гёдель по-своему выразил эту же мысль, сказав: «ни один полный набор аксиом не может доказать свою непротиворечивость». Значит, не может и опровергнуть свою противоречивость. Ведь если система не непротиворечива, то она противоречива, а третьего не дано.
         Заметим, выражение «и не доказать и не опровергнуть» как бы допустимо, так как если нет ни доказательства, ни опровержения существования, например, Бога, то и вопросов нет. Они сняты.
         А вот выражение «и доказать и опровергнуть» допустить сложней, так как одновременное существование в мышлении взаимоисключающих мыслей свидетельствует об его амбивалентности, которой наука стремится избегать.
         Но если вдуматься, то выражение «и не доказать и не опровергнуть» похоже на изнанку выражения «и доказать и опровергнуть». Это та же амбивалентность, но с другой стороны.
         Возвращаясь к теоремам Гёделя стоит заметить, что Курт исследовал то, способна ли математика быть полной и непротиворечивой, какой её замышлял сделать немецкий математик Давид Гильберт.
         А замышлял это господин Гильберт потому, что, как известил всех господин Ильенков, «стремление мышления к созданию единой, целостной (полной) теории естественно и неискоренимо. Оно не может и не хочет удовлетвориться простым агрегатом, простым нагромождением частных обобщений, а всегда старается свести их воедино, увязать друг с другом с помощью общих принципов».
         И вот как бы исследование математика К.Гёделя и высказывание философа Э.Ильенкова «поставили крест» на мечте о полной и непротиворечивой теории. При этом они не объяснили, почему она невозможна. Просто они констатировали, что «мышление, полностью, то есть в точности соблюдающее все без исключения правила и нормы логики, всё же с неизбежностью (неотвратимо) приходит к противоречию." Неизбежность  указывает на то, что вероятность этого явления равна единице (100%).
         Вероятно, Георг Вильгельм Фридрих Гегель связал упомянутую неизбежность с природой мышления, так как он  догадался сослаться на то, что «мышление противоречиво по своей природе».
         Я же осмелюсь уточнить эту мысль, сказав, что мышление по своей природе амбивалентно: и противоречиво и непротиворечиво. Можно сказать, с одной стороны, оно логично, с другой стороны, нелогично. Правильней же сказать: вначале, когда мышление не полно, оно логично, затем, когда оно становится полным – нелогично. Одновременно же мышление и логично и не логично в свете традиционной логики. Именно она ограничивает систему мышления, делая её непротиворечивой, но неполной, поскольку сама не полна без кривой логики.
         Также здесь стоит отметить, что "стремление мышления к созданию единой, целостной теории естественно и неискоренимо, но оно натыкается на непреодолимое препятствие в виде природы самого мышления.      
         В целом стоит сказать, что ни основатель диалектической логики Г.Гегель, ни основатель математической логики К.Гёдель, говоря о полноте умозрительных систем, не имели в виду полного логического метода, так как не ведали ни о нём, ни о кривой логике. А ведь полной системе мышления по его природе соответствует полный логический метод.
         Тем не менее, они размышляли о противоречивости и о непротиворечивости, о соблюдении и не соблюдении формальной (традиционной) логики. И К.Гёдель даже доказал, что традиционная логика соблюдается лишь в неполной аксиоматической системе. О полноте самой логики, что она представлена и традиционной и кривой логиками, речь тогда не велась.
         Что касается религии, то понятие «полнота» встречается в гностицизме, как плерома Нойи (Нуса, Ума), приобретя которую он становится Епинойей. Плерома (от греч. «полнота») в гностицизме это  совокупность эонов.
         Не вдаваясь в смысл, который вкладывали основоположники гностицизма в понятие эон, нам стоит обратить внимание на то, что эоны в плероме представляют то ли однообразное, то ли разнообразное  множество.
         Вместе с тем Нойя и Эпинойя выражают диалектическое единство противоположностей не только как одного и многого, но и как до времени (до времён до веков) не проявленного и проявленного в последующем.
         Мысля в апофатическом ключе, мы можем  принимать эоны за предикаты Нойи, обрастая которыми, словно капустная кочерыжка листьями,  Он становится Эпинойей. Однако при снятии предикатов мы не можем принять Нойю за ничто, поскольку Нойя нечто, а не ничто. Здесь имеет место не апофатика, а катафатика.
         Также в данном случае мы не можем говорить «нечто из ничто». Здесь больше подходило бы выражение «из нечто нечто», А есть А, если бы не одно но: превращение Нойи в Эпинойю, так сказать метаморфоз бытия в инобытие.
         В то же время здесь мы не можем сказать, что Нойя есть Эпинойя, А есть Б, и что Нойя не есть Эпинойя, что А полная противоположность Б. К тому же  в данном диалектическом представлении Нойя не видится на противоположной стороне - положенным напротив самого себя в виде Эпинойи, словно тезис и антитезис в синтезе. Диалектическая дихотомия тут иного рода.
         В гностицизме разделение Нойи в себе состоит в том, что неполный и не явленный Нойя предшествует полному и явленному Нойе. Эти противоположности не могут существовать как бы в нахлёст: в одно и то же время в одном и том же месте.
         Подобно этому умозрению реально наличие дырки на одной стороне перфокарты и отсутствие дырки на другой стороне перфокарты в одном и том же месте невозможно, также как и одновременное  и наличие и отсутствие дырки в одном и том же месте перфокарты. Дырка на перфокарте сквозная, она либо есть, либо её нет, что напоминает дизъюнкцию в традиционной логике. В амбивалентном же мышлении и утверждение (+) и отрицание (-) возможны неразделённо.
         В общем, нужно сказать, что разделение противоположных мыслей сторонами пространства, или предыдущим и последующим временем придумано для того, чтобы не допускать в уме их полного отождествления, свидетельствующего об амбивалентности мышления.
         Так мы не утверждаем, что яйцо есть курица, хотя превращение яйца в курицу доказывает это. Вместо этого мы размышляем, кто вперёд, яйцо, или курица.
         Вот и свет для нас белый, с одной стороны, и радуга, с другой стороны.
         В общем, мы подобрались к тому, что есть основание утверждать, что яйцо есть курица и что яйцо не есть курица, так сказать, и доказать и опровергнуть, что яйцо есть курица, поскольку они как противоположности взаимно не исключают друг друга. Обобщённо можно амбивалентно утверждать, что яйцо и есть и не есть курица.
         В заключение следует сказать, что в анализе полноты обнаруживается два подхода. В одном подходе полнота открывается диалектично, как синтез тезиса и антитезиса. В другом подходе она видится эклектичным разнородным множеством.