Паскаль. Вероятности распределения выигрыша

Во времена Людовика XIII азартные игры стали целой общественной страстью во Франции, и на основе этой популярности французский дворянин де Мере предложил своему знакомому, известному математику Блезу Паскалю, задачу, связанную с распределением выигрыша между двумя игроками. Представьте, что оба игрока сделали ставки по определённому количеству монет, к примеру, по 25 монет каждый, и общий банк составляет 50 монет. Весь выигрыш забирает тот, кто выиграет три партии. Но на счёте 2:1 игра прекращается, и встаёт вопрос о том, как распределить оставшийся выигрыш.

Ещё в конце XV века итальянский математик Лука Пачоли рассматривал эту задачу и решал её обычным пропорциональным методом. Если 3/3 (три выигранных партии из трёх) составляют 50 монет, то, следовательно, 2/3 — это 33,3 монеты, а второму достаётся треть выигрыша. Так рассуждал итальянский математик того времени.

Паскаль и Ферма решили иначе эту задачу. Они решили опереться в распределении выигрыша на шансы каждого окончательно победить. И тут они выбрали способ вероятностей.

Прежде чем перейти к объяснению их метода, нужно понять, как работает вероятность. У каждого игрока шанс на победу в одной партии составляет 1/2, где единица в числителе подразумевает событие победы (или же поражения — зависит от контекста). То есть игрок либо выигрывает, либо проигрывает — оттого и получается вероятность 50;%. У каждого в партии равные возможности исхода одного из событий (1/2), но абсолютно разные процентные отношения в итоговом выигрыше, что мы сейчас и увидим.

Если гипотетически продолжить игру, то шансы на победу каждого из игроков не равны. Рассмотрим все исходы событий — своего рода в комбинаторике: (А, А), (А, Б), (Б, А), (Б, Б) — это поочерёдные победы каждого игрока. Но, так как нам известно, что игрок А опережает игрока Б и у него преимущество, то из всех четырёх событий Б может выиграть, только выиграв два раза подряд (Б, Б), где вначале сравняет счёт (2:2), а затем победит (2:3). Но это только один исход из четырёх, или же один исход на победу из четырёх возможных, то есть 1/4, и процентное отношение на победу Б будет составлять 25;%, тогда как остальные три исхода являют собой победу А, или же 3/4 — 75;%.

Исходя из этого, Паскаль заключил, что первый игрок в ходе распределения должен получить 3/4 от выигрыша, или же 37,5 монеты, а второй игрок — четверть, то есть 12,5 монеты.

Таким образом, мы видим, как два математика имели разный взгляд на решение данной задачи: один руководствовался только пропорциональным соотношением по факту, а второй — рассмотрением более благоприятного исхода (или же шансов) для одного из игроков.